Theorem rphalfcl 12956

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12932	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 12954	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369   / cdiv 11811  2c2 12217  ℝ⁺crp 12927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-2 12225  df-rp 12928

This theorem is referenced by:  rphalfcld  12983  rpltrp  13278  cau3lem  15297  2clim  15514  addcn2  15536  mulcn2  15538  climcau  15613  metcnpi3  24410  ngptgp  24500  iccntr  24686  reconnlem2  24692  opnreen  24696  xmetdcn2  24702  cnllycmp  24831  iscfil3  25149  cfilfcls  25150  iscmet3lem3  25166  iscmet3lem1  25167  iscmet3lem2  25168  iscmet3  25169  lmcau  25189  bcthlem5  25204  ivthlem2  25329  uniioombl  25466  dvcnvre  25900  aaliou  26222  ulmcaulem  26279  ulmcau  26280  ulmcn  26284  ulmdvlem3  26287  tanregt0  26424  argregt0  26495  argrege0  26496  logimul  26499  resqrtcn  26635  asin1  26780  reasinsin  26782  atanbnd  26812  atan1  26814  sqrtlim  26859  basellem4  26970  chpchtlim  27366  mulog2sumlem2  27422  pntlem3  27496  vacn  30596  ubthlem1  30772  nmcexi  31928  poimirlem29  37616  heicant  37622  ftc1anclem6  37665  ftc1anclem7  37666  ftc1anc  37668  heibor1lem  37776  heiborlem8  37785  bfplem2  37790  supxrge  45307  suplesup  45308  infleinflem1  45339  infleinf  45341  addlimc  45619  fourierdlem103  46180  fourierdlem104  46181  sge0xaddlem2  46405  smflimlem4  46745