Theorem oldbdayim 28276

Description: If 𝑋 is in the old set for 𝐴, then the birthday of 𝑋 is less than 𝐴. (Contributed by Scott Fenton, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldbdayim	⊢ (𝑋 ∈ (O‘𝐴) → (bday‘𝑋) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem oldbdayim

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6919	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (O‘𝐴) → 𝐴 ∈ dom O)
2		oldf 28224	. . . 4 ⊢ O:On⟶𝒫 No
3	2	fdmi 6721	. . 3 ⊢ dom O = On
4	1, 3	eleqtrdi 2870	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (O‘𝐴) → 𝐴 ∈ On)
5		elold 28246	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑋 ∈ (O‘𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑋 ∈ (M‘𝑏)))
6		madebdayim 28275	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (M‘𝑏) → (bday‘𝑋) ⊆ 𝑏)
7	6	ad2antll 742	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (M‘𝑏))) → (bday‘𝑋) ⊆ 𝑏)
8		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (M‘𝑏))) → 𝑏 ∈ 𝐴)
9		bdayon 28139	. . . . . . 7 ⊢ (bday‘𝑋) ∈ On
10		ontr2 6411	. . . . . . 7 ⊢ (((bday‘𝑋) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (((bday‘𝑋) ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (bday‘𝑋) ∈ 𝐴))
11	9, 10	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (((bday‘𝑋) ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (bday‘𝑋) ∈ 𝐴))
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (M‘𝑏))) → (((bday‘𝑋) ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (bday‘𝑋) ∈ 𝐴))
13	7, 8, 12	mp2and 712	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (M‘𝑏))) → (bday‘𝑋) ∈ 𝐴)
14	13	rexlimdvaa 3164	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑋 ∈ (M‘𝑏) → (bday‘𝑋) ∈ 𝐴))
15	5, 14	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑋 ∈ (O‘𝐴) → (bday‘𝑋) ∈ 𝐴))
16	4, 15	mpcom 39	1 ⊢ (𝑋 ∈ (O‘𝐴) → (bday‘𝑋) ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895  𝒫 cpw 4556  dom cdm 5650  Oncon0 6362  ‘cfv 6538  Nocsur 27998  bdaycbday 28000  Mcmade 28209  Ocold 28210

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-1o 8477  df-2o 8478  df-no 28001  df-lts 28002  df-bday 28003  df-slts 28145  df-cuts 28147  df-made 28214  df-old 28215

This theorem is used by:  oldirr  28277  oldbday  28288  bdayiun  28302  addbdaylem  28404  negsproplem2  28416  negbdaylem  28443  mulsproplem2  28504  mulsproplem3  28505  mulsproplem4  28506  mulsproplem5  28507  mulsproplem6  28508  mulsproplem7  28509  mulsproplem8  28510  oniso  28658  bdayfinbndlem1  28854