Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddass 38578
Description: Projective subspace sum is associative. Equation 16.2.1 of [MaedaMaeda] p. 68. In our version, the subspaces do not have to be nonempty. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
paddass.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddass.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddass ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem paddass
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpr3 1196 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑍𝐴)
3 simpr2 1195 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑌𝐴)
4 simpr1 1194 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑋𝐴)
5 paddass.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 paddass.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
75, 6paddasslem18 38577 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑍𝐴𝑌𝐴𝑋𝐴)) → (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)) ⊆ ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)) ⊆ ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
9 hllat 38102 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
105, 6paddcom 38553 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
119, 10syl3an1 1163 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
12113adant3r3 1184 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
1312oveq1d 7409 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍))
145, 6paddssat 38554 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋𝐴) → (𝑌 + 𝑋) ⊆ 𝐴)
151, 3, 4, 14syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑌 + 𝑋) ⊆ 𝐴)
165, 6paddcom 38553 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 + 𝑋) ⊆ 𝐴𝑍𝐴) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)))
179, 16syl3an1 1163 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑌 + 𝑋) ⊆ 𝐴𝑍𝐴) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)))
181, 15, 2, 17syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)))
1913, 18eqtrd 2772 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)))
205, 6paddcom 38553 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑌 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑌))
219, 20syl3an1 1163 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑌 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑌))
22213adant3r1 1182 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑌 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑌))
2322oveq2d 7410 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = (𝑋 + (𝑍 + 𝑌)))
245, 6paddssat 38554 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝐴𝑌𝐴) → (𝑍 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
251, 2, 3, 24syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑍 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
265, 6paddcom 38553 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑍 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
279, 26syl3an1 1163 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑍 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
281, 4, 25, 27syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
2923, 28eqtrd 2772 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
308, 19, 293sstr4d 4026 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
315, 6paddasslem18 38577 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
3230, 31eqssd 3996 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3945  cfv 6533  (class class class)co 7394  Latclat 18368  Atomscatm 38002  HLchlt 38089  +𝑃cpadd 38535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5568  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-proset 18232  df-poset 18250  df-plt 18267  df-lub 18283  df-glb 18284  df-join 18285  df-meet 18286  df-p0 18362  df-lat 18369  df-clat 18436  df-oposet 37915  df-ol 37917  df-oml 37918  df-covers 38005  df-ats 38006  df-atl 38037  df-cvlat 38061  df-hlat 38090  df-padd 38536
This theorem is referenced by:  padd12N  38579  padd4N  38580  pmodl42N  38591  pmapjlln1  38595
  Copyright terms: Public domain W3C validator