Theorem paddasslem1 40572

Description: Lemma for paddass 40590. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddasslem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddasslem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddasslem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddasslem1	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → ¬ 𝑥 ≤ (𝑟 ∨ 𝑦))

Proof of Theorem paddasslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		paddasslem.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		paddasslem.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		paddasslem.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlatexch2 40148	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 ≤ (𝑟 ∨ 𝑦) → 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))
5	4	con3dimp 413	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)) → ¬ 𝑥 ≤ (𝑟 ∨ 𝑦))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  lecple 17318  joincjn 18368  Atomscatm 40015  HLchlt 40102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18385  df-lub 18401  df-glb 18402  df-join 18403  df-meet 18404  df-p0 18480  df-lat 18489  df-covers 40018  df-ats 40019  df-atl 40050  df-cvlat 40074  df-hlat 40103

This theorem is referenced by:  paddasslem4  40575