Theorem elicod 13413

Description: Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
elicod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
elicod.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
elicod.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
elicod.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elicod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		elicod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		elicod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		elicod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elicod.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elico1 13406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1359	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232  [,)cico 13365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-xr 11235  df-ico 13369

This theorem is referenced by:  fprodge1  16039  metustexhalf  24674  ply1degltel  33801  ply1degleel  33802  ply1degltlss  33803  ply1degltdimlem  33929  ply1degltdim  33930  absfico  45792  icoiccdif  46098  icoopn  46099  eliccnelico  46103  eliccelicod  46104  ge0xrre  46105  uzinico  46133  fsumge0cl  46147  limsupresico  46272  limsuppnfdlem  46273  limsupmnflem  46292  liminfresico  46343  limsup10exlem  46344  liminflelimsupuz  46357  xlimmnfvlem2  46405  icocncflimc  46461  fourierdlem41  46720  fourierdlem46  46724  fourierdlem48  46726  fouriersw  46803  fge0iccico  46942  sge0tsms  46952  sge0repnf  46958  sge0pr  46966  sge0iunmptlemre  46987  sge0rpcpnf  46993  sge0rernmpt  46994  sge0ad2en  47003  sge0xaddlem2  47006  voliunsge0lem  47044  meassre  47049  meaiuninclem  47052  omessre  47082  omeiunltfirp  47091  hoiprodcl  47119  hoicvr  47120  ovnsubaddlem1  47142  hoiprodcl3  47152  hoidmvcl  47154  hoidmv1lelem3  47165  hoidmvlelem3  47169  hoidmvlelem5  47171  hspdifhsp  47188  hoiqssbllem1  47194  hoiqssbllem2  47195  hspmbllem2  47199  volicorege0  47209  ovolval5lem1  47224  iunhoiioolem  47247  preimaicomnf  47283  mod42tp1mod8  48209  eenglngeehlnmlem2  49369  itscnhlinecirc02p  49416