Theorem nadd2rabex 43399

Description: The class of ordinals which have a natural sum less than some ordinal is a set. (Contributed by RP, 20-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nadd2rabex	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem nadd2rabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1139	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐶 ∈ On)
2		0elon 6438	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ On
3		ordelon 6408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
4	3	3ad2antl1 1186	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
5		naddcom 8720	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∅ +no 𝑥) = (𝑥 +no ∅))
6	2, 4, 5	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∅ +no 𝑥) = (𝑥 +no ∅))
7		naddrid 8721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑥 +no ∅) = 𝑥)
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 +no ∅) = 𝑥)
9	6, 8	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∅ +no 𝑥) = 𝑥)
10		0ss 4400	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
11		simpl2 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
12		naddssim 8723	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 → (∅ +no 𝑥) ⊆ (𝐵 +no 𝑥)))
13	2, 11, 4, 12	mp3an2i 1468	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∅ ⊆ 𝐵 → (∅ +no 𝑥) ⊆ (𝐵 +no 𝑥)))
14	10, 13	mpi 20	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∅ +no 𝑥) ⊆ (𝐵 +no 𝑥))
15	9, 14	eqsstrrd 4019	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ⊆ (𝐵 +no 𝑥))
16		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ On)
17		ontr2 6431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 +no 𝑥) ∧ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶))
18	4, 16, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 +no 𝑥) ∧ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶))
19	15, 18	mpand 695	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝐶))
20	19	3impia 1118	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
21	20	rabssdv 4075	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ⊆ 𝐶)
22	1, 21	ssexd 5324	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  Ord word 6383  Oncon0 6384  (class class class)co 7431   +no cnadd 8703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-nadd 8704

This theorem is referenced by:  nadd2rabon  43400  nadd1rabex  43403