Theorem rphalfcl 12962

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12938	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 12960	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 697	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356   / cdiv 11798  2c2 12227  ℝ⁺crp 12933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-2 12235  df-rp 12934

This theorem is referenced by:  rphalfcld  12989  rpltrp  13285  cau3lem  15308  2clim  15525  addcn2  15547  mulcn2  15549  climcau  15624  metcnpi3  24529  ngptgp  24619  iccntr  24805  reconnlem2  24811  opnreen  24815  xmetdcn2  24821  cnllycmp  24941  iscfil3  25258  cfilfcls  25259  iscmet3lem3  25275  iscmet3lem1  25276  iscmet3lem2  25277  iscmet3  25278  lmcau  25298  bcthlem5  25313  ivthlem2  25437  uniioombl  25574  dvcnvre  26004  aaliou  26322  ulmcaulem  26377  ulmcau  26378  ulmcn  26382  ulmdvlem3  26385  tanregt0  26521  argregt0  26592  argrege0  26593  logimul  26596  resqrtcn  26731  asin1  26876  reasinsin  26878  atanbnd  26908  atan1  26910  sqrtlim  26954  basellem4  27065  chpchtlim  27460  mulog2sumlem2  27516  pntlem3  27590  vacn  30783  ubthlem1  30959  nmcexi  32115  poimirlem29  38016  heicant  38022  ftc1anclem6  38065  ftc1anclem7  38066  ftc1anc  38068  heibor1lem  38176  heiborlem8  38185  bfplem2  38190  supxrge  45783  suplesup  45784  infleinflem1  45814  infleinf  45816  addlimc  46091  fourierdlem103  46652  fourierdlem104  46653  sge0xaddlem2  46877  smflimlem4  47217