Theorem nadd2rabex 44004

Description: The class of ordinals which have a natural sum less than some ordinal is a set. (Contributed by RP, 20-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nadd2rabex	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem nadd2rabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1154	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐶 ∈ On)
2		0elon 6417	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ On
3		ordelon 6385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
4	3	3ad2antl1 1202	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
5		naddcom 8668	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∅ +no 𝑥) = (𝑥 +no ∅))
6	2, 4, 5	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∅ +no 𝑥) = (𝑥 +no ∅))
7		naddrid 8669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑥 +no ∅) = 𝑥)
8	4, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 +no ∅) = 𝑥)
9	6, 8	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∅ +no 𝑥) = 𝑥)
10		0ss 4364	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
11		simpl2 1209	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
12		naddssim 8671	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 → (∅ +no 𝑥) ⊆ (𝐵 +no 𝑥)))
13	2, 11, 4, 12	mp3an2i 1492	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∅ ⊆ 𝐵 → (∅ +no 𝑥) ⊆ (𝐵 +no 𝑥)))
14	10, 13	mpi 21	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∅ +no 𝑥) ⊆ (𝐵 +no 𝑥))
15	9, 14	eqsstrrd 3980	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ⊆ (𝐵 +no 𝑥))
16		simpl3 1210	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ On)
17		ontr2 6410	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 +no 𝑥) ∧ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶))
18	4, 16, 17	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 +no 𝑥) ∧ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶))
19	15, 18	mpand 707	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝐶))
20	19	3impia 1133	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
21	20	rabssdv 4036	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ⊆ 𝐶)
22	1, 21	ssexd 5295	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  Ord word 6360  Oncon0 6361  (class class class)co 7411   +no cnadd 8650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-nadd 8651

This theorem is referenced by:  nadd2rabon  44005  nadd1rabex  44008