Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddass 39840
Description: Projective subspace sum is associative. Equation 16.2.1 of [MaedaMaeda] p. 68. In our version, the subspaces do not have to be nonempty. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
paddass.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddass.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddass ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem paddass
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpr3 1197 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑍𝐴)
3 simpr2 1196 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑌𝐴)
4 simpr1 1195 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑋𝐴)
5 paddass.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 paddass.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
75, 6paddasslem18 39839 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑍𝐴𝑌𝐴𝑋𝐴)) → (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)) ⊆ ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1374 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)) ⊆ ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
9 hllat 39364 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
105, 6paddcom 39815 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
119, 10syl3an1 1164 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
12113adant3r3 1185 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
1312oveq1d 7446 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍))
145, 6paddssat 39816 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋𝐴) → (𝑌 + 𝑋) ⊆ 𝐴)
151, 3, 4, 14syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑌 + 𝑋) ⊆ 𝐴)
165, 6paddcom 39815 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 + 𝑋) ⊆ 𝐴𝑍𝐴) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)))
179, 16syl3an1 1164 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑌 + 𝑋) ⊆ 𝐴𝑍𝐴) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)))
181, 15, 2, 17syl3anc 1373 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)))
1913, 18eqtrd 2777 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)))
205, 6paddcom 39815 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑌 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑌))
219, 20syl3an1 1164 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑌 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑌))
22213adant3r1 1183 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑌 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑌))
2322oveq2d 7447 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = (𝑋 + (𝑍 + 𝑌)))
245, 6paddssat 39816 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝐴𝑌𝐴) → (𝑍 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
251, 2, 3, 24syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑍 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
265, 6paddcom 39815 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑍 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
279, 26syl3an1 1164 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑍 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
281, 4, 25, 27syl3anc 1373 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
2923, 28eqtrd 2777 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
308, 19, 293sstr4d 4039 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
315, 6paddasslem18 39839 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
3230, 31eqssd 4001 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  cfv 6561  (class class class)co 7431  Latclat 18476  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  +𝑃cpadd 39797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-padd 39798
This theorem is referenced by:  padd12N  39841  padd4N  39842  pmodl42N  39853  pmapjlln1  39857
  Copyright terms: Public domain W3C validator