MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rphalfcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rphalfcl 12757
Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
rphalfcl (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl
StepHypRef Expression
1 2rp 12735 . 2 2 ∈ ℝ+
2 rpdivcl 12755 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
31, 2mpan2 688 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  (class class class)co 7275   / cdiv 11632  2c2 12028  +crp 12730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-2 12036  df-rp 12731
This theorem is referenced by:  rphalfcld  12784  rpltrp  13075  cau3lem  15066  2clim  15281  addcn2  15303  mulcn2  15305  climcau  15382  metcnpi3  23702  ngptgp  23792  iccntr  23984  reconnlem2  23990  opnreen  23994  xmetdcn2  24000  cnllycmp  24119  iscfil3  24437  cfilfcls  24438  iscmet3lem3  24454  iscmet3lem1  24455  iscmet3lem2  24456  iscmet3  24457  lmcau  24477  bcthlem5  24492  ivthlem2  24616  uniioombl  24753  dvcnvre  25183  aaliou  25498  ulmcaulem  25553  ulmcau  25554  ulmcn  25558  ulmdvlem3  25561  tanregt0  25695  argregt0  25765  argrege0  25766  logimul  25769  resqrtcn  25902  asin1  26044  reasinsin  26046  atanbnd  26076  atan1  26078  sqrtlim  26122  basellem4  26233  chpchtlim  26627  mulog2sumlem2  26683  pntlem3  26757  vacn  29056  ubthlem1  29232  nmcexi  30388  poimirlem29  35806  heicant  35812  ftc1anclem6  35855  ftc1anclem7  35856  ftc1anc  35858  heibor1lem  35967  heiborlem8  35976  bfplem2  35981  supxrge  42877  suplesup  42878  infleinflem1  42909  infleinf  42911  addlimc  43189  fourierdlem103  43750  fourierdlem104  43751  sge0xaddlem2  43972  smflimlem4  44309
  Copyright terms: Public domain W3C validator