MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oldbdayim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldbdayim 27240
Description: If 𝑋 is in the old set for 𝐴, then the birthday of 𝑋 is less than 𝐴. (Contributed by Scott Fenton, 10-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
oldbdayim (𝑋 ∈ ( O β€˜π΄) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem oldbdayim
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6884 . . 3 (𝑋 ∈ ( O β€˜π΄) β†’ 𝐴 ∈ dom O )
2 oldf 27209 . . . 4 O :OnβŸΆπ’« No
32fdmi 6685 . . 3 dom O = On
41, 3eleqtrdi 2848 . 2 (𝑋 ∈ ( O β€˜π΄) β†’ 𝐴 ∈ On)
5 elold 27221 . . 3 (𝐴 ∈ On β†’ (𝑋 ∈ ( O β€˜π΄) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑋 ∈ ( M β€˜π‘)))
6 madebdayim 27239 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ( M β€˜π‘) β†’ ( bday β€˜π‘‹) βŠ† 𝑏)
76ad2antll 728 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ ( bday β€˜π‘‹) βŠ† 𝑏)
8 simprl 770 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
9 bdayelon 27138 . . . . . . 7 ( bday β€˜π‘‹) ∈ On
10 ontr2 6369 . . . . . . 7 ((( bday β€˜π‘‹) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) β†’ ((( bday β€˜π‘‹) βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))
119, 10mpan 689 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On β†’ ((( bday β€˜π‘‹) βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))
1211adantr 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ ((( bday β€˜π‘‹) βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))
137, 8, 12mp2and 698 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴)
1413rexlimdvaa 3154 . . 3 (𝐴 ∈ On β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑋 ∈ ( M β€˜π‘) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))
155, 14sylbid 239 . 2 (𝐴 ∈ On β†’ (𝑋 ∈ ( O β€˜π΄) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))
164, 15mpcom 38 1 (𝑋 ∈ ( O β€˜π΄) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  dom cdm 5638  Oncon0 6322  β€˜cfv 6501   No csur 27004   bday cbday 27006   M cmade 27194   O cold 27195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-1o 8417  df-2o 8418  df-no 27007  df-slt 27008  df-bday 27009  df-sslt 27143  df-scut 27145  df-made 27199  df-old 27200
This theorem is referenced by:  oldirr  27241  oldbday  27252  negsproplem2  27349  mulsproplem3  27403  mulsproplem4  27404  mulsproplem5  27405  mulsproplem6  27406  mulsproplem7  27407  mulsproplem8  27408  mulsproplem9  27409
  Copyright terms: Public domain W3C validator