Theorem rphalfcl 12934

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12910	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 12932	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358   / cdiv 11794  2c2 12200  ℝ⁺crp 12905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-2 12208  df-rp 12906

This theorem is referenced by:  rphalfcld  12961  rpltrp  13257  cau3lem  15278  2clim  15495  addcn2  15517  mulcn2  15519  climcau  15594  metcnpi3  24490  ngptgp  24580  iccntr  24766  reconnlem2  24772  opnreen  24776  xmetdcn2  24782  cnllycmp  24911  iscfil3  25229  cfilfcls  25230  iscmet3lem3  25246  iscmet3lem1  25247  iscmet3lem2  25248  iscmet3  25249  lmcau  25269  bcthlem5  25284  ivthlem2  25409  uniioombl  25546  dvcnvre  25980  aaliou  26302  ulmcaulem  26359  ulmcau  26360  ulmcn  26364  ulmdvlem3  26367  tanregt0  26504  argregt0  26575  argrege0  26576  logimul  26579  resqrtcn  26715  asin1  26860  reasinsin  26862  atanbnd  26892  atan1  26894  sqrtlim  26939  basellem4  27050  chpchtlim  27446  mulog2sumlem2  27502  pntlem3  27576  vacn  30769  ubthlem1  30945  nmcexi  32101  poimirlem29  37850  heicant  37856  ftc1anclem6  37899  ftc1anclem7  37900  ftc1anc  37902  heibor1lem  38010  heiborlem8  38019  bfplem2  38024  supxrge  45583  suplesup  45584  infleinflem1  45614  infleinf  45616  addlimc  45892  fourierdlem103  46453  fourierdlem104  46454  sge0xaddlem2  46678  smflimlem4  47018