MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtoptopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtoptopon 23563
Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtoptopon ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))

Proof of Theorem qtoptopon
StepHypRef Expression
1 topontop 22770 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 toponuni 22771 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
3 foeq2 6796 . . . . . 6 (𝑋 = βˆͺ 𝐽 β†’ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ↔ 𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ↔ 𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ))
54biimpa 476 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ)
6 fofn 6801 . . . 4 (𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹 Fn βˆͺ 𝐽)
75, 6syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ 𝐹 Fn βˆͺ 𝐽)
8 eqid 2726 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
98qtoptop 23559 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
101, 7, 9syl2an2r 682 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
118qtopuni 23561 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:βˆͺ 𝐽–ontoβ†’π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
121, 5, 11syl2an2r 682 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹))
13 istopon 22769 . 2 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ↔ ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top ∧ π‘Œ = βˆͺ (𝐽 qTop 𝐹)))
1410, 12, 13sylanbrc 582 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆͺ cuni 4902   Fn wfn 6532  β€“ontoβ†’wfo 6535  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   qTop cqtop 17458  Topctop 22750  TopOnctopon 22767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-qtop 17462  df-top 22751  df-topon 22768
This theorem is referenced by:  qtopid  23564  qtopcld  23572  qtopcn  23573  qtopeu  23575  qtoprest  23576  imastps  23580  kqtopon  23586  qtopf1  23675  qtophmeo  23676  qustgplem  23980  qtophaus  33346
  Copyright terms: Public domain W3C validator