MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oldbdayim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldbdayim 27833
Description: If 𝑋 is in the old set for 𝐴, then the birthday of 𝑋 is less than 𝐴. (Contributed by Scott Fenton, 10-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
oldbdayim (𝑋 ∈ ( O β€˜π΄) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem oldbdayim
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6929 . . 3 (𝑋 ∈ ( O β€˜π΄) β†’ 𝐴 ∈ dom O )
2 oldf 27802 . . . 4 O :OnβŸΆπ’« No
32fdmi 6729 . . 3 dom O = On
41, 3eleqtrdi 2835 . 2 (𝑋 ∈ ( O β€˜π΄) β†’ 𝐴 ∈ On)
5 elold 27814 . . 3 (𝐴 ∈ On β†’ (𝑋 ∈ ( O β€˜π΄) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑋 ∈ ( M β€˜π‘)))
6 madebdayim 27832 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ( M β€˜π‘) β†’ ( bday β€˜π‘‹) βŠ† 𝑏)
76ad2antll 727 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ ( bday β€˜π‘‹) βŠ† 𝑏)
8 simprl 769 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
9 bdayelon 27727 . . . . . . 7 ( bday β€˜π‘‹) ∈ On
10 ontr2 6411 . . . . . . 7 ((( bday β€˜π‘‹) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) β†’ ((( bday β€˜π‘‹) βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))
119, 10mpan 688 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On β†’ ((( bday β€˜π‘‹) βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))
1211adantr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ ((( bday β€˜π‘‹) βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))
137, 8, 12mp2and 697 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴)
1413rexlimdvaa 3146 . . 3 (𝐴 ∈ On β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑋 ∈ ( M β€˜π‘) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))
155, 14sylbid 239 . 2 (𝐴 ∈ On β†’ (𝑋 ∈ ( O β€˜π΄) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))
164, 15mpcom 38 1 (𝑋 ∈ ( O β€˜π΄) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3939  π’« cpw 4598  dom cdm 5672  Oncon0 6364  β€˜cfv 6543   No csur 27591   bday cbday 27593   M cmade 27787   O cold 27788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-1o 8485  df-2o 8486  df-no 27594  df-slt 27595  df-bday 27596  df-sslt 27732  df-scut 27734  df-made 27792  df-old 27793
This theorem is referenced by:  oldirr  27834  oldbday  27845  negsproplem2  27959  negsbdaylem  27986  mulsproplem2  28039  mulsproplem3  28040  mulsproplem4  28041  mulsproplem5  28042  mulsproplem6  28043  mulsproplem7  28044  mulsproplem8  28045
  Copyright terms: Public domain W3C validator