Theorem rphalfcl 12932

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12908	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 12930	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356   / cdiv 11792  2c2 12198  ℝ⁺crp 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-2 12206  df-rp 12904

This theorem is referenced by:  rphalfcld  12959  rpltrp  13255  cau3lem  15276  2clim  15493  addcn2  15515  mulcn2  15517  climcau  15592  metcnpi3  24488  ngptgp  24578  iccntr  24764  reconnlem2  24770  opnreen  24774  xmetdcn2  24780  cnllycmp  24909  iscfil3  25227  cfilfcls  25228  iscmet3lem3  25244  iscmet3lem1  25245  iscmet3lem2  25246  iscmet3  25247  lmcau  25267  bcthlem5  25282  ivthlem2  25407  uniioombl  25544  dvcnvre  25978  aaliou  26300  ulmcaulem  26357  ulmcau  26358  ulmcn  26362  ulmdvlem3  26365  tanregt0  26502  argregt0  26573  argrege0  26574  logimul  26577  resqrtcn  26713  asin1  26858  reasinsin  26860  atanbnd  26890  atan1  26892  sqrtlim  26937  basellem4  27048  chpchtlim  27444  mulog2sumlem2  27500  pntlem3  27574  vacn  30718  ubthlem1  30894  nmcexi  32050  poimirlem29  37789  heicant  37795  ftc1anclem6  37838  ftc1anclem7  37839  ftc1anc  37841  heibor1lem  37949  heiborlem8  37958  bfplem2  37963  supxrge  45525  suplesup  45526  infleinflem1  45556  infleinf  45558  addlimc  45834  fourierdlem103  46395  fourierdlem104  46396  sge0xaddlem2  46620  smflimlem4  46960