Theorem divge1 13045

Description: The ratio of a number over a smaller positive number is larger than 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divge1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 1 ≤ (𝐵 / 𝐴))

Proof of Theorem divge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecl 13005	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
2		rpcn 12987	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		rpne0 12993	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
4	2, 3	dividd 11989	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 / 𝐵) = 1)
5	4	eqcomd 2732	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 1 = (𝐵 / 𝐵))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 1 = (𝐵 / 𝐵))
7		simp3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
8		simp1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ+)
9	8, 1, 1	lediv2d 13043	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐵 / 𝐵) ≤ (𝐵 / 𝐴)))
10	7, 9	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 / 𝐵) ≤ (𝐵 / 𝐴))
11	6, 10	eqbrtrd 5163	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 1 ≤ (𝐵 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  ℝcr 11108  1c1 11110   ≤ cle 11250   / cdiv 11872  ℝ⁺crp 12977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-rp 12978

This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2uz2  13804  fprodle  15944  gausslemma2dlem4  27253  2xp3dxp2ge1d  41564