MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rphalfcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rphalfcl 12943
Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
rphalfcl (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl
StepHypRef Expression
1 2rp 12921 . 2 2 ∈ ℝ+
2 rpdivcl 12941 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
31, 2mpan2 690 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  (class class class)co 7358   / cdiv 11813  2c2 12209  +crp 12916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-2 12217  df-rp 12917
This theorem is referenced by:  rphalfcld  12970  rpltrp  13261  cau3lem  15240  2clim  15455  addcn2  15477  mulcn2  15479  climcau  15556  metcnpi3  23905  ngptgp  23995  iccntr  24187  reconnlem2  24193  opnreen  24197  xmetdcn2  24203  cnllycmp  24322  iscfil3  24640  cfilfcls  24641  iscmet3lem3  24657  iscmet3lem1  24658  iscmet3lem2  24659  iscmet3  24660  lmcau  24680  bcthlem5  24695  ivthlem2  24819  uniioombl  24956  dvcnvre  25386  aaliou  25701  ulmcaulem  25756  ulmcau  25757  ulmcn  25761  ulmdvlem3  25764  tanregt0  25898  argregt0  25968  argrege0  25969  logimul  25972  resqrtcn  26105  asin1  26247  reasinsin  26249  atanbnd  26279  atan1  26281  sqrtlim  26325  basellem4  26436  chpchtlim  26830  mulog2sumlem2  26886  pntlem3  26960  vacn  29639  ubthlem1  29815  nmcexi  30971  poimirlem29  36110  heicant  36116  ftc1anclem6  36159  ftc1anclem7  36160  ftc1anc  36162  heibor1lem  36271  heiborlem8  36280  bfplem2  36285  supxrge  43579  suplesup  43580  infleinflem1  43611  infleinf  43613  addlimc  43896  fourierdlem103  44457  fourierdlem104  44458  sge0xaddlem2  44682  smflimlem4  45022
  Copyright terms: Public domain W3C validator