Theorem preimaioomnf 47474

Description: Preimage of an open interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaioomnf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
preimaioomnf.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
preimaioomnf	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem preimaioomnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaioomnf.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2	1	ffund 6717	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3	1	frnd 6721	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
4		fimacnvinrn2 7074	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = (◡𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)))
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = (◡𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)))
6		preimaioomnf.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
7	6	icomnfinre 46309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐵))
8	7	imaeq2d 6067	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ((-∞[,)𝐵) ∩ ℝ)) = (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)))
9	5, 8	eqtr2d 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)))
10	1	frexr 46141	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
11	10, 6	preimaicomnf 47466	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞[,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})
12	9, 11	eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐵})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3419   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5114  ^◡ccnv 5665  ran crn 5667   “ cima 5669  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  -∞cmnf 11259  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261  (,)cioo 13390  [,)cico 13392

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-ioo 13394  df-ico 13396

This theorem is used by:  issmflem  47482  mbfresmf  47494  smfres  47545  smfco  47557