Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qtopt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtopt1 33469
Description: If every equivalence class is closed, then the quotient space is T1 . (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopt1.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
qtopt1.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Fre)
qtopt1.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ)
qtopt1.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ (Clsdβ€˜π½))
Assertion
Ref Expression
qtopt1 (πœ‘ β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Fre)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐽   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑋(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)

Proof of Theorem qtopt1
StepHypRef Expression
1 qtopt1.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Fre)
2 t1top 23254 . . . 4 (𝐽 ∈ Fre β†’ 𝐽 ∈ Top)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
4 qtopt1.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ)
5 fofn 6818 . . . 4 (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
64, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
7 qtopt1.x . . . 4 𝑋 = βˆͺ 𝐽
87qtoptop 23624 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
93, 6, 8syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
10 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
117qtopuni 23626 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
123, 4, 11syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
1312adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
1410, 13eleqtrrd 2832 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ)
1514snssd 4817 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ {π‘₯} βŠ† π‘Œ)
16 qtopt1.3 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ (Clsdβ€˜π½))
1714, 16syldan 589 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ (Clsdβ€˜π½))
183, 7jctir 519 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐽))
19 istopon 22834 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐽))
2018, 19sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
21 qtopcld 23637 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ ({π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)) ↔ ({π‘₯} βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ (Clsdβ€˜π½))))
2220, 4, 21syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ({π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)) ↔ ({π‘₯} βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ (Clsdβ€˜π½))))
2322adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ ({π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)) ↔ ({π‘₯} βŠ† π‘Œ ∧ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ (Clsdβ€˜π½))))
2415, 17, 23mpbir2and 711 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)) β†’ {π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)))
2524ralrimiva 3143 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹){π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹)))
26 eqid 2728 . . 3 βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹) = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)
2726ist1 23245 . 2 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Fre ↔ ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹){π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 qTop 𝐹))))
289, 25, 27sylanbrc 581 1 (πœ‘ β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Fre)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058   βŠ† wss 3949  {csn 4632  βˆͺ cuni 4912  β—‘ccnv 5681   β€œ cima 5685   Fn wfn 6548  β€“ontoβ†’wfo 6551  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   qTop cqtop 17492  Topctop 22815  TopOnctopon 22832  Clsdccld 22940  Frect1 23231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-qtop 17496  df-top 22816  df-topon 22833  df-cld 22943  df-t1 23238
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator