Theorem elicod 13346

Description: Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
elicod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
elicod.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
elicod.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
elicod.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elicod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		elicod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		elicod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		elicod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elicod.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elico1 13339	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1349	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℝ^*cxr 11176   < clt 11177   ≤ cle 11178  [,)cico 13298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-xr 11181  df-ico 13302

This theorem is referenced by:  fprodge1  15958  metustexhalf  24546  ply1degltel  33684  ply1degleel  33685  ply1degltlss  33686  ply1degltdimlem  33813  ply1degltdim  33814  absfico  45670  icoiccdif  45976  icoopn  45977  eliccnelico  45981  eliccelicod  45982  ge0xrre  45983  uzinico  46011  fsumge0cl  46025  limsupresico  46150  limsuppnfdlem  46151  limsupmnflem  46170  liminfresico  46221  limsup10exlem  46222  liminflelimsupuz  46235  xlimmnfvlem2  46283  icocncflimc  46339  fourierdlem41  46598  fourierdlem46  46602  fourierdlem48  46604  fouriersw  46681  fge0iccico  46820  sge0tsms  46830  sge0repnf  46836  sge0pr  46844  sge0iunmptlemre  46865  sge0rpcpnf  46871  sge0rernmpt  46872  sge0ad2en  46881  sge0xaddlem2  46884  voliunsge0lem  46922  meassre  46927  meaiuninclem  46930  omessre  46960  omeiunltfirp  46969  hoiprodcl  46997  hoicvr  46998  ovnsubaddlem1  47020  hoiprodcl3  47030  hoidmvcl  47032  hoidmv1lelem3  47043  hoidmvlelem3  47047  hoidmvlelem5  47049  hspdifhsp  47066  hoiqssbllem1  47072  hoiqssbllem2  47073  hspmbllem2  47077  volicorege0  47087  ovolval5lem1  47102  iunhoiioolem  47125  preimaicomnf  47161  mod42tp1mod8  48087  eenglngeehlnmlem2  49236  itscnhlinecirc02p  49283