Theorem elicod 13434

Description: Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
elicod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
elicod.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
elicod.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
elicod.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elicod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		elicod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		elicod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		elicod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elicod.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elico1 13427	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1341	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294  [,)cico 13386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-xr 11297  df-ico 13390

This theorem is referenced by:  fprodge1  16028  metustexhalf  24585  ply1degltel  33595  ply1degleel  33596  ply1degltlss  33597  ply1degltdimlem  33650  ply1degltdim  33651  absfico  45161  icoiccdif  45477  icoopn  45478  eliccnelico  45482  eliccelicod  45483  ge0xrre  45484  uzinico  45513  fsumge0cl  45529  limsupresico  45656  limsuppnfdlem  45657  limsupmnflem  45676  liminfresico  45727  limsup10exlem  45728  liminflelimsupuz  45741  xlimmnfvlem2  45789  icocncflimc  45845  fourierdlem41  46104  fourierdlem46  46108  fourierdlem48  46110  fouriersw  46187  fge0iccico  46326  sge0tsms  46336  sge0repnf  46342  sge0pr  46350  sge0iunmptlemre  46371  sge0rpcpnf  46377  sge0rernmpt  46378  sge0ad2en  46387  sge0xaddlem2  46390  voliunsge0lem  46428  meassre  46433  meaiuninclem  46436  omessre  46466  omeiunltfirp  46475  hoiprodcl  46503  hoicvr  46504  ovnsubaddlem1  46526  hoiprodcl3  46536  hoidmvcl  46538  hoidmv1lelem3  46549  hoidmvlelem3  46553  hoidmvlelem5  46555  hspdifhsp  46572  hoiqssbllem1  46578  hoiqssbllem2  46579  hspmbllem2  46583  volicorege0  46593  ovolval5lem1  46608  iunhoiioolem  46631  preimaicomnf  46667  mod42tp1mod8  47527  eenglngeehlnmlem2  48588  itscnhlinecirc02p  48635