Theorem rphalfcl 12922

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12898	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 12920	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349   / cdiv 11777  2c2 12183  ℝ⁺crp 12893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-2 12191  df-rp 12894

This theorem is referenced by:  rphalfcld  12949  rpltrp  13244  cau3lem  15262  2clim  15479  addcn2  15501  mulcn2  15503  climcau  15578  metcnpi3  24432  ngptgp  24522  iccntr  24708  reconnlem2  24714  opnreen  24718  xmetdcn2  24724  cnllycmp  24853  iscfil3  25171  cfilfcls  25172  iscmet3lem3  25188  iscmet3lem1  25189  iscmet3lem2  25190  iscmet3  25191  lmcau  25211  bcthlem5  25226  ivthlem2  25351  uniioombl  25488  dvcnvre  25922  aaliou  26244  ulmcaulem  26301  ulmcau  26302  ulmcn  26306  ulmdvlem3  26309  tanregt0  26446  argregt0  26517  argrege0  26518  logimul  26521  resqrtcn  26657  asin1  26802  reasinsin  26804  atanbnd  26834  atan1  26836  sqrtlim  26881  basellem4  26992  chpchtlim  27388  mulog2sumlem2  27444  pntlem3  27518  vacn  30638  ubthlem1  30814  nmcexi  31970  poimirlem29  37633  heicant  37639  ftc1anclem6  37682  ftc1anclem7  37683  ftc1anc  37685  heibor1lem  37793  heiborlem8  37802  bfplem2  37807  supxrge  45322  suplesup  45323  infleinflem1  45353  infleinf  45355  addlimc  45633  fourierdlem103  46194  fourierdlem104  46195  sge0xaddlem2  46419  smflimlem4  46759