Theorem preimaioomnf 46959

Description: Preimage of an open interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaioomnf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
preimaioomnf.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
preimaioomnf	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem preimaioomnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaioomnf.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2	1	ffund 6666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3	1	frnd 6670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
4		fimacnvinrn2 7017	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = (◡𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = (◡𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)))
6		preimaioomnf.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
7	6	icomnfinre 45794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐵))
8	7	imaeq2d 6019	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)) = (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)))
9	5, 8	eqtr2d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)))
10	1	frexr 45625	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
11	10, 6	preimaicomnf 46951	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})
12	9, 11	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098  ^◡ccnv 5623  ran crn 5625   “ cima 5627  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  -∞cmnf 11164  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166  (,)cioo 13261  [,)cico 13263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-ioo 13265  df-ico 13267

This theorem is referenced by:  issmflem  46967  mbfresmf  46979  smfres  47030  smfco  47042