Theorem elicod 12637

Description: Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
elicod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
elicod.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
elicod.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
elicod.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elicod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		elicod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		elicod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		elicod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elicod.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elico1 12631	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1335	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ w3a 1080   ∈ wcel 2081   class class class wbr 4962  (class class class)co 7016  ℝ^*cxr 10520   < clt 10521   ≤ cle 10522  [,)cico 12590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-xr 10525  df-ico 12594

This theorem is referenced by:  fprodge1  15182  metustexhalf  22849  absfico  41021  icoiccdif  41342  icoopn  41343  eliccnelico  41347  eliccelicod  41348  ge0xrre  41349  uzinico  41378  fsumge0cl  41396  limsupresico  41523  limsuppnfdlem  41524  limsupmnflem  41543  liminfresico  41594  limsup10exlem  41595  liminflelimsupuz  41608  xlimmnfvlem2  41656  icocncflimc  41713  fourierdlem41  41975  fourierdlem46  41979  fourierdlem48  41981  fouriersw  42058  fge0iccico  42194  sge0tsms  42204  sge0repnf  42210  sge0pr  42218  sge0iunmptlemre  42239  sge0rpcpnf  42245  sge0rernmpt  42246  sge0ad2en  42255  sge0xaddlem2  42258  voliunsge0lem  42296  meassre  42301  meaiuninclem  42304  omessre  42334  omeiunltfirp  42343  hoiprodcl  42371  hoicvr  42372  ovnsubaddlem1  42394  hoiprodcl3  42404  hoidmvcl  42406  hoidmv1lelem3  42417  hoidmvlelem3  42421  hoidmvlelem5  42423  hspdifhsp  42440  hoiqssbllem1  42446  hoiqssbllem2  42447  hspmbllem2  42451  volicorege0  42461  ovolval5lem1  42476  iunhoiioolem  42499  preimaicomnf  42532  mod42tp1mod8  43249  eenglngeehlnmlem2  44206  itscnhlinecirc02p  44253