Theorem elicod 13311

Description: Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
elicod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
elicod.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
elicod.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
elicod.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elicod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		elicod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		elicod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		elicod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elicod.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elico1 13304	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167  [,)cico 13263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-xr 11170  df-ico 13267

This theorem is referenced by:  fprodge1  15918  metustexhalf  24500  ply1degltel  33675  ply1degleel  33676  ply1degltlss  33677  ply1degltdimlem  33779  ply1degltdim  33780  absfico  45458  icoiccdif  45766  icoopn  45767  eliccnelico  45771  eliccelicod  45772  ge0xrre  45773  uzinico  45801  fsumge0cl  45815  limsupresico  45940  limsuppnfdlem  45941  limsupmnflem  45960  liminfresico  46011  limsup10exlem  46012  liminflelimsupuz  46025  xlimmnfvlem2  46073  icocncflimc  46129  fourierdlem41  46388  fourierdlem46  46392  fourierdlem48  46394  fouriersw  46471  fge0iccico  46610  sge0tsms  46620  sge0repnf  46626  sge0pr  46634  sge0iunmptlemre  46655  sge0rpcpnf  46661  sge0rernmpt  46662  sge0ad2en  46671  sge0xaddlem2  46674  voliunsge0lem  46712  meassre  46717  meaiuninclem  46720  omessre  46750  omeiunltfirp  46759  hoiprodcl  46787  hoicvr  46788  ovnsubaddlem1  46810  hoiprodcl3  46820  hoidmvcl  46822  hoidmv1lelem3  46833  hoidmvlelem3  46837  hoidmvlelem5  46839  hspdifhsp  46856  hoiqssbllem1  46862  hoiqssbllem2  46863  hspmbllem2  46867  volicorege0  46877  ovolval5lem1  46892  iunhoiioolem  46915  preimaicomnf  46951  mod42tp1mod8  47844  eenglngeehlnmlem2  48980  itscnhlinecirc02p  49027