Theorem elicod 13412

Description: Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
elicod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
elicod.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
elicod.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
elicod.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elicod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		elicod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		elicod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		elicod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elicod.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elico1 13405	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270  [,)cico 13364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-xr 11273  df-ico 13368

This theorem is referenced by:  fprodge1  16011  metustexhalf  24495  ply1degltel  33604  ply1degleel  33605  ply1degltlss  33606  ply1degltdimlem  33662  ply1degltdim  33663  absfico  45242  icoiccdif  45553  icoopn  45554  eliccnelico  45558  eliccelicod  45559  ge0xrre  45560  uzinico  45588  fsumge0cl  45602  limsupresico  45729  limsuppnfdlem  45730  limsupmnflem  45749  liminfresico  45800  limsup10exlem  45801  liminflelimsupuz  45814  xlimmnfvlem2  45862  icocncflimc  45918  fourierdlem41  46177  fourierdlem46  46181  fourierdlem48  46183  fouriersw  46260  fge0iccico  46399  sge0tsms  46409  sge0repnf  46415  sge0pr  46423  sge0iunmptlemre  46444  sge0rpcpnf  46450  sge0rernmpt  46451  sge0ad2en  46460  sge0xaddlem2  46463  voliunsge0lem  46501  meassre  46506  meaiuninclem  46509  omessre  46539  omeiunltfirp  46548  hoiprodcl  46576  hoicvr  46577  ovnsubaddlem1  46599  hoiprodcl3  46609  hoidmvcl  46611  hoidmv1lelem3  46622  hoidmvlelem3  46626  hoidmvlelem5  46628  hspdifhsp  46645  hoiqssbllem1  46651  hoiqssbllem2  46652  hspmbllem2  46656  volicorege0  46666  ovolval5lem1  46681  iunhoiioolem  46704  preimaicomnf  46740  mod42tp1mod8  47616  eenglngeehlnmlem2  48718  itscnhlinecirc02p  48765