MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtoptopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtoptopon 23626
Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtoptopon ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))

Proof of Theorem qtoptopon
StepHypRef Expression
1 topontop 22833 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 toponuni 22834 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
3 foeq2 6803 . . . . . 6 (𝑋 = βˆͺ 𝐽 β†’ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ↔ 𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ↔ 𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ))
54biimpa 475 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ)
6 fofn 6808 . . . 4 (𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹 Fn βˆͺ 𝐽)
75, 6syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ 𝐹 Fn βˆͺ 𝐽)
8 eqid 2725 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
98qtoptop 23622 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
101, 7, 9syl2an2r 683 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
118qtopuni 23624 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
121, 5, 11syl2an2r 683 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
13 istopon 22832 . 2 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top ∧ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)))
1410, 12, 13sylanbrc 581 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆͺ cuni 4903   Fn wfn 6538  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   qTop cqtop 17484  Topctop 22813  TopOnctopon 22830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-qtop 17488  df-top 22814  df-topon 22831
This theorem is referenced by:  qtopid  23627  qtopcld  23635  qtopcn  23636  qtopeu  23638  qtoprest  23639  imastps  23643  kqtopon  23649  qtopf1  23738  qtophmeo  23739  qustgplem  24043  qtophaus  33494
  Copyright terms: Public domain W3C validator