Theorem rdg0 8360

Description: The initial value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rdg.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rdg0	⊢ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴

Proof of Theorem rdg0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgdmlim 8356	. . . 4 ⊢ Lim dom rec(𝐹, 𝐴)
2		limomss 7822	. . . 4 ⊢ (Lim dom rec(𝐹, 𝐴) → ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴)
4		peano1 7840	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
5	3, 4	sselii 3918	. 2 ⊢ ∅ ∈ dom rec(𝐹, 𝐴)
6		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥))))) = (𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥)))))
7		rdgvalg 8358	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝑦)))
8		rdg.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
9	6, 7, 8	tz7.44-1 8345	. 2 ⊢ (∅ ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)
10	5, 9	ax-mp 5	1 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ifcif 4466  ∪ cuni 4850   ↦ cmpt 5166  dom cdm 5631  ran crn 5632  Lim wlim 6324  ‘cfv 6498  ωcom 7817  reccrdg 8348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349

This theorem is referenced by:  rdg0g  8366  seqomlem1  8389  seqomlem3  8391  om0  8452  oe0  8457  oev2  8458  r10  9692  aleph0  9988  ackbij2lem2  10161  ackbij2lem3  10162  precsexlem1  28199  precsexlem2  28200  constr0  33881  satfv0  35540  satf00  35556  rdgprc  35974  ttcid  36674  ttcmin  36678  finxp0  37707  finxp1o  37708  finxpreclem4  37710  finxpreclem6  37712