Theorem restid2 17058

Description: The subspace topology over a subset of the base set is the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restid2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐴) = 𝐽)

Proof of Theorem restid2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 5296	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴)
4	2, 3	ssexd 5243	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐽 ∈ V)
5		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		restval 17054	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)))
7	4, 5, 6	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)))
8	3	sselda 3917	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
9	8	elpwid 4541	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
10		df-ss 3900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑥 ∩ 𝐴) = 𝑥)
11	9, 10	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∩ 𝐴) = 𝑥)
12	11	mpteq2dva 5170	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ 𝑥))
13		mptresid 5947	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐽) = (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ 𝑥)
14	12, 13	eqtr4di 2797	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐽))
15	14	rneqd 5836	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = ran ( I ↾ 𝐽))
16		rnresi 5972	. . 3 ⊢ ran ( I ↾ 𝐽) = 𝐽
17	15, 16	eqtrdi 2795	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) = 𝐽)
18	7, 17	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐴) = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530   ↦ cmpt 5153   I cid 5479  ran crn 5581   ↾ cres 5582  (class class class)co 7255   ↾_t crest 17048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-rest 17050

This theorem is referenced by:  restid  17061  topnid  17063  ssufl  22977