Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimaioomnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimaioomnf 45435
Description: Preimage of an open interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimaioomnf.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
preimaioomnf.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
preimaioomnf (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem preimaioomnf
StepHypRef Expression
1 preimaioomnf.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
21ffund 6722 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
31frnd 6726 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
4 fimacnvinrn2 7075 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ ran 𝐹 βŠ† ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞[,)𝐡)) = (◑𝐹 β€œ ((-∞[,)𝐡) ∩ ℝ)))
52, 3, 4syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞[,)𝐡)) = (◑𝐹 β€œ ((-∞[,)𝐡) ∩ ℝ)))
6 preimaioomnf.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
76icomnfinre 44265 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((-∞[,)𝐡) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐡))
87imaeq2d 6060 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ ((-∞[,)𝐡) ∩ ℝ)) = (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝐡)))
95, 8eqtr2d 2774 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝐡)) = (◑𝐹 β€œ (-∞[,)𝐡)))
101frexr 44095 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
1110, 6preimaicomnf 45427 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞[,)𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡})
129, 11eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)𝐡)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐡})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248  (,)cioo 13324  [,)cico 13326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ioo 13328  df-ico 13330
This theorem is referenced by:  issmflem  45443  mbfresmf  45455  smfres  45506  smfco  45518
  Copyright terms: Public domain W3C validator