Theorem paddss12 40324

Description: Subset law for projective subspace sum. (unss12 4119 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddss12	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))

Proof of Theorem paddss12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1199	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → 𝐾 ∈ 𝐵)
2		simpl2 1200	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
3		sstr 3924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ⊆ 𝑊 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
4	3	ancoms 460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
5	4	ad2ant2l 753	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
6	5	3adantl1 1174	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
7	1, 2, 6	3jca 1135	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴))
8		simprl 777	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
9		padd0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10		padd0.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
11	9, 10	paddss1 40322	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))
12	7, 8, 11	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍))
13	9, 10	paddss2 40323	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑍 ⊆ 𝑊 → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))
14	13	3com23 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) → (𝑍 ⊆ 𝑊 → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))
15	14	imp 408	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊))
16	15	adantrl 723	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊))
17	12, 16	sstrd 3926	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊))
18	17	ex 414	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3884  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  Atomscatm 39768  +_𝑃cpadd 40300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-padd 40301

This theorem is referenced by:  paddssw1  40348  paddunN  40432  pl42lem2N  40485