MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpgecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpgecl 12395
Description: A number greater than or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rpgecl ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpgecl
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 0red 10621 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 0 ∈ ℝ)
3 rpre 12375 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
433ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 rpgt0 12379 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
653ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 0 < 𝐴)
7 simp3 1135 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
82, 4, 1, 6, 7ltletrd 10777 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 0 < 𝐵)
9 elrp 12369 . 2 (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
101, 8, 9sylanbrc 586 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084  wcel 2115   class class class wbr 5039  cr 10513  0cc0 10514   < clt 10652  cle 10653  +crp 12367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-addrcl 10575  ax-rnegex 10585  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-rp 12368
This theorem is referenced by:  divge1  12435  rpgecld  12448  logge0  25174
  Copyright terms: Public domain W3C validator