Theorem rdg0 8460

Description: The initial value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rdg.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rdg0	⊢ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴

Proof of Theorem rdg0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgdmlim 8456	. . . 4 ⊢ Lim dom rec(𝐹, 𝐴)
2		limomss 7892	. . . 4 ⊢ (Lim dom rec(𝐹, 𝐴) → ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴)
4		peano1 7911	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
5	3, 4	sselii 3992	. 2 ⊢ ∅ ∈ dom rec(𝐹, 𝐴)
6		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥))))) = (𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥)))))
7		rdgvalg 8458	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝑦)))
8		rdg.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
9	6, 7, 8	tz7.44-1 8445	. 2 ⊢ (∅ ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)
10	5, 9	ax-mp 5	1 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ifcif 4531  ∪ cuni 4912   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5689  ran crn 5690  Lim wlim 6387  ‘cfv 6563  ωcom 7887  reccrdg 8448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449

This theorem is referenced by:  rdg0g  8466  seqomlem1  8489  seqomlem3  8491  om0  8554  oe0  8559  oev2  8560  r10  9806  aleph0  10104  ackbij2lem2  10277  ackbij2lem3  10278  precsexlem1  28246  precsexlem2  28247  constr0  33742  satfv0  35343  satf00  35359  rdgprc  35776  finxp0  37374  finxp1o  37375  finxpreclem4  37377  finxpreclem6  37379