Theorem rdgvalg 8348

Description: Value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 9-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rdgvalg	⊢ (𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝐴,𝑔

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑔)

Proof of Theorem rdgvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rdg 8339	. 2 ⊢ rec(𝐹, 𝐴) = recs((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔))))))
2	1	tfr2a 8324	1 ⊢ (𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  ∅c0 4261  ifcif 4454  ∪ cuni 4838   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5618  ran crn 5619   ↾ cres 5620  Lim wlim 6311  ‘cfv 6485  reccrdg 8338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fo 6491  df-fv 6493  df-ov 7359  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339

This theorem is referenced by:  rdg0  8350  rdgsucg  8352  rdglimg  8354  bj-rdg0gALT  37424