Theorem rphalflt 12999

Description: Half of a positive real is less than the original number. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalflt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) < 𝐴)

Proof of Theorem rphalflt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 12972	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		halfpos 12438	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 / 2) < 𝐴))
3	2	biimpa 477	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / 2) < 𝐴)
4	1, 3	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  0cc0 11106   < clt 11244   / cdiv 11867  2c2 12263  ℝ⁺crp 12970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-rp 12971

This theorem is referenced by:  rpltrp  13316  rpnnen2lem11  16163  sqrt2irr  16188  metcnpi3  24046  cfilucfil  24059  reperflem  24325  iccntr  24328  icccmplem2  24330  reconnlem2  24334  cnllycmp  24463  bcthlem5  24836  minveclem3  24937  ivthlem2  24960  lhop1lem  25521  dvcnvre  25527  aaliou  25842  aaliou2b  25845  cosordlem  26030  tanord1  26037  argregt0  26109  argrege0  26110  isosctrlem1  26312  asinsin  26386  asin1  26388  atan1  26422  lgamucov  26531  lgsqrlem2  26839  lgsquadlem2  26873  lgsquadlem3  26874  2sqlem8  26918  chebbnd1lem2  26962  pntibnd  27085  pntlem3  27101  ubthlem1  30110  nmcexi  31266  ftc1anc  36557  flt4lem7  41397  isosctrlem1ALT  43680  dstregt0  43977  supxrge  44034  rphalfltd  44151  stoweidlem62  44764  fourierdlem79  44887