Theorem rpgecld 13090

Description: A number greater than or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
rpgecld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
rpgecld	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpgecld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
2		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		rpgecld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
4		rpgecl 13037	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1394	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ℝcr 11087   ≤ cle 11232  ℝ⁺crp 13007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-addrcl 11149  ax-rnegex 11159  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-rp 13008

This theorem is referenced by:  rlimno1  15695  isumrpcl  15887  divlogrlim  26758  logno1  26759  chprpcl  27329  vmadivsumb  27605  vmalogdivsum2  27660  vmalogdivsum  27661  2vmadivsumlem  27662  selbergb  27671  selberg2b  27674  selberg3lem2  27680  selberg3  27681  selberg4lem1  27682  selberg4  27683  selberg3r  27691  selberg4r  27692  selberg34r  27693  pntrlog2bndlem1  27699  pntrlog2bndlem2  27700  pntrlog2bndlem3  27701  pntrlog2bndlem4  27702  pntrlog2bndlem5  27703  pntrlog2bndlem6a  27704  pntrlog2bndlem6  27705  pntrlog2bnd  27706  pntibndlem2  27713  pntlemb  27719