Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimaioomnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimaioomnf 41443
Description: Preimage of an open interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimaioomnf.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
preimaioomnf.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
preimaioomnf (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem preimaioomnf
StepHypRef Expression
1 preimaioomnf.1 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
21ffund 6189 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
31frnd 39938 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
4 fimacnvinrn2 6492 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ) → (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = (𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)))
52, 3, 4syl2anc 565 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = (𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)))
6 preimaioomnf.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
76icomnfinre 40291 . . . 4 (𝜑 → ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐵))
87imaeq2d 5607 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)) = (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)))
95, 8eqtr2d 2805 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)))
101frexr 40114 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
1110, 6preimaicomnf 41436 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵})
129, 11eqtrd 2804 1 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1630  wcel 2144  {crab 3064  cin 3720  wss 3721   class class class wbr 4784  ccnv 5248  ran crn 5250  cima 5252  Fun wfun 6025  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  cr 10136  -∞cmnf 10273  *cxr 10274   < clt 10275  (,)cioo 12379  [,)cico 12381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-ioo 12383  df-ico 12385
This theorem is referenced by:  issmflem  41450  mbfresmf  41462  smfres  41511  smfco  41523
  Copyright terms: Public domain W3C validator