MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtoptopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtoptopon 23071
Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtoptopon ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))

Proof of Theorem qtoptopon
StepHypRef Expression
1 topontop 22278 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 toponuni 22279 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
3 foeq2 6754 . . . . . 6 (𝑋 = βˆͺ 𝐽 β†’ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ↔ 𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ↔ 𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ))
54biimpa 478 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ)
6 fofn 6759 . . . 4 (𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹 Fn βˆͺ 𝐽)
75, 6syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ 𝐹 Fn βˆͺ 𝐽)
8 eqid 2733 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
98qtoptop 23067 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
101, 7, 9syl2an2r 684 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
118qtopuni 23069 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
121, 5, 11syl2an2r 684 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
13 istopon 22277 . 2 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top ∧ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)))
1410, 12, 13sylanbrc 584 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆͺ cuni 4866   Fn wfn 6492  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   qTop cqtop 17390  Topctop 22258  TopOnctopon 22275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-qtop 17394  df-top 22259  df-topon 22276
This theorem is referenced by:  qtopid  23072  qtopcld  23080  qtopcn  23081  qtopeu  23083  qtoprest  23084  imastps  23088  kqtopon  23094  qtopf1  23183  qtophmeo  23184  qustgplem  23488  qtophaus  32474
  Copyright terms: Public domain W3C validator