MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpgecld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpgecld 12950
Description: A number greater than or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
rpgecld.3 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
rpgecld (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpgecld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
2 rpgecld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 rpgecld.3 . 2 (𝜑𝐵𝐴)
4 rpgecl 12897 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
51, 2, 3, 4syl3anc 1371 1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106   class class class wbr 5103  cr 11008  cle 11148  +crp 12869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-addrcl 11070  ax-rnegex 11080  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-rp 12870
This theorem is referenced by:  rlimno1  15492  isumrpcl  15682  divlogrlim  25936  logno1  25937  chprpcl  26501  vmadivsumb  26777  vmalogdivsum2  26832  vmalogdivsum  26833  2vmadivsumlem  26834  selbergb  26843  selberg2b  26846  selberg3lem2  26852  selberg3  26853  selberg4lem1  26854  selberg4  26855  selberg3r  26863  selberg4r  26864  selberg34r  26865  pntrlog2bndlem1  26871  pntrlog2bndlem2  26872  pntrlog2bndlem3  26873  pntrlog2bndlem4  26874  pntrlog2bndlem5  26875  pntrlog2bndlem6a  26876  pntrlog2bndlem6  26877  pntrlog2bnd  26878  pntibndlem2  26885  pntlemb  26891
  Copyright terms: Public domain W3C validator