Theorem elicod 13381

Description: Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
elicod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
elicod.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
elicod.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
elicod.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elicod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		elicod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		elicod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		elicod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elicod.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elico1 13374	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1341	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  ℝ^*cxr 11254   < clt 11255   ≤ cle 11256  [,)cico 13333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-xr 11259  df-ico 13337

This theorem is referenced by:  fprodge1  15946  metustexhalf  24384  ply1degltel  33105  ply1degleel  33106  ply1degltlss  33107  ply1degltdimlem  33160  ply1degltdim  33161  absfico  44375  icoiccdif  44695  icoopn  44696  eliccnelico  44700  eliccelicod  44701  ge0xrre  44702  uzinico  44731  fsumge0cl  44747  limsupresico  44874  limsuppnfdlem  44875  limsupmnflem  44894  liminfresico  44945  limsup10exlem  44946  liminflelimsupuz  44959  xlimmnfvlem2  45007  icocncflimc  45063  fourierdlem41  45322  fourierdlem46  45326  fourierdlem48  45328  fouriersw  45405  fge0iccico  45544  sge0tsms  45554  sge0repnf  45560  sge0pr  45568  sge0iunmptlemre  45589  sge0rpcpnf  45595  sge0rernmpt  45596  sge0ad2en  45605  sge0xaddlem2  45608  voliunsge0lem  45646  meassre  45651  meaiuninclem  45654  omessre  45684  omeiunltfirp  45693  hoiprodcl  45721  hoicvr  45722  ovnsubaddlem1  45744  hoiprodcl3  45754  hoidmvcl  45756  hoidmv1lelem3  45767  hoidmvlelem3  45771  hoidmvlelem5  45773  hspdifhsp  45790  hoiqssbllem1  45796  hoiqssbllem2  45797  hspmbllem2  45801  volicorege0  45811  ovolval5lem1  45826  iunhoiioolem  45849  preimaicomnf  45885  mod42tp1mod8  46728  eenglngeehlnmlem2  47585  itscnhlinecirc02p  47632