Theorem elicod 13323

Description: Membership in a left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
elicod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
elicod.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
elicod.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
elicod.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elicod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		elicod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		elicod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		elicod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elicod.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elico1 13316	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179  [,)cico 13275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-xr 11182  df-ico 13279

This theorem is referenced by:  fprodge1  15930  metustexhalf  24512  ply1degltel  33686  ply1degleel  33687  ply1degltlss  33688  ply1degltdimlem  33799  ply1degltdim  33800  absfico  45570  icoiccdif  45878  icoopn  45879  eliccnelico  45883  eliccelicod  45884  ge0xrre  45885  uzinico  45913  fsumge0cl  45927  limsupresico  46052  limsuppnfdlem  46053  limsupmnflem  46072  liminfresico  46123  limsup10exlem  46124  liminflelimsupuz  46137  xlimmnfvlem2  46185  icocncflimc  46241  fourierdlem41  46500  fourierdlem46  46504  fourierdlem48  46506  fouriersw  46583  fge0iccico  46722  sge0tsms  46732  sge0repnf  46738  sge0pr  46746  sge0iunmptlemre  46767  sge0rpcpnf  46773  sge0rernmpt  46774  sge0ad2en  46783  sge0xaddlem2  46786  voliunsge0lem  46824  meassre  46829  meaiuninclem  46832  omessre  46862  omeiunltfirp  46871  hoiprodcl  46899  hoicvr  46900  ovnsubaddlem1  46922  hoiprodcl3  46932  hoidmvcl  46934  hoidmv1lelem3  46945  hoidmvlelem3  46949  hoidmvlelem5  46951  hspdifhsp  46968  hoiqssbllem1  46974  hoiqssbllem2  46975  hspmbllem2  46979  volicorege0  46989  ovolval5lem1  47004  iunhoiioolem  47027  preimaicomnf  47063  mod42tp1mod8  47956  eenglngeehlnmlem2  49092  itscnhlinecirc02p  49139