Theorem oldbdayim 27844

Description: If 𝑋 is in the old set for 𝐴, then the birthday of 𝑋 is less than 𝐴. (Contributed by Scott Fenton, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldbdayim	⊢ (𝑋 ∈ ( O ‘𝐴) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem oldbdayim

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6865	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ( O ‘𝐴) → 𝐴 ∈ dom O )
2		oldf 27808	. . . 4 ⊢ O :On⟶𝒫 No
3	2	fdmi 6670	. . 3 ⊢ dom O = On
4	1, 3	eleqtrdi 2843	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ( O ‘𝐴) → 𝐴 ∈ On)
5		elold 27824	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑋 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑋 ∈ ( M ‘𝑏)))
6		madebdayim 27843	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ( M ‘𝑏) → ( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑏)
7	6	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M ‘𝑏))) → ( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑏)
8		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M ‘𝑏))) → 𝑏 ∈ 𝐴)
9		bdayelon 27725	. . . . . . 7 ⊢ ( bday ‘𝑋) ∈ On
10		ontr2 6362	. . . . . . 7 ⊢ ((( bday ‘𝑋) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴))
11	9, 10	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴))
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M ‘𝑏))) → ((( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴))
13	7, 8, 12	mp2and 699	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M ‘𝑏))) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴)
14	13	rexlimdvaa 3136	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑋 ∈ ( M ‘𝑏) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴))
15	5, 14	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑋 ∈ ( O ‘𝐴) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴))
16	4, 15	mpcom 38	1 ⊢ (𝑋 ∈ ( O ‘𝐴) → ( bday ‘𝑋) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4551  dom cdm 5621  Oncon0 6314  ‘cfv 6489   No csur 27588   bday cbday 27590   M cmade 27793   O cold 27794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-1o 8394  df-2o 8395  df-no 27591  df-slt 27592  df-bday 27593  df-sslt 27731  df-scut 27733  df-made 27798  df-old 27799

This theorem is referenced by:  oldirr  27845  oldbday  27856  bdayiun  27870  addsbdaylem  27969  negsproplem2  27981  negsbdaylem  28008  mulsproplem2  28066  mulsproplem3  28067  mulsproplem4  28068  mulsproplem5  28069  mulsproplem6  28070  mulsproplem7  28071  mulsproplem8  28072  onsiso  28215