Theorem rphalfcl 12270

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12248	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 12268	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 687	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2083  (class class class)co 7023   / cdiv 11151  2c2 11546  ℝ⁺crp 12243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-po 5369  df-so 5370  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-2 11554  df-rp 12244

This theorem is referenced by:  rphalfcld  12297  rpltrp  12588  cau3lem  14552  2clim  14767  addcn2  14788  mulcn2  14790  climcau  14865  metcnpi3  22843  ngptgp  22932  iccntr  23116  reconnlem2  23122  opnreen  23126  xmetdcn2  23132  cnllycmp  23247  iscfil3  23563  cfilfcls  23564  iscmet3lem3  23580  iscmet3lem1  23581  iscmet3lem2  23582  iscmet3  23583  lmcau  23603  bcthlem5  23618  ivthlem2  23740  uniioombl  23877  dvcnvre  24303  aaliou  24614  ulmcaulem  24669  ulmcau  24670  ulmcn  24674  ulmdvlem3  24677  tanregt0  24808  argregt0  24878  argrege0  24879  logimul  24882  resqrtcn  25015  asin1  25157  reasinsin  25159  atanbnd  25189  atan1  25191  sqrtlim  25236  basellem4  25347  chpchtlim  25741  mulog2sumlem2  25797  pntlem3  25871  vacn  28158  ubthlem1  28334  nmcexi  29490  poimirlem29  34473  heicant  34479  ftc1anclem6  34524  ftc1anclem7  34525  ftc1anc  34527  heibor1lem  34640  heiborlem8  34649  bfplem2  34654  supxrge  41168  suplesup  41169  infleinflem1  41200  infleinf  41202  addlimc  41492  fourierdlem103  42058  fourierdlem104  42059  sge0xaddlem2  42280  smflimlem4  42614