Theorem rphalfcl 12965

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12941	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 12963	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361   / cdiv 11801  2c2 12230  ℝ⁺crp 12936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-2 12238  df-rp 12937

This theorem is referenced by:  rphalfcld  12992  rpltrp  13288  cau3lem  15311  2clim  15528  addcn2  15550  mulcn2  15552  climcau  15627  metcnpi3  24524  ngptgp  24614  iccntr  24800  reconnlem2  24806  opnreen  24810  xmetdcn2  24816  cnllycmp  24936  iscfil3  25253  cfilfcls  25254  iscmet3lem3  25270  iscmet3lem1  25271  iscmet3lem2  25272  iscmet3  25273  lmcau  25293  bcthlem5  25308  ivthlem2  25432  uniioombl  25569  dvcnvre  25999  aaliou  26318  ulmcaulem  26375  ulmcau  26376  ulmcn  26380  ulmdvlem3  26383  tanregt0  26519  argregt0  26590  argrege0  26591  logimul  26594  resqrtcn  26729  asin1  26874  reasinsin  26876  atanbnd  26906  atan1  26908  sqrtlim  26953  basellem4  27064  chpchtlim  27459  mulog2sumlem2  27515  pntlem3  27589  vacn  30783  ubthlem1  30959  nmcexi  32115  poimirlem29  37987  heicant  37993  ftc1anclem6  38036  ftc1anclem7  38037  ftc1anc  38039  heibor1lem  38147  heiborlem8  38156  bfplem2  38161  supxrge  45789  suplesup  45790  infleinflem1  45820  infleinf  45822  addlimc  46097  fourierdlem103  46658  fourierdlem104  46659  sge0xaddlem2  46883  smflimlem4  47223