Theorem rphalfcl 13063

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13039	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 13061	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423   / cdiv 11889  2c2 12313  ℝ⁺crp 13034

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-rp 13035

This theorem is used by:  rphalfcld  13090  rpltrp  13386  cau3lem  15432  2clim  15649  addcn2  15671  mulcn2  15673  climcau  15748  metcnpi3  24740  ngptgp  24830  iccntr  25016  reconnlem2  25022  opnreen  25026  xmetdcn2  25032  cnllycmp  25152  iscfil3  25469  cfilfcls  25470  iscmet3lem3  25486  iscmet3lem1  25487  iscmet3lem2  25488  iscmet3  25489  lmcau  25509  bcthlem5  25524  ivthlem2  25648  uniioombl  25785  dvcnvre  26215  aaliou  26538  ulmcaulem  26594  ulmcau  26595  ulmcn  26599  ulmdvlem3  26602  tanregt0  26741  argregt0  26812  argrege0  26813  logimul  26816  resqrtcn  26951  asin1  27096  reasinsin  27098  atanbnd  27128  atan1  27130  sqrtlim  27174  basellem4  27285  chpchtlim  27680  mulog2sumlem2  27736  pntlem3  27810  vacn  31083  ubthlem1  31259  nmcexi  32415  poimirlem29  38340  heicant  38346  ftc1anclem6  38389  ftc1anclem7  38390  ftc1anc  38392  heibor1lem  38500  heiborlem8  38509  bfplem2  38514  supxrge  46094  suplesup  46095  infleinflem1  46125  infleinf  46127  addlimc  46402  fourierdlem103  46963  fourierdlem104  46964  sge0xaddlem2  47188  smflimlem4  47528