Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1l 1225 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β πΎ β HL) |
2 | | simpl21 1252 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β π β π΄) |
3 | | simpl22 1253 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β π β π΄) |
4 | | paddasslem.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | | paddasslem.p |
. . . . . 6
β’ + =
(+πβπΎ) |
6 | 4, 5 | paddssat 38323 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π + π) β π΄) |
7 | 1, 2, 3, 6 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β (π + π) β π΄) |
8 | | simpl23 1254 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β π β π΄) |
9 | 1, 7, 8 | 3jca 1129 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β (πΎ β HL β§ (π + π) β π΄ β§ π β π΄)) |
10 | 4, 5 | sspadd2 38325 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β (π + π)) |
11 | 1, 3, 2, 10 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β π β (π + π)) |
12 | 4, 5 | paddss1 38326 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π + π) β π΄ β§ π β π΄) β (π β (π + π) β (π + π) β ((π + π) + π))) |
13 | 9, 11, 12 | sylc 65 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β (π + π) β ((π + π) + π)) |
14 | 1 | hllatd 37872 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β πΎ β Lat) |
15 | | simprll 778 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β π¦ β π) |
16 | | simprlr 779 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β π§ β π) |
17 | | simpl3l 1229 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β π β π΄) |
18 | | eqid 2733 |
. . . 4
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
19 | | paddasslem.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
20 | 18, 4 | atbase 37797 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
21 | 17, 20 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β π β (BaseβπΎ)) |
22 | 3, 15 | sseldd 3946 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β π¦ β π΄) |
23 | 18, 4 | atbase 37797 |
. . . . . 6
β’ (π¦ β π΄ β π¦ β (BaseβπΎ)) |
24 | 22, 23 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β π¦ β (BaseβπΎ)) |
25 | | simpl3r 1230 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β π β π΄) |
26 | 18, 4 | atbase 37797 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
27 | 25, 26 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β π β (BaseβπΎ)) |
28 | | paddasslem.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
29 | 18, 28 | latjcl 18333 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π¦ β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π¦ β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
30 | 14, 24, 27, 29 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β (π¦ β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
31 | 8, 16 | sseldd 3946 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β π§ β π΄) |
32 | 18, 4 | atbase 37797 |
. . . . . 6
β’ (π§ β π΄ β π§ β (BaseβπΎ)) |
33 | 31, 32 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β π§ β (BaseβπΎ)) |
34 | 18, 28 | latjcl 18333 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π¦ β (BaseβπΎ) β§ π§ β (BaseβπΎ)) β (π¦ β¨ π§) β (BaseβπΎ)) |
35 | 14, 24, 33, 34 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β (π¦ β¨ π§) β (BaseβπΎ)) |
36 | | simpl1r 1226 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β π₯ = π¦) |
37 | | simprrl 780 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β π β€ (π₯ β¨ π)) |
38 | | oveq1 7365 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ = π¦ β (π₯ β¨ π) = (π¦ β¨ π)) |
39 | 38 | breq2d 5118 |
. . . . . 6
β’ (π₯ = π¦ β (π β€ (π₯ β¨ π) β π β€ (π¦ β¨ π))) |
40 | 39 | biimpa 478 |
. . . . 5
β’ ((π₯ = π¦ β§ π β€ (π₯ β¨ π)) β π β€ (π¦ β¨ π)) |
41 | 36, 37, 40 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β π β€ (π¦ β¨ π)) |
42 | 18, 19, 28 | latlej1 18342 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π¦ β (BaseβπΎ) β§ π§ β (BaseβπΎ)) β π¦ β€ (π¦ β¨ π§)) |
43 | 14, 24, 33, 42 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β π¦ β€ (π¦ β¨ π§)) |
44 | | simprrr 781 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β π β€ (π¦ β¨ π§)) |
45 | 18, 19, 28 | latjle12 18344 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π¦ β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π¦ β¨ π§) β (BaseβπΎ))) β ((π¦ β€ (π¦ β¨ π§) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)) β (π¦ β¨ π) β€ (π¦ β¨ π§))) |
46 | 14, 24, 27, 35, 45 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β ((π¦ β€ (π¦ β¨ π§) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)) β (π¦ β¨ π) β€ (π¦ β¨ π§))) |
47 | 43, 44, 46 | mpbi2and 711 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β (π¦ β¨ π) β€ (π¦ β¨ π§)) |
48 | 18, 19, 14, 21, 30, 35, 41, 47 | lattrd 18340 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β π β€ (π¦ β¨ π§)) |
49 | 19, 28, 4, 5 | elpaddri 38311 |
. . 3
β’ (((πΎ β Lat β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β π΄ β§ π β€ (π¦ β¨ π§))) β π β (π + π)) |
50 | 14, 3, 8, 15, 16, 17, 48, 49 | syl322anc 1399 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β π β (π + π)) |
51 | 13, 50 | sseldd 3946 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π₯ = π¦) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ ((π¦ β π β§ π§ β π) β§ (π β€ (π₯ β¨ π) β§ π β€ (π¦ β¨ π§)))) β π β ((π + π) + π)) |