Theorem rdglimg 8436

Description: The value of the recursive definition generator at a limit ordinal. (Contributed by NM, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rdglimg	⊢ ((𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) ∧ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = ∪ (rec(𝐹, 𝐴) “ 𝐵))

Proof of Theorem rdglimg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥))))) = (𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥)))))
2		rdgvalg 8430	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝑦)))
3		rdgseg 8433	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝑦) ∈ V)
4		rdgfun 8427	. . 3 ⊢ Fun rec(𝐹, 𝐴)
5		funfn 6570	. . 3 ⊢ (Fun rec(𝐹, 𝐴) ↔ rec(𝐹, 𝐴) Fn dom rec(𝐹, 𝐴))
6	4, 5	mpbi 233	. 2 ⊢ rec(𝐹, 𝐴) Fn dom rec(𝐹, 𝐴)
7		rdgdmlim 8428	. . 3 ⊢ Lim dom rec(𝐹, 𝐴)
8		limord 6424	. . 3 ⊢ (Lim dom rec(𝐹, 𝐴) → Ord dom rec(𝐹, 𝐴))
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ Ord dom rec(𝐹, 𝐴)
10	1, 2, 3, 6, 9	tz7.44-3 8419	1 ⊢ ((𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) ∧ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = ∪ (rec(𝐹, 𝐴) “ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4278  ifcif 4481  ∪ cuni 4866   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ran crn 5651   “ cima 5653  Ord word 6361  Lim wlim 6363  Fun wfun 6532   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  reccrdg 8420

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421

This theorem is used by:  rdglim  8437  r1limg  9781