Theorem nadd2rabex 43743

Description: The class of ordinals which have a natural sum less than some ordinal is a set. (Contributed by RP, 20-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nadd2rabex	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem nadd2rabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1139	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐶 ∈ On)
2		0elon 6380	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ On
3		ordelon 6349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
4	3	3ad2antl1 1187	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
5		naddcom 8620	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∅ +no 𝑥) = (𝑥 +no ∅))
6	2, 4, 5	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∅ +no 𝑥) = (𝑥 +no ∅))
7		naddrid 8621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑥 +no ∅) = 𝑥)
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 +no ∅) = 𝑥)
9	6, 8	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∅ +no 𝑥) = 𝑥)
10		0ss 4354	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
11		simpl2 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
12		naddssim 8623	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 → (∅ +no 𝑥) ⊆ (𝐵 +no 𝑥)))
13	2, 11, 4, 12	mp3an2i 1469	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∅ ⊆ 𝐵 → (∅ +no 𝑥) ⊆ (𝐵 +no 𝑥)))
14	10, 13	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∅ +no 𝑥) ⊆ (𝐵 +no 𝑥))
15	9, 14	eqsstrrd 3971	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ⊆ (𝐵 +no 𝑥))
16		simpl3 1195	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ On)
17		ontr2 6373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 +no 𝑥) ∧ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶))
18	4, 16, 17	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 +no 𝑥) ∧ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶))
19	15, 18	mpand 696	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝐶))
20	19	3impia 1118	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
21	20	rabssdv 4028	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ⊆ 𝐶)
22	1, 21	ssexd 5271	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  Ord word 6324  Oncon0 6325  (class class class)co 7368   +no cnadd 8603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-nadd 8604

This theorem is referenced by:  nadd2rabon  43744  nadd1rabex  43747