Theorem elicod 13374

Description: Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
elicod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
elicod.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
elicod.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
elicod.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elicod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		elicod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		elicod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		elicod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elicod.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elico1 13367	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248   ≤ cle 11249  [,)cico 13326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-xr 11252  df-ico 13330

This theorem is referenced by:  fprodge1  15939  metustexhalf  24065  ply1degltel  32697  ply1degltlss  32698  ply1degltdimlem  32738  ply1degltdim  32739  absfico  43965  icoiccdif  44285  icoopn  44286  eliccnelico  44290  eliccelicod  44291  ge0xrre  44292  uzinico  44321  fsumge0cl  44337  limsupresico  44464  limsuppnfdlem  44465  limsupmnflem  44484  liminfresico  44535  limsup10exlem  44536  liminflelimsupuz  44549  xlimmnfvlem2  44597  icocncflimc  44653  fourierdlem41  44912  fourierdlem46  44916  fourierdlem48  44918  fouriersw  44995  fge0iccico  45134  sge0tsms  45144  sge0repnf  45150  sge0pr  45158  sge0iunmptlemre  45179  sge0rpcpnf  45185  sge0rernmpt  45186  sge0ad2en  45195  sge0xaddlem2  45198  voliunsge0lem  45236  meassre  45241  meaiuninclem  45244  omessre  45274  omeiunltfirp  45283  hoiprodcl  45311  hoicvr  45312  ovnsubaddlem1  45334  hoiprodcl3  45344  hoidmvcl  45346  hoidmv1lelem3  45357  hoidmvlelem3  45361  hoidmvlelem5  45363  hspdifhsp  45380  hoiqssbllem1  45386  hoiqssbllem2  45387  hspmbllem2  45391  volicorege0  45401  ovolval5lem1  45416  iunhoiioolem  45439  preimaicomnf  45475  mod42tp1mod8  46318  eenglngeehlnmlem2  47472  itscnhlinecirc02p  47519