Theorem restid2 17354

Description: The subspace topology over a subset of the base set is the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restid2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐴) = 𝐽)

Proof of Theorem restid2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 5324	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴)
4	2, 3	ssexd 5270	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐽 ∈ V)
5		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		restval 17350	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)))
7	4, 5, 6	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)))
8	3	sselda 3934	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
9	8	elpwid 4564	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
10		dfss2 3920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑥 ∩ 𝐴) = 𝑥)
11	9, 10	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 𝑥)
12	11	mpteq2dva 5192	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ 𝑥))
13		mptresid 6011	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐽) = (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ 𝑥)
14	12, 13	eqtr4di 2790	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐽))
15	14	rneqd 5888	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = ran ( I ↾ 𝐽))
16		rnresi 6035	. . 3 ⊢ ran ( I ↾ 𝐽) = 𝐽
17	15, 16	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = 𝐽)
18	7, 17	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐴) = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4555   ↦ cmpt 5180   I cid 5519  ran crn 5626   ↾ cres 5627  (class class class)co 7360   ↾_t crest 17344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-rest 17346

This theorem is referenced by:  restid  17357  topnid  17359  ssufl  23866