MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rphalfcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rphalfcl 12061
Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
rphalfcl (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl
StepHypRef Expression
1 2rp 12040 . 2 2 ∈ ℝ+
2 rpdivcl 12059 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
31, 2mpan2 671 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2145  (class class class)co 6796   / cdiv 10890  2c2 11276  +crp 12035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-2 11285  df-rp 12036
This theorem is referenced by:  rphalfcld  12087  rpltrp  12376  cau3lem  14302  2clim  14511  addcn2  14532  mulcn2  14534  climcau  14609  metcnpi3  22571  ngptgp  22660  iccntr  22844  reconnlem2  22850  opnreen  22854  xmetdcn2  22860  cnllycmp  22975  iscfil3  23290  cfilfcls  23291  iscmet3lem3  23307  iscmet3lem1  23308  iscmet3lem2  23309  iscmet3  23310  lmcau  23330  bcthlem5  23344  ivthlem2  23440  uniioombl  23577  dvcnvre  24002  aaliou  24313  ulmcaulem  24368  ulmcau  24369  ulmcn  24373  ulmdvlem3  24376  tanregt0  24506  argregt0  24577  argrege0  24578  logimul  24581  resqrtcn  24711  asin1  24842  reasinsin  24844  atanbnd  24874  atan1  24876  sqrtlim  24920  basellem4  25031  chpchtlim  25389  mulog2sumlem2  25445  pntlem3  25519  vacn  27889  ubthlem1  28066  nmcexi  29225  poimirlem29  33770  heicant  33776  ftc1anclem6  33821  ftc1anclem7  33822  ftc1anc  33824  heibor1lem  33938  heiborlem8  33947  bfplem2  33952  supxrge  40065  suplesup  40066  infleinflem1  40097  infleinf  40099  addlimc  40393  fourierdlem103  40938  fourierdlem104  40939  sge0xaddlem2  41163  smflimlem4  41497
  Copyright terms: Public domain W3C validator