Theorem elicod 13507

Description: Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
elicod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
elicod.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
elicod.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
elicod.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elicod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		elicod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		elicod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		elicod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elicod.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elico1 13500	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  [,)cico 13459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-xr 11328  df-ico 13463

This theorem is used by:  fprodge1  16142  metustexhalf  24855  ply1degltel  34108  ply1degleel  34109  ply1degltlss  34110  ply1degltdimlem  34236  ply1degltdim  34237  absfico  46174  icoiccdif  46480  icoopn  46481  eliccnelico  46485  eliccelicod  46486  ge0xrre  46487  uzinico  46515  fsumge0cl  46529  limsupresico  46654  limsuppnfdlem  46655  limsupmnflem  46674  liminfresico  46725  limsup10exlem  46726  liminflelimsupuz  46739  xlimmnfvlem2  46787  icocncflimc  46843  fourierdlem41  47102  fourierdlem46  47106  fourierdlem48  47108  fouriersw  47185  fge0iccico  47324  sge0tsms  47334  sge0repnf  47340  sge0pr  47348  sge0iunmptlemre  47369  sge0rpcpnf  47375  sge0rernmpt  47376  sge0ad2en  47385  sge0xaddlem2  47388  voliunsge0lem  47426  meassre  47431  meaiuninclem  47434  omessre  47464  omeiunltfirp  47473  hoiprodcl  47501  hoicvr  47502  ovnsubaddlem1  47524  hoiprodcl3  47534  hoidmvcl  47536  hoidmv1lelem3  47547  hoidmvlelem3  47551  hoidmvlelem5  47553  hspdifhsp  47570  hoiqssbllem1  47576  hoiqssbllem2  47577  hspmbllem2  47581  volicorege0  47591  ovolval5lem1  47606  iunhoiioolem  47629  preimaicomnf  47665  mod42tp1mod8  48631  eenglngeehlnmlem2  49794  itscnhlinecirc02p  49841