Theorem rdg0 8387

Description: The initial value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rdg.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rdg0	⊢ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴

Proof of Theorem rdg0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgdmlim 8383	. . . 4 ⊢ Lim dom rec(𝐹, 𝐴)
2		limomss 7847	. . . 4 ⊢ (Lim dom rec(𝐹, 𝐴) → ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴)
4		peano1 7865	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
5	3, 4	sselii 3933	. 2 ⊢ ∅ ∈ dom rec(𝐹, 𝐴)
6		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥))))) = (𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥)))))
7		rdgvalg 8385	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ V ↦ if(𝑥 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑥, ∪ ran 𝑥, (𝐹‘(𝑥‘∪ dom 𝑥)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ 𝑦)))
8		rdg.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
9	6, 7, 8	tz7.44-1 8372	. 2 ⊢ (∅ ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)
10	5, 9	ax-mp 5	1 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ifcif 4479  ∪ cuni 4864   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5645  ran crn 5646  Lim wlim 6343  ‘cfv 6517  ωcom 7842  reccrdg 8375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376

This theorem is referenced by:  rdg0g  8393  seqomlem1  8416  seqomlem3  8418  om0  8481  oe0  8486  oev2  8487  r10  9723  aleph0  10019  ackbij2lem2  10192  ackbij2lem3  10193  precsexlem1  28277  precsexlem2  28278  constr0  33995  satfv0  35672  satf00  35688  rdgprc  36106  ttcid  36816  ttcmin  36820  finxp0  37849  finxp1o  37850  finxpreclem4  37852  finxpreclem6  37854