Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem14 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem paddasslem14 39008
Description: Lemma for paddass 39013. Remove 𝑝 β‰  𝑧, π‘₯ β‰  𝑦, and Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) from antecedent of paddasslem10 39004, using paddasslem11 39005, paddasslem12 39006, and paddasslem13 39007. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddasslem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddasslem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddasslem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddasslem14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Proof of Theorem paddasslem14
StepHypRef Expression
1 paddasslem.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 paddasslem.j . . . . . . . . 9 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 paddasslem.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 paddasslem.p . . . . . . . . 9 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4paddasslem11 39005 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
653ad2antr3 1189 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍)) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
76ex 412 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
87adantrd 491 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
98a1d 25 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴)) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))))
109exp31 419 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ (𝑝 = 𝑧 β†’ ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))))))
11 3simpb 1148 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦))
12113anim1i 1151 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)))
13 3simpc 1149 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍))
1413anim1i 614 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))))
151, 2, 3, 4paddasslem12 39006 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
1612, 14, 15syl2an 595 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ = 𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
17163exp1 1351 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))))
18173expia 1120 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) β†’ (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))))))
19 3simpa 1147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧))
20193anim1i 1151 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)))
21 3simpa 1147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ))
22 3simpa 1147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) β†’ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))
2321, 22anim12i 612 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ))))
241, 2, 3, 4paddasslem13 39007 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
2520, 23, 24syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
2625expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍)) β†’ ((π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
27263expd 1352 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍)) β†’ (π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) β†’ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))))
281, 2, 3, 4paddasslem10 39004 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
2928expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍)) β†’ ((Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
30293expd 1352 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍)) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) β†’ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))))
3127, 30pm2.61d 179 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍)) β†’ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))))
3231impd 410 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍)) β†’ ((𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
3332expimpd 453 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))
34333exp 1118 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧 ∧ π‘₯ β‰  𝑦) β†’ ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))))
35343expia 1120 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))))))
3618, 35pm2.61dne 3027 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 β‰  𝑧) β†’ ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))))
3736ex 412 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ (𝑝 β‰  𝑧 β†’ ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))))))
3810, 37pm2.61dne 3027 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍)))))
39383imp1 1346 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ≀ (π‘₯ ∨ π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ ≀ (𝑦 ∨ 𝑧)))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  lecple 17209  joincjn 18269  Atomscatm 38437  HLchlt 38524  +𝑃cpadd 38970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-lat 18390  df-clat 18457  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-padd 38971
This theorem is referenced by:  paddasslem15  39009
  Copyright terms: Public domain W3C validator