Theorem rphalfcl 12417

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12395	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 12415	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 689	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156   / cdiv 11297  2c2 11693  ℝ⁺crp 12390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-2 11701  df-rp 12391

This theorem is referenced by:  rphalfcld  12444  rpltrp  12735  cau3lem  14714  2clim  14929  addcn2  14950  mulcn2  14952  climcau  15027  metcnpi3  23156  ngptgp  23245  iccntr  23429  reconnlem2  23435  opnreen  23439  xmetdcn2  23445  cnllycmp  23560  iscfil3  23876  cfilfcls  23877  iscmet3lem3  23893  iscmet3lem1  23894  iscmet3lem2  23895  iscmet3  23896  lmcau  23916  bcthlem5  23931  ivthlem2  24053  uniioombl  24190  dvcnvre  24616  aaliou  24927  ulmcaulem  24982  ulmcau  24983  ulmcn  24987  ulmdvlem3  24990  tanregt0  25123  argregt0  25193  argrege0  25194  logimul  25197  resqrtcn  25330  asin1  25472  reasinsin  25474  atanbnd  25504  atan1  25506  sqrtlim  25550  basellem4  25661  chpchtlim  26055  mulog2sumlem2  26111  pntlem3  26185  vacn  28471  ubthlem1  28647  nmcexi  29803  poimirlem29  34936  heicant  34942  ftc1anclem6  34987  ftc1anclem7  34988  ftc1anc  34990  heibor1lem  35102  heiborlem8  35111  bfplem2  35116  supxrge  41626  suplesup  41627  infleinflem1  41658  infleinf  41660  addlimc  41949  fourierdlem103  42514  fourierdlem104  42515  sge0xaddlem2  42736  smflimlem4  43070