Theorem rphalfcl 13063

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13039	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 13061	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419   / cdiv 11888  2c2 12312  ℝ⁺crp 13034

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-rp 13035

This theorem is used by:  rphalfcld  13090  rpltrp  13386  cau3lem  15432  2clim  15649  addcn2  15671  mulcn2  15673  climcau  15748  metcnpi3  24756  ngptgp  24846  iccntr  25032  reconnlem2  25038  opnreen  25042  xmetdcn2  25048  cnllycmp  25168  iscfil3  25485  cfilfcls  25486  iscmet3lem3  25502  iscmet3lem1  25503  iscmet3lem2  25504  iscmet3  25505  lmcau  25525  bcthlem5  25540  ivthlem2  25664  uniioombl  25801  dvcnvre  26231  aaliou  26554  ulmcaulem  26610  ulmcau  26611  ulmcn  26615  ulmdvlem3  26618  tanregt0  26757  argregt0  26828  argrege0  26829  logimul  26832  resqrtcn  26967  asin1  27112  reasinsin  27114  atanbnd  27144  atan1  27146  sqrtlim  27190  basellem4  27301  chpchtlim  27696  mulog2sumlem2  27752  pntlem3  27826  vacn  31119  ubthlem1  31295  nmcexi  32451  poimirlem29  38359  heicant  38365  ftc1anclem6  38408  ftc1anclem7  38409  ftc1anc  38411  heibor1lem  38520  heiborlem8  38529  bfplem2  38534  supxrge  46114  suplesup  46115  infleinflem1  46145  infleinf  46147  addlimc  46422  fourierdlem103  46983  fourierdlem104  46984  sge0xaddlem2  47208  smflimlem4  47548