Theorem oldbdayim 28040

Description: If 𝑋 is in the old set for 𝐴, then the birthday of 𝑋 is less than 𝐴. (Contributed by Scott Fenton, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldbdayim	⊢ (𝑋 ∈ ( O ‘𝐴) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem oldbdayim

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6905	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ( O ‘𝐴) → 𝐴 ∈ dom O )
2		oldf 27988	. . . 4 ⊢ O :On⟶𝒫 No
3	2	fdmi 6707	. . 3 ⊢ dom O = On
4	1, 3	eleqtrdi 2875	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ( O ‘𝐴) → 𝐴 ∈ On)
5		elold 28010	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑋 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑋 ∈ ( M ‘𝑏)))
6		madebdayim 28039	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ( M ‘𝑏) → ( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑏)
7	6	ad2antll 741	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M ‘𝑏))) → ( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑏)
8		simprl 782	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M ‘𝑏))) → 𝑏 ∈ 𝐴)
9		bdayon 27903	. . . . . . 7 ⊢ ( bday ‘𝑋) ∈ On
10		ontr2 6398	. . . . . . 7 ⊢ ((( bday ‘𝑋) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴))
11	9, 10	mpan 702	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴))
12	11	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M ‘𝑏))) → ((( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴))
13	7, 8, 12	mp2and 711	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M ‘𝑏))) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴)
14	13	rexlimdvaa 3167	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑋 ∈ ( M ‘𝑏) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴))
15	5, 14	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑋 ∈ ( O ‘𝐴) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴))
16	4, 15	mpcom 39	1 ⊢ (𝑋 ∈ ( O ‘𝐴) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907  𝒫 cpw 4558  dom cdm 5652  Oncon0 6350  ‘cfv 6525   No csur 27762   bday cbday 27764   M cmade 27973   O cold 27974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-1o 8441  df-2o 8442  df-no 27765  df-lts 27766  df-bday 27767  df-slts 27909  df-cuts 27911  df-made 27978  df-old 27979

This theorem is referenced by:  oldirr  28041  oldbday  28052  bdayiun  28066  addbdaylem  28168  negsproplem2  28180  negbdaylem  28207  mulsproplem2  28268  mulsproplem3  28269  mulsproplem4  28270  mulsproplem5  28271  mulsproplem6  28272  mulsproplem7  28273  mulsproplem8  28274  oniso  28422  bdayfinbndlem1  28618