Theorem rdgsucg 8459

Description: The value of the recursive definition generator at a successor. (Contributed by NM, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rdgsucg	⊢ (𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))

Proof of Theorem rdgsucg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgdmlim 8453	. . 3 ⊢ Lim dom rec(𝐹, 𝐴)
2		limsuc 7884	. . 3 ⊢ (Lim dom rec(𝐹, 𝐴) → (𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) ↔ suc 𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) ↔ suc 𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴))
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥))))) = (𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥)))))
5		rdgvalg 8455	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝑦)))
6		rdgseg 8458	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝑦) ∈ V)
7		rdgfun 8452	. . . 4 ⊢ Fun rec(𝐹, 𝐴)
8		funfn 6590	. . . 4 ⊢ (Fun rec(𝐹, 𝐴) ↔ rec(𝐹, 𝐴) Fn dom rec(𝐹, 𝐴))
9	7, 8	mpbi 233	. . 3 ⊢ rec(𝐹, 𝐴) Fn dom rec(𝐹, 𝐴)
10		limord 6442	. . . 4 ⊢ (Lim dom rec(𝐹, 𝐴) → Ord dom rec(𝐹, 𝐴))
11	1, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Ord dom rec(𝐹, 𝐴)
12	4, 5, 6, 9, 11	tz7.44-2 8443	. 2 ⊢ (suc 𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))
13	3, 12	sylbi 220	1 ⊢ (𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ∅c0 4281  ifcif 4485  ∪ cuni 4870   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5655  ran crn 5656  Ord word 6379  Lim wlim 6381  suc csuc 6382  Fun wfun 6552   Fn wfn 6553  ‘cfv 6558  reccrdg 8445

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446

This theorem is used by:  rdgsuc  8460  rdgsucmptnf  8465  frsuc  8473  r1sucg  9803