Theorem paddasslem11 39789

Description: Lemma for paddass 39797. The case when 𝑝 = 𝑧. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddasslem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddasslem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddasslem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddasslem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddasslem11	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))

Proof of Theorem paddasslem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 774	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ HL)
2		simplr3 1217	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
3		simplr1 1215	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
4		simplr2 1216	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		paddasslem.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		paddasslem.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
7	5, 6	paddssat 39773	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
8	1, 3, 4, 7	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
9	5, 6	sspadd2 39775	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → 𝑍 ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
10	1, 2, 8, 9	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑍 ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
11		simpllr 775	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑝 = 𝑧)
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑧 ∈ 𝑍)
13	11, 12	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑝 ∈ 𝑍)
14	10, 13	sseldd 4009	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  lecple 17320  joincjn 18383  Atomscatm 39221  HLchlt 39308  +_𝑃cpadd 39754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-padd 39755

This theorem is referenced by:  paddasslem14  39792