Theorem qtoptopon 24078

Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
qtoptopon	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝑌))

Proof of Theorem qtoptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 23286	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
2		toponuni 23287	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
3		foeq2 6823	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∪ 𝐽 → (𝐹:𝑋⟶onto𝑌 ↔ 𝐹:∪ 𝐽⟶onto𝑌))
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐹:𝑋⟶onto𝑌 ↔ 𝐹:∪ 𝐽⟶onto𝑌))
5	4	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶onto𝑌) → 𝐹:∪ 𝐽⟶onto𝑌)
6		fofn 6828	. . . 4 ⊢ (𝐹:∪ 𝐽⟶onto𝑌 → 𝐹 Fn ∪ 𝐽)
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶onto𝑌) → 𝐹 Fn ∪ 𝐽)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
9	8	qtoptop 24074	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn ∪ 𝐽) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
10	1, 7, 9	syl2an2r 698	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
11	8	qtopuni 24076	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:∪ 𝐽⟶onto𝑌) → 𝑌 = ∪ (𝐽 qTop 𝐹))
12	1, 5, 11	syl2an2r 698	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶onto𝑌) → 𝑌 = ∪ (𝐽 qTop 𝐹))
13		istopon 23285	. 2 ⊢ ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝑌) ↔ ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top ∧ 𝑌 = ∪ (𝐽 qTop 𝐹)))
14	10, 12, 13	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∪ cuni 4872   Fn wfn 6561  ⟶ontowfo 6564  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   qTop cqtop 17725  Topctop 23266  TopOnctopon 23283

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-qtop 17729  df-top 23267  df-topon 23284

This theorem is used by:  qtopid  24079  qtopcld  24087  qtopcn  24088  qtopeu  24090  qtoprest  24091  imastps  24095  kqtopon  24101  qtopf1  24190  qtophmeo  24191  qustgplem  24495  qtophaus  34579