Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimaioomnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimaioomnf 43297
Description: Preimage of an open interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimaioomnf.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
preimaioomnf.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
preimaioomnf (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem preimaioomnf
StepHypRef Expression
1 preimaioomnf.1 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
21ffund 6498 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
31frnd 6501 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
4 fimacnvinrn2 6823 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ) → (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = (𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)))
52, 3, 4syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = (𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)))
6 preimaioomnf.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
76icomnfinre 42132 . . . 4 (𝜑 → ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐵))
87imaeq2d 5907 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)) = (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)))
95, 8eqtr2d 2858 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)))
101frexr 41962 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
1110, 6preimaicomnf 43290 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵})
129, 11eqtrd 2857 1 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114  {crab 3134  cin 3907  wss 3908   class class class wbr 5042  ccnv 5531  ran crn 5533  cima 5535  Fun wfun 6328  wf 6330  cfv 6334  (class class class)co 7140  cr 10525  -∞cmnf 10662  *cxr 10663   < clt 10664  (,)cioo 12726  [,)cico 12728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ioo 12730  df-ico 12732
This theorem is referenced by:  issmflem  43304  mbfresmf  43316  smfres  43365  smfco  43377
  Copyright terms: Public domain W3C validator