Theorem rphalfcl 13189

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13165	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 13187	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451   / cdiv 12013  2c2 12437  ℝ⁺crp 13160

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-rp 13161

This theorem is used by:  rphalfcld  13216  rpltrp  13512  cau3lem  15566  2clim  15783  addcn2  15805  mulcn2  15807  climcau  15882  metcnpi3  24920  ngptgp  25010  iccntr  25196  reconnlem2  25202  opnreen  25206  xmetdcn2  25212  cnllycmp  25332  iscfil3  25649  cfilfcls  25650  iscmet3lem3  25666  iscmet3lem1  25667  iscmet3lem2  25668  iscmet3  25669  lmcau  25689  bcthlem5  25704  ivthlem2  25828  uniioombl  25965  dvcnvre  26394  aaliou  26722  ulmcaulem  26778  ulmcau  26779  ulmcn  26783  ulmdvlem3  26786  tanregt0  26924  argregt0  26995  argrege0  26996  logimul  26999  resqrtcn  27134  asin1  27279  reasinsin  27281  atanbnd  27311  atan1  27313  sqrtlim  27357  basellem4  27468  chpchtlim  27863  mulog2sumlem2  27919  pntlem3  27993  vacn  31353  ubthlem1  31529  nmcexi  32685  poimirlem29  38835  heicant  38841  ftc1anclem6  38884  ftc1anclem7  38885  ftc1anc  38887  heibor1lem  39009  heiborlem8  39018  bfplem2  39023  supxrge  46623  suplesup  46624  infleinflem1  46654  infleinf  46656  addlimc  46931  fourierdlem103  47492  fourierdlem104  47493  sge0xaddlem2  47717  smflimlem4  48057