Theorem rpgecld 13173

Description: A number greater than or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
rpgecld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
rpgecld	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpgecld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
2		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		rpgecld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
4		rpgecl 13120	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  ℝcr 11171   ≤ cle 11316  ℝ⁺crp 13090

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-addrcl 11233  ax-rnegex 11243  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-rp 13091

This theorem is used by:  rlimno1  15789  isumrpcl  15980  divlogrlim  26927  logno1  26928  chprpcl  27498  vmadivsumb  27774  vmalogdivsum2  27829  vmalogdivsum  27830  2vmadivsumlem  27831  selbergb  27840  selberg2b  27843  selberg3lem2  27849  selberg3  27850  selberg4lem1  27851  selberg4  27852  selberg3r  27860  selberg4r  27861  selberg34r  27862  pntrlog2bndlem1  27868  pntrlog2bndlem2  27869  pntrlog2bndlem3  27870  pntrlog2bndlem4  27871  pntrlog2bndlem5  27872  pntrlog2bndlem6a  27873  pntrlog2bndlem6  27874  pntrlog2bnd  27875  pntibndlem2  27882  pntlemb  27888