Theorem rphalfcl 12956

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12932	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 12954	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369   / cdiv 11811  2c2 12217  ℝ⁺crp 12927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-2 12225  df-rp 12928

This theorem is referenced by:  rphalfcld  12983  rpltrp  13278  cau3lem  15297  2clim  15514  addcn2  15536  mulcn2  15538  climcau  15613  metcnpi3  24467  ngptgp  24557  iccntr  24743  reconnlem2  24749  opnreen  24753  xmetdcn2  24759  cnllycmp  24888  iscfil3  25206  cfilfcls  25207  iscmet3lem3  25223  iscmet3lem1  25224  iscmet3lem2  25225  iscmet3  25226  lmcau  25246  bcthlem5  25261  ivthlem2  25386  uniioombl  25523  dvcnvre  25957  aaliou  26279  ulmcaulem  26336  ulmcau  26337  ulmcn  26341  ulmdvlem3  26344  tanregt0  26481  argregt0  26552  argrege0  26553  logimul  26556  resqrtcn  26692  asin1  26837  reasinsin  26839  atanbnd  26869  atan1  26871  sqrtlim  26916  basellem4  27027  chpchtlim  27423  mulog2sumlem2  27479  pntlem3  27553  vacn  30673  ubthlem1  30849  nmcexi  32005  poimirlem29  37636  heicant  37642  ftc1anclem6  37685  ftc1anclem7  37686  ftc1anc  37688  heibor1lem  37796  heiborlem8  37805  bfplem2  37810  supxrge  45327  suplesup  45328  infleinflem1  45359  infleinf  45361  addlimc  45639  fourierdlem103  46200  fourierdlem104  46201  sge0xaddlem2  46425  smflimlem4  46765