Theorem rphalfcl 12971

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12947	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 12969	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367   / cdiv 11807  2c2 12236  ℝ⁺crp 12942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-2 12244  df-rp 12943

This theorem is referenced by:  rphalfcld  12998  rpltrp  13294  cau3lem  15317  2clim  15534  addcn2  15556  mulcn2  15558  climcau  15633  metcnpi3  24511  ngptgp  24601  iccntr  24787  reconnlem2  24793  opnreen  24797  xmetdcn2  24803  cnllycmp  24923  iscfil3  25240  cfilfcls  25241  iscmet3lem3  25257  iscmet3lem1  25258  iscmet3lem2  25259  iscmet3  25260  lmcau  25280  bcthlem5  25295  ivthlem2  25419  uniioombl  25556  dvcnvre  25986  aaliou  26304  ulmcaulem  26359  ulmcau  26360  ulmcn  26364  ulmdvlem3  26367  tanregt0  26503  argregt0  26574  argrege0  26575  logimul  26578  resqrtcn  26713  asin1  26858  reasinsin  26860  atanbnd  26890  atan1  26892  sqrtlim  26936  basellem4  27047  chpchtlim  27442  mulog2sumlem2  27498  pntlem3  27572  vacn  30765  ubthlem1  30941  nmcexi  32097  poimirlem29  37970  heicant  37976  ftc1anclem6  38019  ftc1anclem7  38020  ftc1anc  38022  heibor1lem  38130  heiborlem8  38139  bfplem2  38144  supxrge  45768  suplesup  45769  infleinflem1  45799  infleinf  45801  addlimc  46076  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  sge0xaddlem2  46862  smflimlem4  47202