MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oldbdayim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldbdayim 27770
Description: If 𝑋 is in the old set for 𝐴, then the birthday of 𝑋 is less than 𝐴. (Contributed by Scott Fenton, 10-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
oldbdayim (𝑋 ∈ ( O β€˜π΄) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem oldbdayim
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6922 . . 3 (𝑋 ∈ ( O β€˜π΄) β†’ 𝐴 ∈ dom O )
2 oldf 27739 . . . 4 O :OnβŸΆπ’« No
32fdmi 6723 . . 3 dom O = On
41, 3eleqtrdi 2837 . 2 (𝑋 ∈ ( O β€˜π΄) β†’ 𝐴 ∈ On)
5 elold 27751 . . 3 (𝐴 ∈ On β†’ (𝑋 ∈ ( O β€˜π΄) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑋 ∈ ( M β€˜π‘)))
6 madebdayim 27769 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ( M β€˜π‘) β†’ ( bday β€˜π‘‹) βŠ† 𝑏)
76ad2antll 726 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ ( bday β€˜π‘‹) βŠ† 𝑏)
8 simprl 768 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
9 bdayelon 27664 . . . . . . 7 ( bday β€˜π‘‹) ∈ On
10 ontr2 6405 . . . . . . 7 ((( bday β€˜π‘‹) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) β†’ ((( bday β€˜π‘‹) βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))
119, 10mpan 687 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On β†’ ((( bday β€˜π‘‹) βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))
1211adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ ((( bday β€˜π‘‹) βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))
137, 8, 12mp2and 696 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴)
1413rexlimdvaa 3150 . . 3 (𝐴 ∈ On β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑋 ∈ ( M β€˜π‘) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))
155, 14sylbid 239 . 2 (𝐴 ∈ On β†’ (𝑋 ∈ ( O β€˜π΄) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴))
164, 15mpcom 38 1 (𝑋 ∈ ( O β€˜π΄) β†’ ( bday β€˜π‘‹) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  dom cdm 5669  Oncon0 6358  β€˜cfv 6537   No csur 27528   bday cbday 27530   M cmade 27724   O cold 27725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-1o 8467  df-2o 8468  df-no 27531  df-slt 27532  df-bday 27533  df-sslt 27669  df-scut 27671  df-made 27729  df-old 27730
This theorem is referenced by:  oldirr  27771  oldbday  27782  negsproplem2  27896  negsbdaylem  27923  mulsproplem2  27972  mulsproplem3  27973  mulsproplem4  27974  mulsproplem5  27975  mulsproplem6  27976  mulsproplem7  27977  mulsproplem8  27978
  Copyright terms: Public domain W3C validator