Theorem divge1 13217

Description: The ratio of a number over a smaller positive number is larger than 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divge1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 1 ≤ (𝐵 / 𝐴))

Proof of Theorem divge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecl 13177	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
2		rpcn 13158	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		rpne0 13164	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
4	2, 3	dividd 12118	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 / 𝐵) = 1)
5	4	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 1 = (𝐵 / 𝐵))
6	1, 5	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 1 = (𝐵 / 𝐵))
7		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
8		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ+)
9	8, 1, 1	lediv2d 13215	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐵 / 𝐵) ≤ (𝐵 / 𝐴)))
10	7, 9	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 / 𝐵) ≤ (𝐵 / 𝐴))
11	6, 10	eqbrtrd 5130	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 1 ≤ (𝐵 / 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  1c1 11228   ≤ cle 11371   / cdiv 12000  ℝ⁺crp 13147

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-rp 13148

This theorem is used by:  fprodle  16192  gausslemma2dlem4  27726