Theorem nadd2rabex 44113

Description: The class of ordinals which have a natural sum less than some ordinal is a set. (Contributed by RP, 20-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nadd2rabex	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem nadd2rabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐶 ∈ On)
2		0elon 6416	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ On
3		ordelon 6384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
4	3	3ad2antl1 1204	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
5		naddcom 8665	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∅ +no 𝑥) = (𝑥 +no ∅))
6	2, 4, 5	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∅ +no 𝑥) = (𝑥 +no ∅))
7		naddrid 8666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑥 +no ∅) = 𝑥)
8	4, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 +no ∅) = 𝑥)
9	6, 8	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∅ +no 𝑥) = 𝑥)
10		0ss 4357	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
11		simpl2 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
12		naddssim 8668	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 → (∅ +no 𝑥) ⊆ (𝐵 +no 𝑥)))
13	2, 11, 4, 12	mp3an2i 1495	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∅ ⊆ 𝐵 → (∅ +no 𝑥) ⊆ (𝐵 +no 𝑥)))
14	10, 13	mpi 21	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∅ +no 𝑥) ⊆ (𝐵 +no 𝑥))
15	9, 14	eqsstrrd 3972	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ⊆ (𝐵 +no 𝑥))
16		simpl3 1212	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ On)
17		ontr2 6409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 +no 𝑥) ∧ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶))
18	4, 16, 17	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 +no 𝑥) ∧ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶))
19	15, 18	mpand 707	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝐶))
20	19	3impia 1135	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
21	20	rabssdv 4028	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ⊆ 𝐶)
22	1, 21	ssexd 5295	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  Ord word 6359  Oncon0 6360  (class class class)co 7410   +no cnadd 8647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-nadd 8648

This theorem is referenced by:  nadd2rabon  44114  nadd1rabex  44117