Theorem elicod 12985

Description: Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
elicod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
elicod.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
elicod.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
elicod.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elicod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		elicod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		elicod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		elicod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elicod.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elico1 12978	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1089   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867   ≤ cle 10868  [,)cico 12937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-xr 10871  df-ico 12941

This theorem is referenced by:  fprodge1  15557  metustexhalf  23454  absfico  42431  icoiccdif  42737  icoopn  42738  eliccnelico  42742  eliccelicod  42743  ge0xrre  42744  uzinico  42773  fsumge0cl  42789  limsupresico  42916  limsuppnfdlem  42917  limsupmnflem  42936  liminfresico  42987  limsup10exlem  42988  liminflelimsupuz  43001  xlimmnfvlem2  43049  icocncflimc  43105  fourierdlem41  43364  fourierdlem46  43368  fourierdlem48  43370  fouriersw  43447  fge0iccico  43583  sge0tsms  43593  sge0repnf  43599  sge0pr  43607  sge0iunmptlemre  43628  sge0rpcpnf  43634  sge0rernmpt  43635  sge0ad2en  43644  sge0xaddlem2  43647  voliunsge0lem  43685  meassre  43690  meaiuninclem  43693  omessre  43723  omeiunltfirp  43732  hoiprodcl  43760  hoicvr  43761  ovnsubaddlem1  43783  hoiprodcl3  43793  hoidmvcl  43795  hoidmv1lelem3  43806  hoidmvlelem3  43810  hoidmvlelem5  43812  hspdifhsp  43829  hoiqssbllem1  43835  hoiqssbllem2  43836  hspmbllem2  43840  volicorege0  43850  ovolval5lem1  43865  iunhoiioolem  43888  preimaicomnf  43921  mod42tp1mod8  44727  eenglngeehlnmlem2  45757  itscnhlinecirc02p  45804