Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qtopt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtopt1 32803
Description: If every equivalence class is closed, then the quotient space is T1 . (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopt1.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
qtopt1.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Fre)
qtopt1.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ)
qtopt1.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ (Clsdβ€˜π½))
Assertion
Ref Expression
qtopt1 (πœ‘ β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Fre)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐽   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑋(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)

Proof of Theorem qtopt1
StepHypRef Expression
1 qtopt1.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Fre)
2 t1top 22825 . . . 4 (𝐽 ∈ Fre β†’ 𝐽 ∈ Top)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
4 qtopt1.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ)
5 fofn 6804 . . . 4 (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
64, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
7 qtopt1.x . . . 4 𝑋 = βˆͺ 𝐽
87qtoptop 23195 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
93, 6, 8syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
10 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
117qtopuni 23197 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
123, 4, 11syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
1312adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
1410, 13eleqtrrd 2836 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ)
1514snssd 4811 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ {π‘₯} βŠ† π‘Œ)
16 qtopt1.3 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ (Clsdβ€˜π½))
1714, 16syldan 591 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ (Clsdβ€˜π½))
183, 7jctir 521 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐽))
19 istopon 22405 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐽))
2018, 19sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
21 qtopcld 23208 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ ({π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)) ↔ ({π‘₯} βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ (Clsdβ€˜π½))))
2220, 4, 21syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ({π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)) ↔ ({π‘₯} βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ (Clsdβ€˜π½))))
2322adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ ({π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)) ↔ ({π‘₯} βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ (Clsdβ€˜π½))))
2415, 17, 23mpbir2and 711 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ {π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)))
2524ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹){π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)))
26 eqid 2732 . . 3 βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹) = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)
2726ist1 22816 . 2 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Fre ↔ ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹){π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹))))
289, 25, 27sylanbrc 583 1 (πœ‘ β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Fre)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3947  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  β€“ontoβ†’wfo 6538  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   qTop cqtop 17445  Topctop 22386  TopOnctopon 22403  Clsdccld 22511  Frect1 22802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-qtop 17449  df-top 22387  df-topon 22404  df-cld 22514  df-t1 22809
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator