Theorem paddass 39839

Description: Projective subspace sum is associative. Equation 16.2.1 of [MaedaMaeda] p. 68. In our version, the subspaces do not have to be nonempty. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddass.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddass.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddass	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem paddass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
3		simpr2 1196	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
4		simpr1 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
5		paddass.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		paddass.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
7	5, 6	paddasslem18 39838	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴)) → (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)) ⊆ ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)) ⊆ ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
9		hllat 39363	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
10	5, 6	paddcom 39814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
11	9, 10	syl3an1 1163	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
12	11	3adant3r3 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
13	12	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍))
14	5, 6	paddssat 39815	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑋) ⊆ 𝐴)
15	1, 3, 4, 14	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑌 + 𝑋) ⊆ 𝐴)
16	5, 6	paddcom 39814	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 + 𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)))
17	9, 16	syl3an1 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑌 + 𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)))
18	1, 15, 2, 17	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)))
19	13, 18	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑋)))
20	5, 6	paddcom 39814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑌))
21	9, 20	syl3an1 1163	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑌))
22	21	3adant3r1 1183	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑌 + 𝑍) = (𝑍 + 𝑌))
23	22	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = (𝑋 + (𝑍 + 𝑌)))
24	5, 6	paddssat 39815	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑍 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
25	1, 2, 3, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑍 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
26	5, 6	paddcom 39814	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑍 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
27	9, 26	syl3an1 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑍 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
28	1, 4, 25, 27	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 + (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
29	23, 28	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑍 + 𝑌) + 𝑋))
30	8, 19, 29	3sstr4d 4005	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
31	5, 6	paddasslem18 39838	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
32	30, 31	eqssd 3967	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Latclat 18397  Atomscatm 39263  HLchlt 39350  +_𝑃cpadd 39796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39176  df-ol 39178  df-oml 39179  df-covers 39266  df-ats 39267  df-atl 39298  df-cvlat 39322  df-hlat 39351  df-padd 39797

This theorem is referenced by:  padd12N  39840  padd4N  39841  pmodl42N  39852  pmapjlln1  39856