MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rphalflt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rphalflt 12945
Description: Half of a positive real is less than the original number. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
rphalflt (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) < 𝐴)

Proof of Theorem rphalflt
StepHypRef Expression
1 elrp 12918 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2 halfpos 12384 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 / 2) < 𝐴))
32biimpa 478 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / 2) < 𝐴)
41, 3sylbi 216 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11051  0cc0 11052   < clt 11190   / cdiv 11813  2c2 12209  +crp 12916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-2 12217  df-rp 12917
This theorem is referenced by:  rpltrp  13261  rpnnen2lem11  16107  sqrt2irr  16132  metcnpi3  23905  cfilucfil  23918  reperflem  24184  iccntr  24187  icccmplem2  24189  reconnlem2  24193  cnllycmp  24322  bcthlem5  24695  minveclem3  24796  ivthlem2  24819  lhop1lem  25380  dvcnvre  25386  aaliou  25701  aaliou2b  25704  cosordlem  25889  tanord1  25896  argregt0  25968  argrege0  25969  isosctrlem1  26171  asinsin  26245  asin1  26247  atan1  26281  lgamucov  26390  lgsqrlem2  26698  lgsquadlem2  26732  lgsquadlem3  26733  2sqlem8  26777  chebbnd1lem2  26821  pntibnd  26944  pntlem3  26960  ubthlem1  29815  nmcexi  30971  ftc1anc  36162  flt4lem7  41000  isosctrlem1ALT  43223  dstregt0  43522  supxrge  43579  rphalfltd  43697  stoweidlem62  44310  fourierdlem79  44433
  Copyright terms: Public domain W3C validator