Theorem rphalfcl 12987

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12963	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 12985	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390   / cdiv 11842  2c2 12248  ℝ⁺crp 12958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-2 12256  df-rp 12959

This theorem is referenced by:  rphalfcld  13014  rpltrp  13309  cau3lem  15328  2clim  15545  addcn2  15567  mulcn2  15569  climcau  15644  metcnpi3  24441  ngptgp  24531  iccntr  24717  reconnlem2  24723  opnreen  24727  xmetdcn2  24733  cnllycmp  24862  iscfil3  25180  cfilfcls  25181  iscmet3lem3  25197  iscmet3lem1  25198  iscmet3lem2  25199  iscmet3  25200  lmcau  25220  bcthlem5  25235  ivthlem2  25360  uniioombl  25497  dvcnvre  25931  aaliou  26253  ulmcaulem  26310  ulmcau  26311  ulmcn  26315  ulmdvlem3  26318  tanregt0  26455  argregt0  26526  argrege0  26527  logimul  26530  resqrtcn  26666  asin1  26811  reasinsin  26813  atanbnd  26843  atan1  26845  sqrtlim  26890  basellem4  27001  chpchtlim  27397  mulog2sumlem2  27453  pntlem3  27527  vacn  30630  ubthlem1  30806  nmcexi  31962  poimirlem29  37650  heicant  37656  ftc1anclem6  37699  ftc1anclem7  37700  ftc1anc  37702  heibor1lem  37810  heiborlem8  37819  bfplem2  37824  supxrge  45341  suplesup  45342  infleinflem1  45373  infleinf  45375  addlimc  45653  fourierdlem103  46214  fourierdlem104  46215  sge0xaddlem2  46439  smflimlem4  46779