Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onexlimgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onexlimgt 42447
Description: For any ordinal, there is always a larger limit ordinal. (Contributed by RP, 1-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
onexlimgt (๐ด โˆˆ On โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem onexlimgt
Dummy variable ๐‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omelon 9636 . . . 4 ฯ‰ โˆˆ On
2 onun2 6462 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ฯ‰ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ On)
31, 2mpan2 688 . . 3 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ On)
4 onexomgt 42445 . . 3 ((๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ On โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž))
53, 4syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ On โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž))
6 simp2 1134 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On โˆง (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ On)
7 omcl 8531 . . . . 5 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) โˆˆ On)
81, 6, 7sylancr 586 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On โˆง (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž)) โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) โˆˆ On)
9 noel 4322 . . . . . . . . . 10 ยฌ (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ โˆ…
10 oveq2 7409 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž = โˆ… โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) = (ฯ‰ ยทo โˆ…))
11 om0 8512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ฯ‰ โˆˆ On โ†’ (ฯ‰ ยทo โˆ…) = โˆ…)
121, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (ฯ‰ ยทo โˆ…) = โˆ…
1310, 12eqtrdi 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = โˆ… โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) = โˆ…)
1413eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = โˆ… โ†’ ((๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) โ†” (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ โˆ…))
1514notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = โˆ… โ†’ (ยฌ (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) โ†” ยฌ (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ โˆ…))
1615adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On) โˆง ๐‘Ž = โˆ…) โ†’ (ยฌ (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) โ†” ยฌ (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ โˆ…))
179, 16mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On) โˆง ๐‘Ž = โˆ…) โ†’ ยฌ (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž))
1817pm2.21d 121 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On) โˆง ๐‘Ž = โˆ…) โ†’ ((๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) โ†’ Lim (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž)))
1918ex 412 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On) โ†’ (๐‘Ž = โˆ… โ†’ ((๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) โ†’ Lim (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž))))
2019com23 86 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) โ†’ (๐‘Ž = โˆ… โ†’ Lim (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž))))
21203impia 1114 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On โˆง (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž)) โ†’ (๐‘Ž = โˆ… โ†’ Lim (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž)))
22 limom 7864 . . . . . . . . 9 Lim ฯ‰
231, 22pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (ฯ‰ โˆˆ On โˆง Lim ฯ‰)
246, 23jctir 520 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On โˆง (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž)) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ On โˆง (ฯ‰ โˆˆ On โˆง Lim ฯ‰)))
25 omlimcl2 42446 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ On โˆง (ฯ‰ โˆˆ On โˆง Lim ฯ‰)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘Ž) โ†’ Lim (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž))
2624, 25sylan 579 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On โˆง (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘Ž) โ†’ Lim (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž))
2726ex 412 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On โˆง (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž)) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐‘Ž โ†’ Lim (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž)))
28 on0eqel 6478 . . . . . 6 (๐‘Ž โˆˆ On โ†’ (๐‘Ž = โˆ… โˆจ โˆ… โˆˆ ๐‘Ž))
296, 28syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On โˆง (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž)) โ†’ (๐‘Ž = โˆ… โˆจ โˆ… โˆˆ ๐‘Ž))
3021, 27, 29mpjaod 857 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On โˆง (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž)) โ†’ Lim (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž))
31 simp1 1133 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On โˆง (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž)) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
3231, 8jca 511 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On โˆง (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž)) โ†’ (๐ด โˆˆ On โˆง (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) โˆˆ On))
33 simp3 1135 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On โˆง (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž)) โ†’ (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž))
34 ssun1 4164 . . . . . 6 ๐ด โІ (๐ด โˆช ฯ‰)
3533, 34jctil 519 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On โˆง (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž)) โ†’ (๐ด โІ (๐ด โˆช ฯ‰) โˆง (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž)))
36 ontr2 6401 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โІ (๐ด โˆช ฯ‰) โˆง (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž)) โ†’ ๐ด โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž)))
3732, 35, 36sylc 65 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On โˆง (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž)) โ†’ ๐ด โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž))
38 limeq 6366 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) โ†’ (Lim ๐‘ฅ โ†” Lim (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž)))
39 eleq2 2814 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐‘ฅ โ†” ๐ด โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž)))
4038, 39anbi12d 630 . . . . 5 (๐‘ฅ = (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) โ†’ ((Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ) โ†” (Lim (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž))))
4140rspcev 3604 . . . 4 (((ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) โˆˆ On โˆง (Lim (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ))
428, 30, 37, 41syl12anc 834 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘Ž โˆˆ On โˆง (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ))
4342rexlimdv3a 3151 . 2 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ On (๐ด โˆช ฯ‰) โˆˆ (ฯ‰ ยทo ๐‘Ž) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ)))
445, 43mpd 15 1 (๐ด โˆˆ On โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (Lim ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ฅ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3062   โˆช cun 3938   โІ wss 3940  โˆ…c0 4314  Oncon0 6354  Lim wlim 6355  (class class class)co 7401  ฯ‰com 7848   ยทo comu 8459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-omul 8466
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator