Theorem preimaioomnf 46841

Description: Preimage of an open interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaioomnf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
preimaioomnf.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
preimaioomnf	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem preimaioomnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaioomnf.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2	1	ffund 6660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3	1	frnd 6664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
4		fimacnvinrn2 7011	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = (◡𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = (◡𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)))
6		preimaioomnf.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
7	6	icomnfinre 45676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐵))
8	7	imaeq2d 6013	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)) = (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)))
9	5, 8	eqtr2d 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)))
10	1	frexr 45507	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
11	10, 6	preimaicomnf 46833	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})
12	9, 11	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5093  ^◡ccnv 5618  ran crn 5620   “ cima 5622  Fun wfun 6480  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  -∞cmnf 11151  ℝ^*cxr 11152   < clt 11153  (,)cioo 13247  [,)cico 13249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-ioo 13251  df-ico 13253

This theorem is referenced by:  issmflem  46849  mbfresmf  46861  smfres  46912  smfco  46924