Theorem rphalfcl 13084

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13062	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 13082	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 690	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448   / cdiv 11947  2c2 12348  ℝ⁺crp 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-2 12356  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  rphalfcld  13111  rpltrp  13403  cau3lem  15403  2clim  15618  addcn2  15640  mulcn2  15642  climcau  15719  metcnpi3  24580  ngptgp  24670  iccntr  24862  reconnlem2  24868  opnreen  24872  xmetdcn2  24878  cnllycmp  25007  iscfil3  25326  cfilfcls  25327  iscmet3lem3  25343  iscmet3lem1  25344  iscmet3lem2  25345  iscmet3  25346  lmcau  25366  bcthlem5  25381  ivthlem2  25506  uniioombl  25643  dvcnvre  26078  aaliou  26398  ulmcaulem  26455  ulmcau  26456  ulmcn  26460  ulmdvlem3  26463  tanregt0  26599  argregt0  26670  argrege0  26671  logimul  26674  resqrtcn  26810  asin1  26955  reasinsin  26957  atanbnd  26987  atan1  26989  sqrtlim  27034  basellem4  27145  chpchtlim  27541  mulog2sumlem2  27597  pntlem3  27671  vacn  30726  ubthlem1  30902  nmcexi  32058  poimirlem29  37609  heicant  37615  ftc1anclem6  37658  ftc1anclem7  37659  ftc1anc  37661  heibor1lem  37769  heiborlem8  37778  bfplem2  37783  supxrge  45253  suplesup  45254  infleinflem1  45285  infleinf  45287  addlimc  45569  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  sge0xaddlem2  46355  smflimlem4  46695