Theorem elicod 13297

Description: Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
elicod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
elicod.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
elicod.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
elicod.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elicod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		elicod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		elicod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		elicod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elicod.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elico1 13290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℝ^*cxr 11152   < clt 11153   ≤ cle 11154  [,)cico 13249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-xr 11157  df-ico 13253

This theorem is referenced by:  fprodge1  15904  metustexhalf  24472  ply1degltel  33562  ply1degleel  33563  ply1degltlss  33564  ply1degltdimlem  33656  ply1degltdim  33657  absfico  45339  icoiccdif  45648  icoopn  45649  eliccnelico  45653  eliccelicod  45654  ge0xrre  45655  uzinico  45683  fsumge0cl  45697  limsupresico  45822  limsuppnfdlem  45823  limsupmnflem  45842  liminfresico  45893  limsup10exlem  45894  liminflelimsupuz  45907  xlimmnfvlem2  45955  icocncflimc  46011  fourierdlem41  46270  fourierdlem46  46274  fourierdlem48  46276  fouriersw  46353  fge0iccico  46492  sge0tsms  46502  sge0repnf  46508  sge0pr  46516  sge0iunmptlemre  46537  sge0rpcpnf  46543  sge0rernmpt  46544  sge0ad2en  46553  sge0xaddlem2  46556  voliunsge0lem  46594  meassre  46599  meaiuninclem  46602  omessre  46632  omeiunltfirp  46641  hoiprodcl  46669  hoicvr  46670  ovnsubaddlem1  46692  hoiprodcl3  46702  hoidmvcl  46704  hoidmv1lelem3  46715  hoidmvlelem3  46719  hoidmvlelem5  46721  hspdifhsp  46738  hoiqssbllem1  46744  hoiqssbllem2  46745  hspmbllem2  46749  volicorege0  46759  ovolval5lem1  46774  iunhoiioolem  46797  preimaicomnf  46833  mod42tp1mod8  47726  eenglngeehlnmlem2  48863  itscnhlinecirc02p  48910