Theorem rdg0 8433

Description: The initial value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rdg.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rdg0	⊢ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴

Proof of Theorem rdg0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgdmlim 8429	. . . 4 ⊢ Lim dom rec(𝐹, 𝐴)
2		limomss 7883	. . . 4 ⊢ (Lim dom rec(𝐹, 𝐴) → ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴)
4		peano1 7901	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
5	3, 4	sselii 3905	. 2 ⊢ ∅ ∈ dom rec(𝐹, 𝐴)
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥))))) = (𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥)))))
7		rdgvalg 8431	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝑦)))
8		rdg.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
9	6, 7, 8	tz7.44-1 8418	. 2 ⊢ (∅ ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)
10	5, 9	ax-mp 5	1 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  ifcif 4481  ∪ cuni 4866   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ran crn 5651  Lim wlim 6363  ‘cfv 6539  ωcom 7878  reccrdg 8421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422

This theorem is used by:  rdg0g  8439  seqomlem1  8464  seqomlem3  8466  om0  8529  oe0  8534  oev2  8535  r10  9779  aleph0  10149  ackbij2lem2  10321  ackbij2lem3  10322  precsexlem1  28599  precsexlem2  28600  constr0  34416  satfv0  36210  satf00  36226  rdgprc  36649  ttcid  37373  ttcmin  37377  finxp0  38408  finxp1o  38409  finxpreclem4  38411  finxpreclem6  38413