Theorem rphalfcl 13156

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13132	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 13154	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424   / cdiv 11980  2c2 12404  ℝ⁺crp 13127

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-rp 13128

This theorem is used by:  rphalfcld  13183  rpltrp  13479  cau3lem  15531  2clim  15748  addcn2  15770  mulcn2  15772  climcau  15847  metcnpi3  24874  ngptgp  24964  iccntr  25150  reconnlem2  25156  opnreen  25160  xmetdcn2  25166  cnllycmp  25286  iscfil3  25603  cfilfcls  25604  iscmet3lem3  25620  iscmet3lem1  25621  iscmet3lem2  25622  iscmet3  25623  lmcau  25643  bcthlem5  25658  ivthlem2  25782  uniioombl  25919  dvcnvre  26348  aaliou  26674  ulmcaulem  26730  ulmcau  26731  ulmcn  26735  ulmdvlem3  26738  tanregt0  26876  argregt0  26947  argrege0  26948  logimul  26951  resqrtcn  27086  asin1  27231  reasinsin  27233  atanbnd  27263  atan1  27265  sqrtlim  27309  basellem4  27420  chpchtlim  27815  mulog2sumlem2  27871  pntlem3  27945  vacn  31305  ubthlem1  31481  nmcexi  32637  poimirlem29  38704  heicant  38710  ftc1anclem6  38753  ftc1anclem7  38754  ftc1anc  38756  heibor1lem  38880  heiborlem8  38889  bfplem2  38894  supxrge  46486  suplesup  46487  infleinflem1  46517  infleinf  46519  addlimc  46794  fourierdlem103  47355  fourierdlem104  47356  sge0xaddlem2  47580  smflimlem4  47920