Theorem oldbdayim 27942

Description: If 𝑋 is in the old set for 𝐴, then the birthday of 𝑋 is less than 𝐴. (Contributed by Scott Fenton, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldbdayim	⊢ (𝑋 ∈ ( O ‘𝐴) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem oldbdayim

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6944	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ( O ‘𝐴) → 𝐴 ∈ dom O )
2		oldf 27911	. . . 4 ⊢ O :On⟶𝒫 No
3	2	fdmi 6748	. . 3 ⊢ dom O = On
4	1, 3	eleqtrdi 2849	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ( O ‘𝐴) → 𝐴 ∈ On)
5		elold 27923	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑋 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑋 ∈ ( M ‘𝑏)))
6		madebdayim 27941	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ( M ‘𝑏) → ( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑏)
7	6	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M ‘𝑏))) → ( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑏)
8		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M ‘𝑏))) → 𝑏 ∈ 𝐴)
9		bdayelon 27836	. . . . . . 7 ⊢ ( bday ‘𝑋) ∈ On
10		ontr2 6433	. . . . . . 7 ⊢ ((( bday ‘𝑋) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴))
11	9, 10	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴))
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M ‘𝑏))) → ((( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴))
13	7, 8, 12	mp2and 699	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M ‘𝑏))) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴)
14	13	rexlimdvaa 3154	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑋 ∈ ( M ‘𝑏) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴))
15	5, 14	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑋 ∈ ( O ‘𝐴) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴))
16	4, 15	mpcom 38	1 ⊢ (𝑋 ∈ ( O ‘𝐴) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605  dom cdm 5689  Oncon0 6386  ‘cfv 6563   No csur 27699   bday cbday 27701   M cmade 27896   O cold 27897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-1o 8505  df-2o 8506  df-no 27702  df-slt 27703  df-bday 27704  df-sslt 27841  df-scut 27843  df-made 27901  df-old 27902

This theorem is referenced by:  oldirr  27943  oldbday  27954  addsbdaylem  28064  negsproplem2  28076  negsbdaylem  28103  mulsproplem2  28158  mulsproplem3  28159  mulsproplem4  28160  mulsproplem5  28161  mulsproplem6  28162  mulsproplem7  28163  mulsproplem8  28164