Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qtopt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtopt1 33344
Description: If every equivalence class is closed, then the quotient space is T1 . (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopt1.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
qtopt1.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Fre)
qtopt1.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ)
qtopt1.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ (Clsdβ€˜π½))
Assertion
Ref Expression
qtopt1 (πœ‘ β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Fre)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐽   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑋(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)

Proof of Theorem qtopt1
StepHypRef Expression
1 qtopt1.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Fre)
2 t1top 23184 . . . 4 (𝐽 ∈ Fre β†’ 𝐽 ∈ Top)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
4 qtopt1.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ)
5 fofn 6800 . . . 4 (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
64, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
7 qtopt1.x . . . 4 𝑋 = βˆͺ 𝐽
87qtoptop 23554 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
93, 6, 8syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
10 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
117qtopuni 23556 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
123, 4, 11syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
1312adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
1410, 13eleqtrrd 2830 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ)
1514snssd 4807 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ {π‘₯} βŠ† π‘Œ)
16 qtopt1.3 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ (Clsdβ€˜π½))
1714, 16syldan 590 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ (Clsdβ€˜π½))
183, 7jctir 520 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐽))
19 istopon 22764 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐽))
2018, 19sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
21 qtopcld 23567 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ ({π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)) ↔ ({π‘₯} βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ (Clsdβ€˜π½))))
2220, 4, 21syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ({π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)) ↔ ({π‘₯} βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ (Clsdβ€˜π½))))
2322adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ ({π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)) ↔ ({π‘₯} βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ (Clsdβ€˜π½))))
2415, 17, 23mpbir2and 710 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ {π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)))
2524ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹){π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)))
26 eqid 2726 . . 3 βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹) = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)
2726ist1 23175 . 2 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Fre ↔ ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹){π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹))))
289, 25, 27sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Fre)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943  {csn 4623  βˆͺ cuni 4902  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672   Fn wfn 6531  β€“ontoβ†’wfo 6534  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   qTop cqtop 17455  Topctop 22745  TopOnctopon 22762  Clsdccld 22870  Frect1 23161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-qtop 17459  df-top 22746  df-topon 22763  df-cld 22873  df-t1 23168
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator