Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddss12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddss12 35707
Description: Subset law for projective subspace sum. (unss12 3947 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddss12 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) → ((𝑋𝑌𝑍𝑊) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))

Proof of Theorem paddss12
StepHypRef Expression
1 simpl1 1242 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → 𝐾𝐵)
2 simpl2 1244 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → 𝑌𝐴)
3 sstr 3769 . . . . . . . 8 ((𝑍𝑊𝑊𝐴) → 𝑍𝐴)
43ancoms 450 . . . . . . 7 ((𝑊𝐴𝑍𝑊) → 𝑍𝐴)
54ad2ant2l 752 . . . . . 6 (((𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → 𝑍𝐴)
653adantl1 1207 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → 𝑍𝐴)
71, 2, 63jca 1158 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → (𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴))
8 simprl 787 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → 𝑋𝑌)
9 padd0.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 padd0.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
119, 10paddss1 35705 . . . 4 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑋𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))
127, 8, 11sylc 65 . . 3 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍))
139, 10paddss2 35706 . . . . . 6 ((𝐾𝐵𝑊𝐴𝑌𝐴) → (𝑍𝑊 → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))
14133com23 1156 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) → (𝑍𝑊 → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))
1514imp 395 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ 𝑍𝑊) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊))
1615adantrl 707 . . 3 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊))
1712, 16sstrd 3771 . 2 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊))
1817ex 401 1 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) → ((𝑋𝑌𝑍𝑊) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wss 3732  cfv 6068  (class class class)co 6842  Atomscatm 35151  +𝑃cpadd 35683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-padd 35684
This theorem is referenced by:  paddssw1  35731  paddunN  35815  pl42lem2N  35868
  Copyright terms: Public domain W3C validator