Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem12 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem paddasslem12 39356
Description: Lemma for paddass 39363. The case when π‘₯ = 𝑦. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddasslem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddasslem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddasslem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddasslem12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Proof of Theorem paddasslem12
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1221 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl21 1248 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
3 simpl22 1249 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
4 paddasslem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 paddasslem.p . . . . . 6 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
64, 5paddssat 39339 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
71, 2, 3, 6syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
8 simpl23 1250 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
91, 7, 83jca 1125 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴))
104, 5sspadd2 39341 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ π‘Œ βŠ† (𝑋 + π‘Œ))
111, 3, 2, 10syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ π‘Œ βŠ† (𝑋 + π‘Œ))
124, 5paddss1 39342 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Œ βŠ† (𝑋 + π‘Œ) β†’ (π‘Œ + 𝑍) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
139, 11, 12sylc 65 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ (π‘Œ + 𝑍) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
141hllatd 38888 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
15 simprll 777 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑦 ∈ π‘Œ)
16 simprlr 778 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑍)
17 simpl3l 1225 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
18 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
19 paddasslem.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2018, 4atbase 38813 . . . . 5 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2117, 20syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
223, 15sseldd 3974 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
2318, 4atbase 38813 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
25 simpl3r 1226 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
2618, 4atbase 38813 . . . . . 6 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
28 paddasslem.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2918, 28latjcl 18425 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑦 ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3014, 24, 27, 29syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ (𝑦 ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
318, 16sseldd 3974 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
3218, 4atbase 38813 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3331, 32syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3418, 28latjcl 18425 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑦 ∨ 𝑧) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3514, 24, 33, 34syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ (𝑦 ∨ 𝑧) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
36 simpl1r 1222 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ π‘₯ = 𝑦)
37 simprrl 779 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))
38 oveq1 7420 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))
3938breq2d 5156 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑝 ≀ (𝑦 ∨ π‘Ÿ)))
4039biimpa 475 . . . . 5 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) β†’ 𝑝 ≀ (𝑦 ∨ π‘Ÿ))
4136, 37, 40syl2anc 582 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ≀ (𝑦 ∨ π‘Ÿ))
4218, 19, 28latlej1 18434 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))
4314, 24, 33, 42syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑦 ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))
44 simprrr 780 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))
4518, 19, 28latjle12 18436 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑦 ∨ 𝑧) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑦 ≀ (𝑦 ∨ 𝑧) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ↔ (𝑦 ∨ π‘Ÿ) ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))
4614, 24, 27, 35, 45syl13anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ ((𝑦 ≀ (𝑦 ∨ 𝑧) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ↔ (𝑦 ∨ π‘Ÿ) ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))
4743, 44, 46mpbi2and 710 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ (𝑦 ∨ π‘Ÿ) ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))
4818, 19, 14, 21, 30, 35, 41, 47lattrd 18432 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))
4919, 28, 4, 5elpaddri 39327 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ (π‘Œ + 𝑍))
5014, 3, 8, 15, 16, 17, 48, 49syl322anc 1395 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ (π‘Œ + 𝑍))
5113, 50sseldd 3974 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5144  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  lecple 17234  joincjn 18297  Latclat 18417  Atomscatm 38787  HLchlt 38874  +𝑃cpadd 39320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-poset 18299  df-lub 18332  df-glb 18333  df-join 18334  df-meet 18335  df-lat 18418  df-ats 38791  df-atl 38822  df-cvlat 38846  df-hlat 38875  df-padd 39321
This theorem is referenced by:  paddasslem14  39358
  Copyright terms: Public domain W3C validator