Theorem elicod 13292

Description: Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
elicod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
elicod.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
elicod.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
elicod.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elicod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		elicod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		elicod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		elicod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elicod.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elico1 13285	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  ℝ^*cxr 11142   < clt 11143   ≤ cle 11144  [,)cico 13244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-xr 11147  df-ico 13248

This theorem is referenced by:  fprodge1  15899  metustexhalf  24469  ply1degltel  33550  ply1degleel  33551  ply1degltlss  33552  ply1degltdimlem  33630  ply1degltdim  33631  absfico  45254  icoiccdif  45563  icoopn  45564  eliccnelico  45568  eliccelicod  45569  ge0xrre  45570  uzinico  45598  fsumge0cl  45612  limsupresico  45737  limsuppnfdlem  45738  limsupmnflem  45757  liminfresico  45808  limsup10exlem  45809  liminflelimsupuz  45822  xlimmnfvlem2  45870  icocncflimc  45926  fourierdlem41  46185  fourierdlem46  46189  fourierdlem48  46191  fouriersw  46268  fge0iccico  46407  sge0tsms  46417  sge0repnf  46423  sge0pr  46431  sge0iunmptlemre  46452  sge0rpcpnf  46458  sge0rernmpt  46459  sge0ad2en  46468  sge0xaddlem2  46471  voliunsge0lem  46509  meassre  46514  meaiuninclem  46517  omessre  46547  omeiunltfirp  46556  hoiprodcl  46584  hoicvr  46585  ovnsubaddlem1  46607  hoiprodcl3  46617  hoidmvcl  46619  hoidmv1lelem3  46630  hoidmvlelem3  46634  hoidmvlelem5  46636  hspdifhsp  46653  hoiqssbllem1  46659  hoiqssbllem2  46660  hspmbllem2  46664  volicorege0  46674  ovolval5lem1  46689  iunhoiioolem  46712  preimaicomnf  46748  mod42tp1mod8  47632  eenglngeehlnmlem2  48769  itscnhlinecirc02p  48816