Theorem rdglimg 8461

Description: The value of the recursive definition generator at a limit ordinal. (Contributed by NM, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rdglimg	⊢ ((𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) ∧ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = ∪ (rec(𝐹, 𝐴) “ 𝐵))

Proof of Theorem rdglimg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥))))) = (𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥)))))
2		rdgvalg 8455	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝑦)))
3		rdgseg 8458	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝑦) ∈ V)
4		rdgfun 8452	. . 3 ⊢ Fun rec(𝐹, 𝐴)
5		funfn 6590	. . 3 ⊢ (Fun rec(𝐹, 𝐴) ↔ rec(𝐹, 𝐴) Fn dom rec(𝐹, 𝐴))
6	4, 5	mpbi 233	. 2 ⊢ rec(𝐹, 𝐴) Fn dom rec(𝐹, 𝐴)
7		rdgdmlim 8453	. . 3 ⊢ Lim dom rec(𝐹, 𝐴)
8		limord 6442	. . 3 ⊢ (Lim dom rec(𝐹, 𝐴) → Ord dom rec(𝐹, 𝐴))
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ Ord dom rec(𝐹, 𝐴)
10	1, 2, 3, 6, 9	tz7.44-3 8444	1 ⊢ ((𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) ∧ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = ∪ (rec(𝐹, 𝐴) “ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ∅c0 4281  ifcif 4485  ∪ cuni 4870   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5655  ran crn 5656   “ cima 5658  Ord word 6379  Lim wlim 6381  Fun wfun 6552   Fn wfn 6553  ‘cfv 6558  reccrdg 8445

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446

This theorem is used by:  rdglim  8462  r1limg  9805