MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restid2 17492
Description: The subspace topology over a subset of the base set is the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
restid2 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐽t 𝐴) = 𝐽)

Proof of Theorem restid2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 5396 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
21adantr 480 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3 simpr 484 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴)
42, 3ssexd 5342 . . 3 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐽 ∈ V)
5 simpl 482 . . 3 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐴𝑉)
6 restval 17488 . . 3 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐴)))
74, 5, 6syl2anc 583 . 2 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐽t 𝐴) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐴)))
83sselda 4008 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
98elpwid 4631 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥𝐴)
10 dfss2 3994 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴) = 𝑥)
119, 10sylib 218 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥𝐽) → (𝑥𝐴) = 𝑥)
1211mpteq2dva 5266 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐴)) = (𝑥𝐽𝑥))
13 mptresid 6082 . . . . 5 ( I ↾ 𝐽) = (𝑥𝐽𝑥)
1412, 13eqtr4di 2798 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐴)) = ( I ↾ 𝐽))
1514rneqd 5963 . . 3 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐴)) = ran ( I ↾ 𝐽))
16 rnresi 6106 . . 3 ran ( I ↾ 𝐽) = 𝐽
1715, 16eqtrdi 2796 . 2 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥𝐴)) = 𝐽)
187, 17eqtrd 2780 1 ((𝐴𝑉𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐽t 𝐴) = 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  Vcvv 3488  cin 3975  wss 3976  𝒫 cpw 4622  cmpt 5249   I cid 5592  ran crn 5701  cres 5702  (class class class)co 7450  t crest 17482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-rest 17484
This theorem is referenced by:  restid  17495  topnid  17497  ssufl  23949
  Copyright terms: Public domain W3C validator