Theorem elicod 13529

Description: Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
elicod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
elicod.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
elicod.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
elicod.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elicod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		elicod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		elicod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		elicod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elicod.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elico1 13522	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346   ≤ cle 11347  [,)cico 13481

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-xr 11350  df-ico 13485

This theorem is used by:  fprodge1  16167  metustexhalf  24880  ply1degltel  34172  ply1degleel  34173  ply1degltlss  34174  ply1degltdimlem  34300  ply1degltdim  34301  absfico  46324  icoiccdif  46629  icoopn  46630  eliccnelico  46634  eliccelicod  46635  ge0xrre  46636  uzinico  46664  fsumge0cl  46678  limsupresico  46803  limsuppnfdlem  46804  limsupmnflem  46823  liminfresico  46874  limsup10exlem  46875  liminflelimsupuz  46888  xlimmnfvlem2  46936  icocncflimc  46992  fourierdlem41  47251  fourierdlem46  47255  fourierdlem48  47257  fouriersw  47334  fge0iccico  47473  sge0tsms  47483  sge0repnf  47489  sge0pr  47497  sge0iunmptlemre  47518  sge0rpcpnf  47524  sge0rernmpt  47525  sge0ad2en  47534  sge0xaddlem2  47537  voliunsge0lem  47575  meassre  47580  meaiuninclem  47583  omessre  47613  omeiunltfirp  47622  hoiprodcl  47650  hoicvr  47651  ovnsubaddlem1  47673  hoiprodcl3  47683  hoidmvcl  47685  hoidmv1lelem3  47696  hoidmvlelem3  47700  hoidmvlelem5  47702  hspdifhsp  47719  hoiqssbllem1  47725  hoiqssbllem2  47726  hspmbllem2  47730  volicorege0  47740  ovolval5lem1  47755  iunhoiioolem  47778  preimaicomnf  47814  mod42tp1mod8  48780  eenglngeehlnmlem2  49944  itscnhlinecirc02p  49990