Theorem nadd2rabex 43382

Description: The class of ordinals which have a natural sum less than some ordinal is a set. (Contributed by RP, 20-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nadd2rabex	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem nadd2rabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐶 ∈ On)
2		0elon 6390	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ On
3		ordelon 6359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
4	3	3ad2antl1 1186	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
5		naddcom 8649	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∅ +no 𝑥) = (𝑥 +no ∅))
6	2, 4, 5	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∅ +no 𝑥) = (𝑥 +no ∅))
7		naddrid 8650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑥 +no ∅) = 𝑥)
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 +no ∅) = 𝑥)
9	6, 8	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∅ +no 𝑥) = 𝑥)
10		0ss 4366	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
11		simpl2 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
12		naddssim 8652	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 → (∅ +no 𝑥) ⊆ (𝐵 +no 𝑥)))
13	2, 11, 4, 12	mp3an2i 1468	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∅ ⊆ 𝐵 → (∅ +no 𝑥) ⊆ (𝐵 +no 𝑥)))
14	10, 13	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∅ +no 𝑥) ⊆ (𝐵 +no 𝑥))
15	9, 14	eqsstrrd 3985	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ⊆ (𝐵 +no 𝑥))
16		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ On)
17		ontr2 6383	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 +no 𝑥) ∧ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶))
18	4, 16, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 +no 𝑥) ∧ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶))
19	15, 18	mpand 695	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝐶))
20	19	3impia 1117	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
21	20	rabssdv 4041	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ⊆ 𝐶)
22	1, 21	ssexd 5282	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  Ord word 6334  Oncon0 6335  (class class class)co 7390   +no cnadd 8632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-nadd 8633

This theorem is referenced by:  nadd2rabon  43383  nadd1rabex  43386