Theorem rphalfcl 12919

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12895	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 12917	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346   / cdiv 11774  2c2 12180  ℝ⁺crp 12890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-2 12188  df-rp 12891

This theorem is referenced by:  rphalfcld  12946  rpltrp  13241  cau3lem  15262  2clim  15479  addcn2  15501  mulcn2  15503  climcau  15578  metcnpi3  24461  ngptgp  24551  iccntr  24737  reconnlem2  24743  opnreen  24747  xmetdcn2  24753  cnllycmp  24882  iscfil3  25200  cfilfcls  25201  iscmet3lem3  25217  iscmet3lem1  25218  iscmet3lem2  25219  iscmet3  25220  lmcau  25240  bcthlem5  25255  ivthlem2  25380  uniioombl  25517  dvcnvre  25951  aaliou  26273  ulmcaulem  26330  ulmcau  26331  ulmcn  26335  ulmdvlem3  26338  tanregt0  26475  argregt0  26546  argrege0  26547  logimul  26550  resqrtcn  26686  asin1  26831  reasinsin  26833  atanbnd  26863  atan1  26865  sqrtlim  26910  basellem4  27021  chpchtlim  27417  mulog2sumlem2  27473  pntlem3  27547  vacn  30674  ubthlem1  30850  nmcexi  32006  poimirlem29  37699  heicant  37705  ftc1anclem6  37748  ftc1anclem7  37749  ftc1anc  37751  heibor1lem  37859  heiborlem8  37868  bfplem2  37873  supxrge  45447  suplesup  45448  infleinflem1  45478  infleinf  45480  addlimc  45756  fourierdlem103  46317  fourierdlem104  46318  sge0xaddlem2  46542  smflimlem4  46882