Theorem rphalfcl 13040

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13016	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 13038	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 703	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410   / cdiv 11866  2c2 12290  ℝ⁺crp 13011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-rp 13012

This theorem is referenced by:  rphalfcld  13067  rpltrp  13363  cau3lem  15402  2clim  15619  addcn2  15641  mulcn2  15643  climcau  15718  metcnpi3  24703  ngptgp  24793  iccntr  24979  reconnlem2  24985  opnreen  24989  xmetdcn2  24995  cnllycmp  25115  iscfil3  25432  cfilfcls  25433  iscmet3lem3  25449  iscmet3lem1  25450  iscmet3lem2  25451  iscmet3  25452  lmcau  25472  bcthlem5  25487  ivthlem2  25611  uniioombl  25748  dvcnvre  26178  aaliou  26501  ulmcaulem  26557  ulmcau  26558  ulmcn  26562  ulmdvlem3  26565  tanregt0  26704  argregt0  26775  argrege0  26776  logimul  26779  resqrtcn  26914  asin1  27059  reasinsin  27061  atanbnd  27091  atan1  27093  sqrtlim  27137  basellem4  27248  chpchtlim  27643  mulog2sumlem2  27699  pntlem3  27773  vacn  31046  ubthlem1  31222  nmcexi  32378  poimirlem29  38300  heicant  38306  ftc1anclem6  38349  ftc1anclem7  38350  ftc1anc  38352  heibor1lem  38460  heiborlem8  38469  bfplem2  38474  supxrge  46054  suplesup  46055  infleinflem1  46085  infleinf  46087  addlimc  46362  fourierdlem103  46923  fourierdlem104  46924  sge0xaddlem2  47148  smflimlem4  47488