Theorem preimaioomnf 46169

Description: Preimage of an open interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaioomnf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
preimaioomnf.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
preimaioomnf	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem preimaioomnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaioomnf.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2	1	ffund 6720	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3	1	frnd 6724	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
4		fimacnvinrn2 7076	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = (◡𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)))
5	2, 3, 4	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = (◡𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)))
6		preimaioomnf.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
7	6	icomnfinre 44999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐵))
8	7	imaeq2d 6058	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)) = (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)))
9	5, 8	eqtr2d 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)))
10	1	frexr 44829	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
11	10, 6	preimaicomnf 46161	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})
12	9, 11	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419   ∩ cin 3939   ⊆ wss 3940   class class class wbr 5143  ^◡ccnv 5671  ran crn 5673   “ cima 5675  Fun wfun 6536  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  ℝcr 11135  -∞cmnf 11274  ℝ^*cxr 11275   < clt 11276  (,)cioo 13354  [,)cico 13356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-ioo 13358  df-ico 13360

This theorem is referenced by:  issmflem  46177  mbfresmf  46189  smfres  46240  smfco  46252