Theorem rpgecld 13230

Description: A number greater than or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
rpgecld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
rpgecld	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpgecld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
2		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		rpgecld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
4		rpgecl 13177	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ℝcr 11226   ≤ cle 11371  ℝ⁺crp 13147

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-addrcl 11288  ax-rnegex 11298  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-rp 13148

This theorem is used by:  rlimno1  15850  isumrpcl  16041  divlogrlim  26993  logno1  26994  chprpcl  27564  vmadivsumb  27840  vmalogdivsum2  27895  vmalogdivsum  27896  2vmadivsumlem  27897  selbergb  27906  selberg2b  27909  selberg3lem2  27915  selberg3  27916  selberg4lem1  27917  selberg4  27918  selberg3r  27926  selberg4r  27927  selberg34r  27928  pntrlog2bndlem1  27934  pntrlog2bndlem2  27935  pntrlog2bndlem3  27936  pntrlog2bndlem4  27937  pntrlog2bndlem5  27938  pntrlog2bndlem6a  27939  pntrlog2bndlem6  27940  pntrlog2bnd  27941  pntibndlem2  27948  pntlemb  27954