Theorem rphalfcl 12457

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12435	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 12455	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 690	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7150   / cdiv 11335  2c2 11729  ℝ⁺crp 12430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-2 11737  df-rp 12431

This theorem is referenced by:  rphalfcld  12484  rpltrp  12775  cau3lem  14762  2clim  14977  addcn2  14998  mulcn2  15000  climcau  15075  metcnpi3  23248  ngptgp  23338  iccntr  23522  reconnlem2  23528  opnreen  23532  xmetdcn2  23538  cnllycmp  23657  iscfil3  23973  cfilfcls  23974  iscmet3lem3  23990  iscmet3lem1  23991  iscmet3lem2  23992  iscmet3  23993  lmcau  24013  bcthlem5  24028  ivthlem2  24152  uniioombl  24289  dvcnvre  24718  aaliou  25033  ulmcaulem  25088  ulmcau  25089  ulmcn  25093  ulmdvlem3  25096  tanregt0  25230  argregt0  25300  argrege0  25301  logimul  25304  resqrtcn  25437  asin1  25579  reasinsin  25581  atanbnd  25611  atan1  25613  sqrtlim  25657  basellem4  25768  chpchtlim  26162  mulog2sumlem2  26218  pntlem3  26292  vacn  28576  ubthlem1  28752  nmcexi  29908  poimirlem29  35366  heicant  35372  ftc1anclem6  35415  ftc1anclem7  35416  ftc1anc  35418  heibor1lem  35527  heiborlem8  35536  bfplem2  35541  supxrge  42338  suplesup  42339  infleinflem1  42370  infleinf  42372  addlimc  42656  fourierdlem103  43217  fourierdlem104  43218  sge0xaddlem2  43439  smflimlem4  43773