Theorem rphalfcl 13149

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13125	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 13147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420   / cdiv 11973  2c2 12397  ℝ⁺crp 13120

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-rp 13121

This theorem is used by:  rphalfcld  13176  rpltrp  13472  cau3lem  15522  2clim  15739  addcn2  15761  mulcn2  15763  climcau  15838  metcnpi3  24865  ngptgp  24955  iccntr  25141  reconnlem2  25147  opnreen  25151  xmetdcn2  25157  cnllycmp  25277  iscfil3  25594  cfilfcls  25595  iscmet3lem3  25611  iscmet3lem1  25612  iscmet3lem2  25613  iscmet3  25614  lmcau  25634  bcthlem5  25649  ivthlem2  25773  uniioombl  25910  dvcnvre  26339  aaliou  26665  ulmcaulem  26721  ulmcau  26722  ulmcn  26726  ulmdvlem3  26729  tanregt0  26867  argregt0  26938  argrege0  26939  logimul  26942  resqrtcn  27077  asin1  27222  reasinsin  27224  atanbnd  27254  atan1  27256  sqrtlim  27300  basellem4  27411  chpchtlim  27806  mulog2sumlem2  27862  pntlem3  27936  vacn  31296  ubthlem1  31472  nmcexi  32628  poimirlem29  38567  heicant  38573  ftc1anclem6  38616  ftc1anclem7  38617  ftc1anc  38619  heibor1lem  38743  heiborlem8  38752  bfplem2  38757  supxrge  46349  suplesup  46350  infleinflem1  46380  infleinf  46382  addlimc  46657  fourierdlem103  47218  fourierdlem104  47219  sge0xaddlem2  47443  smflimlem4  47783