Theorem rphalfcl 13036

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13013	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 13034	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405   / cdiv 11894  2c2 12295  ℝ⁺crp 13008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-2 12303  df-rp 13009

This theorem is referenced by:  rphalfcld  13063  rpltrp  13358  cau3lem  15373  2clim  15588  addcn2  15610  mulcn2  15612  climcau  15687  metcnpi3  24485  ngptgp  24575  iccntr  24761  reconnlem2  24767  opnreen  24771  xmetdcn2  24777  cnllycmp  24906  iscfil3  25225  cfilfcls  25226  iscmet3lem3  25242  iscmet3lem1  25243  iscmet3lem2  25244  iscmet3  25245  lmcau  25265  bcthlem5  25280  ivthlem2  25405  uniioombl  25542  dvcnvre  25976  aaliou  26298  ulmcaulem  26355  ulmcau  26356  ulmcn  26360  ulmdvlem3  26363  tanregt0  26500  argregt0  26571  argrege0  26572  logimul  26575  resqrtcn  26711  asin1  26856  reasinsin  26858  atanbnd  26888  atan1  26890  sqrtlim  26935  basellem4  27046  chpchtlim  27442  mulog2sumlem2  27498  pntlem3  27572  vacn  30675  ubthlem1  30851  nmcexi  32007  poimirlem29  37673  heicant  37679  ftc1anclem6  37722  ftc1anclem7  37723  ftc1anc  37725  heibor1lem  37833  heiborlem8  37842  bfplem2  37847  supxrge  45365  suplesup  45366  infleinflem1  45397  infleinf  45399  addlimc  45677  fourierdlem103  46238  fourierdlem104  46239  sge0xaddlem2  46463  smflimlem4  46803