Theorem elicod 13356

Description: Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
elicod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
elicod.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
elicod.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
elicod.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elicod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		elicod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		elicod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		elicod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elicod.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elico1 13349	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209  [,)cico 13308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-xr 11212  df-ico 13312

This theorem is referenced by:  fprodge1  15961  metustexhalf  24444  ply1degltel  33560  ply1degleel  33561  ply1degltlss  33562  ply1degltdimlem  33618  ply1degltdim  33619  absfico  45212  icoiccdif  45522  icoopn  45523  eliccnelico  45527  eliccelicod  45528  ge0xrre  45529  uzinico  45557  fsumge0cl  45571  limsupresico  45698  limsuppnfdlem  45699  limsupmnflem  45718  liminfresico  45769  limsup10exlem  45770  liminflelimsupuz  45783  xlimmnfvlem2  45831  icocncflimc  45887  fourierdlem41  46146  fourierdlem46  46150  fourierdlem48  46152  fouriersw  46229  fge0iccico  46368  sge0tsms  46378  sge0repnf  46384  sge0pr  46392  sge0iunmptlemre  46413  sge0rpcpnf  46419  sge0rernmpt  46420  sge0ad2en  46429  sge0xaddlem2  46432  voliunsge0lem  46470  meassre  46475  meaiuninclem  46478  omessre  46508  omeiunltfirp  46517  hoiprodcl  46545  hoicvr  46546  ovnsubaddlem1  46568  hoiprodcl3  46578  hoidmvcl  46580  hoidmv1lelem3  46591  hoidmvlelem3  46595  hoidmvlelem5  46597  hspdifhsp  46614  hoiqssbllem1  46620  hoiqssbllem2  46621  hspmbllem2  46625  volicorege0  46635  ovolval5lem1  46650  iunhoiioolem  46673  preimaicomnf  46709  mod42tp1mod8  47603  eenglngeehlnmlem2  48727  itscnhlinecirc02p  48774