Theorem elicod 13437

Description: Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
elicod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
elicod.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
elicod.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
elicod.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elicod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		elicod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		elicod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		elicod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elicod.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elico1 13430	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  [,)cico 13389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-xr 11299  df-ico 13393

This theorem is referenced by:  fprodge1  16031  metustexhalf  24569  ply1degltel  33615  ply1degleel  33616  ply1degltlss  33617  ply1degltdimlem  33673  ply1degltdim  33674  absfico  45223  icoiccdif  45537  icoopn  45538  eliccnelico  45542  eliccelicod  45543  ge0xrre  45544  uzinico  45573  fsumge0cl  45588  limsupresico  45715  limsuppnfdlem  45716  limsupmnflem  45735  liminfresico  45786  limsup10exlem  45787  liminflelimsupuz  45800  xlimmnfvlem2  45848  icocncflimc  45904  fourierdlem41  46163  fourierdlem46  46167  fourierdlem48  46169  fouriersw  46246  fge0iccico  46385  sge0tsms  46395  sge0repnf  46401  sge0pr  46409  sge0iunmptlemre  46430  sge0rpcpnf  46436  sge0rernmpt  46437  sge0ad2en  46446  sge0xaddlem2  46449  voliunsge0lem  46487  meassre  46492  meaiuninclem  46495  omessre  46525  omeiunltfirp  46534  hoiprodcl  46562  hoicvr  46563  ovnsubaddlem1  46585  hoiprodcl3  46595  hoidmvcl  46597  hoidmv1lelem3  46608  hoidmvlelem3  46612  hoidmvlelem5  46614  hspdifhsp  46631  hoiqssbllem1  46637  hoiqssbllem2  46638  hspmbllem2  46642  volicorege0  46652  ovolval5lem1  46667  iunhoiioolem  46690  preimaicomnf  46726  mod42tp1mod8  47589  eenglngeehlnmlem2  48659  itscnhlinecirc02p  48706