Theorem elicod 13394

Description: Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
elicod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
elicod.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
elicod.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
elicod.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elicod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		elicod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		elicod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		elicod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elicod.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elico1 13387	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1355	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  (class class class)co 7390  ℝ^*cxr 11210   < clt 11211   ≤ cle 11212  [,)cico 13346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fv 6523  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-xr 11215  df-ico 13350

This theorem is referenced by:  fprodge1  16006  metustexhalf  24594  ply1degltel  33749  ply1degleel  33750  ply1degltlss  33751  ply1degltdimlem  33878  ply1degltdim  33879  absfico  45747  icoiccdif  46053  icoopn  46054  eliccnelico  46058  eliccelicod  46059  ge0xrre  46060  uzinico  46088  fsumge0cl  46102  limsupresico  46227  limsuppnfdlem  46228  limsupmnflem  46247  liminfresico  46298  limsup10exlem  46299  liminflelimsupuz  46312  xlimmnfvlem2  46360  icocncflimc  46416  fourierdlem41  46675  fourierdlem46  46679  fourierdlem48  46681  fouriersw  46758  fge0iccico  46897  sge0tsms  46907  sge0repnf  46913  sge0pr  46921  sge0iunmptlemre  46942  sge0rpcpnf  46948  sge0rernmpt  46949  sge0ad2en  46958  sge0xaddlem2  46961  voliunsge0lem  46999  meassre  47004  meaiuninclem  47007  omessre  47037  omeiunltfirp  47046  hoiprodcl  47074  hoicvr  47075  ovnsubaddlem1  47097  hoiprodcl3  47107  hoidmvcl  47109  hoidmv1lelem3  47120  hoidmvlelem3  47124  hoidmvlelem5  47126  hspdifhsp  47143  hoiqssbllem1  47149  hoiqssbllem2  47150  hspmbllem2  47154  volicorege0  47164  ovolval5lem1  47179  iunhoiioolem  47202  preimaicomnf  47238  mod42tp1mod8  48164  eenglngeehlnmlem2  49313  itscnhlinecirc02p  49360