Theorem paddss12 39806

Description: Subset law for projective subspace sum. (unss12 4147 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddss12	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))

Proof of Theorem paddss12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → 𝐾 ∈ 𝐵)
2		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
3		sstr 3952	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ⊆ 𝑊 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
4	3	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
5	4	ad2ant2l 746	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
6	5	3adantl1 1167	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
7	1, 2, 6	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → (𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴))
8		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
9		padd0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10		padd0.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
11	9, 10	paddss1 39804	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))
12	7, 8, 11	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍))
13	9, 10	paddss2 39805	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑍 ⊆ 𝑊 → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))
14	13	3com23 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) → (𝑍 ⊆ 𝑊 → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))
15	14	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊))
16	15	adantrl 716	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊))
17	12, 16	sstrd 3954	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊)) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊))
18	17	ex 412	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑍 ⊆ 𝑊) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Atomscatm 39249  +_𝑃cpadd 39782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-padd 39783

This theorem is referenced by:  paddssw1  39830  paddunN  39914  pl42lem2N  39967