Theorem paddasslem1 39204

Description: Lemma for paddass 39222. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddasslem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddasslem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddasslem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddasslem1	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → ¬ 𝑥 ≤ (𝑟 ∨ 𝑦))

Proof of Theorem paddasslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		paddasslem.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		paddasslem.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		paddasslem.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlatexch2 38780	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 ≤ (𝑟 ∨ 𝑦) → 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))
5	4	con3dimp 408	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → ¬ 𝑥 ≤ (𝑟 ∨ 𝑦))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  lecple 17213  joincjn 18276  Atomscatm 38646  HLchlt 38733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734

This theorem is referenced by:  paddasslem4  39207