MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpgecld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpgecld 12462
Description: A number greater than or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
rpgecld.3 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
rpgecld (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpgecld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
2 rpgecld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 rpgecld.3 . 2 (𝜑𝐵𝐴)
4 rpgecl 12409 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
51, 2, 3, 4syl3anc 1365 1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107   class class class wbr 5057  cr 10528  cle 10668  +crp 12381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-addrcl 10590  ax-rnegex 10600  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-rp 12382
This theorem is referenced by:  rlimno1  15002  isumrpcl  15190  divlogrlim  25210  logno1  25211  chprpcl  25775  vmadivsumb  26051  vmalogdivsum2  26106  vmalogdivsum  26107  2vmadivsumlem  26108  selbergb  26117  selberg2b  26120  selberg3lem2  26126  selberg3  26127  selberg4lem1  26128  selberg4  26129  selberg3r  26137  selberg4r  26138  selberg34r  26139  pntrlog2bndlem1  26145  pntrlog2bndlem2  26146  pntrlog2bndlem3  26147  pntrlog2bndlem4  26148  pntrlog2bndlem5  26149  pntrlog2bndlem6a  26150  pntrlog2bndlem6  26151  pntrlog2bnd  26152  pntibndlem2  26159  pntlemb  26165
  Copyright terms: Public domain W3C validator