Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem12 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem paddasslem12 38690
Description: Lemma for paddass 38697. The case when π‘₯ = 𝑦. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddasslem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddasslem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddasslem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddasslem12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Proof of Theorem paddasslem12
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1224 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl21 1251 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
3 simpl22 1252 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
4 paddasslem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 paddasslem.p . . . . . 6 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
64, 5paddssat 38673 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
71, 2, 3, 6syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
8 simpl23 1253 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
91, 7, 83jca 1128 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴))
104, 5sspadd2 38675 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ π‘Œ βŠ† (𝑋 + π‘Œ))
111, 3, 2, 10syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ π‘Œ βŠ† (𝑋 + π‘Œ))
124, 5paddss1 38676 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Œ βŠ† (𝑋 + π‘Œ) β†’ (π‘Œ + 𝑍) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
139, 11, 12sylc 65 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ (π‘Œ + 𝑍) βŠ† ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
141hllatd 38222 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
15 simprll 777 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑦 ∈ π‘Œ)
16 simprlr 778 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑍)
17 simpl3l 1228 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
18 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
19 paddasslem.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2018, 4atbase 38147 . . . . 5 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2117, 20syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
223, 15sseldd 3982 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
2318, 4atbase 38147 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
25 simpl3r 1229 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
2618, 4atbase 38147 . . . . . 6 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
28 paddasslem.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2918, 28latjcl 18388 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑦 ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3014, 24, 27, 29syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ (𝑦 ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
318, 16sseldd 3982 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
3218, 4atbase 38147 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3331, 32syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3418, 28latjcl 18388 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑦 ∨ 𝑧) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3514, 24, 33, 34syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ (𝑦 ∨ 𝑧) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
36 simpl1r 1225 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ π‘₯ = 𝑦)
37 simprrl 779 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))
38 oveq1 7412 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) = (𝑦 ∨ π‘Ÿ))
3938breq2d 5159 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑝 ≀ (𝑦 ∨ π‘Ÿ)))
4039biimpa 477 . . . . 5 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)) β†’ 𝑝 ≀ (𝑦 ∨ π‘Ÿ))
4136, 37, 40syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ≀ (𝑦 ∨ π‘Ÿ))
4218, 19, 28latlej1 18397 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))
4314, 24, 33, 42syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑦 ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))
44 simprrr 780 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))
4518, 19, 28latjle12 18399 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑦 ∨ 𝑧) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑦 ≀ (𝑦 ∨ 𝑧) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ↔ (𝑦 ∨ π‘Ÿ) ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))
4614, 24, 27, 35, 45syl13anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ ((𝑦 ≀ (𝑦 ∨ 𝑧) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) ↔ (𝑦 ∨ π‘Ÿ) ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))
4743, 44, 46mpbi2and 710 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ (𝑦 ∨ π‘Ÿ) ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))
4818, 19, 14, 21, 30, 35, 41, 47lattrd 18395 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))
4919, 28, 4, 5elpaddri 38661 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ (π‘Œ + 𝑍))
5014, 3, 8, 15, 16, 17, 48, 49syl322anc 1398 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ (π‘Œ + 𝑍))
5113, 50sseldd 3982 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  Latclat 18380  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  +𝑃cpadd 38654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-poset 18262  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-lat 18381  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-padd 38655
This theorem is referenced by:  paddasslem14  38692
  Copyright terms: Public domain W3C validator