Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddss12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddss12 36825
Description: Subset law for projective subspace sum. (unss12 4162 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddss12 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) → ((𝑋𝑌𝑍𝑊) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))

Proof of Theorem paddss12
StepHypRef Expression
1 simpl1 1185 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → 𝐾𝐵)
2 simpl2 1186 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → 𝑌𝐴)
3 sstr 3979 . . . . . . . 8 ((𝑍𝑊𝑊𝐴) → 𝑍𝐴)
43ancoms 459 . . . . . . 7 ((𝑊𝐴𝑍𝑊) → 𝑍𝐴)
54ad2ant2l 742 . . . . . 6 (((𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → 𝑍𝐴)
653adantl1 1160 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → 𝑍𝐴)
71, 2, 63jca 1122 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → (𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴))
8 simprl 767 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → 𝑋𝑌)
9 padd0.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 padd0.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
119, 10paddss1 36823 . . . 4 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑋𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))
127, 8, 11sylc 65 . . 3 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍))
139, 10paddss2 36824 . . . . . 6 ((𝐾𝐵𝑊𝐴𝑌𝐴) → (𝑍𝑊 → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))
14133com23 1120 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) → (𝑍𝑊 → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))
1514imp 407 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ 𝑍𝑊) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊))
1615adantrl 712 . . 3 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊))
1712, 16sstrd 3981 . 2 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊))
1817ex 413 1 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) → ((𝑋𝑌𝑍𝑊) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wss 3940  cfv 6352  (class class class)co 7148  Atomscatm 36269  +𝑃cpadd 36801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-padd 36802
This theorem is referenced by:  paddssw1  36849  paddunN  36933  pl42lem2N  36986
  Copyright terms: Public domain W3C validator