MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtoptopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtoptopon 23728
Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtoptopon ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝑌))

Proof of Theorem qtoptopon
StepHypRef Expression
1 topontop 22935 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
2 toponuni 22936 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
3 foeq2 6818 . . . . . 6 (𝑋 = 𝐽 → (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹: 𝐽onto𝑌))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹: 𝐽onto𝑌))
54biimpa 476 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝐹: 𝐽onto𝑌)
6 fofn 6823 . . . 4 (𝐹: 𝐽onto𝑌𝐹 Fn 𝐽)
75, 6syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝐹 Fn 𝐽)
8 eqid 2735 . . . 4 𝐽 = 𝐽
98qtoptop 23724 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝐽) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
101, 7, 9syl2an2r 685 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
118qtopuni 23726 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹: 𝐽onto𝑌) → 𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹))
121, 5, 11syl2an2r 685 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹))
13 istopon 22934 . 2 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝑌) ↔ ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top ∧ 𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹)))
1410, 12, 13sylanbrc 583 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   cuni 4912   Fn wfn 6558  ontowfo 6561  cfv 6563  (class class class)co 7431   qTop cqtop 17550  Topctop 22915  TopOnctopon 22932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-qtop 17554  df-top 22916  df-topon 22933
This theorem is referenced by:  qtopid  23729  qtopcld  23737  qtopcn  23738  qtopeu  23740  qtoprest  23741  imastps  23745  kqtopon  23751  qtopf1  23840  qtophmeo  23841  qustgplem  24145  qtophaus  33797
  Copyright terms: Public domain W3C validator