Theorem rphalflt 13161

Description: Half of a positive real is less than the original number. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalflt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) < 𝐴)

Proof of Theorem rphalflt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 13132	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		halfpos 12586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 / 2) < 𝐴))
3	2	biimpa 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / 2) < 𝐴)
4	1, 3	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5105  (class class class)co 7427  ℝcr 11209  0cc0 11210   < clt 11353   / cdiv 11983  2c2 12407  ℝ⁺crp 13130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-rp 13131

This theorem is used by:  rpltrp  13482  rpnnen2lem11  16404  sqrt2irr  16429  metcnpi3  24877  cfilucfil  24890  reperflem  25150  iccntr  25153  icccmplem2  25155  reconnlem2  25159  cnllycmp  25289  bcthlem5  25661  minveclem3  25762  ivthlem2  25785  lhop1lem  26345  dvcnvre  26351  aaliou  26677  aaliou2b  26680  cosordlem  26870  tanord1  26877  argregt0  26950  argrege0  26951  isosctrlem1  27158  asinsin  27232  asin1  27234  atan1  27268  lgamucov  27377  lgsqrlem2  27686  lgsquadlem2  27720  lgsquadlem3  27721  2sqlem8  27765  chebbnd1lem2  27809  pntibnd  27932  pntlem3  27948  flt4lem7  28001  ubthlem1  31484  nmcexi  32640  ftc1anc  38759  isosctrlem1ALT  46055  dstregt0  46437  supxrge  46489  rphalfltd  46604  stoweidlem62  47211  fourierdlem79  47334