Theorem preimaioomnf 46703

Description: Preimage of an open interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaioomnf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
preimaioomnf.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
preimaioomnf	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem preimaioomnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaioomnf.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2	1	ffund 6748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3	1	frnd 6752	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
4		fimacnvinrn2 7099	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = (◡𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = (◡𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)))
6		preimaioomnf.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
7	6	icomnfinre 45534	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐵))
8	7	imaeq2d 6085	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)) = (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)))
9	5, 8	eqtr2d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)))
10	1	frexr 45364	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
11	10, 6	preimaicomnf 46695	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})
12	9, 11	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3436   ∩ cin 3965   ⊆ wss 3966   class class class wbr 5151  ^◡ccnv 5692  ran crn 5694   “ cima 5696  Fun wfun 6563  ⟶wf 6565  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  ℝcr 11161  -∞cmnf 11300  ℝ^*cxr 11301   < clt 11302  (,)cioo 13393  [,)cico 13395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-po 5601  df-so 5602  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-ioo 13397  df-ico 13399

This theorem is referenced by:  issmflem  46711  mbfresmf  46723  smfres  46774  smfco  46786