Theorem elicod 13348

Description: Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
elicod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
elicod.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
elicod.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
elicod.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elicod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		elicod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		elicod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		elicod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elicod.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elico1 13341	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180  [,)cico 13300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-xr 11183  df-ico 13304

This theorem is referenced by:  fprodge1  15960  metustexhalf  24521  ply1degltel  33654  ply1degleel  33655  ply1degltlss  33656  ply1degltdimlem  33766  ply1degltdim  33767  absfico  45647  icoiccdif  45954  icoopn  45955  eliccnelico  45959  eliccelicod  45960  ge0xrre  45961  uzinico  45989  fsumge0cl  46003  limsupresico  46128  limsuppnfdlem  46129  limsupmnflem  46148  liminfresico  46199  limsup10exlem  46200  liminflelimsupuz  46213  xlimmnfvlem2  46261  icocncflimc  46317  fourierdlem41  46576  fourierdlem46  46580  fourierdlem48  46582  fouriersw  46659  fge0iccico  46798  sge0tsms  46808  sge0repnf  46814  sge0pr  46822  sge0iunmptlemre  46843  sge0rpcpnf  46849  sge0rernmpt  46850  sge0ad2en  46859  sge0xaddlem2  46862  voliunsge0lem  46900  meassre  46905  meaiuninclem  46908  omessre  46938  omeiunltfirp  46947  hoiprodcl  46975  hoicvr  46976  ovnsubaddlem1  46998  hoiprodcl3  47008  hoidmvcl  47010  hoidmv1lelem3  47021  hoidmvlelem3  47025  hoidmvlelem5  47027  hspdifhsp  47044  hoiqssbllem1  47050  hoiqssbllem2  47051  hspmbllem2  47055  volicorege0  47065  ovolval5lem1  47080  iunhoiioolem  47103  preimaicomnf  47139  mod42tp1mod8  48065  eenglngeehlnmlem2  49214  itscnhlinecirc02p  49261