Theorem qtoptopon 23619

Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
qtoptopon	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝑌))

Proof of Theorem qtoptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 22828	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
2		toponuni 22829	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
3		foeq2 6732	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∪ 𝐽 → (𝐹:𝑋–onto→𝑌 ↔ 𝐹:∪ 𝐽–onto→𝑌))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐹:𝑋–onto→𝑌 ↔ 𝐹:∪ 𝐽–onto→𝑌))
5	4	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝐹:∪ 𝐽–onto→𝑌)
6		fofn 6737	. . . 4 ⊢ (𝐹:∪ 𝐽–onto→𝑌 → 𝐹 Fn ∪ 𝐽)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝐹 Fn ∪ 𝐽)
8		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
9	8	qtoptop 23615	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn ∪ 𝐽) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
10	1, 7, 9	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
11	8	qtopuni 23617	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:∪ 𝐽–onto→𝑌) → 𝑌 = ∪ (𝐽 qTop 𝐹))
12	1, 5, 11	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → 𝑌 = ∪ (𝐽 qTop 𝐹))
13		istopon 22827	. 2 ⊢ ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝑌) ↔ ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top ∧ 𝑌 = ∪ (𝐽 qTop 𝐹)))
14	10, 12, 13	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋–onto→𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∪ cuni 4856   Fn wfn 6476  –onto→wfo 6479  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   qTop cqtop 17407  Topctop 22808  TopOnctopon 22825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-qtop 17411  df-top 22809  df-topon 22826

This theorem is referenced by:  qtopid  23620  qtopcld  23628  qtopcn  23629  qtopeu  23631  qtoprest  23632  imastps  23636  kqtopon  23642  qtopf1  23731  qtophmeo  23732  qustgplem  24036  qtophaus  33849