Theorem rphalfcl 12980

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12956	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 12978	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387   / cdiv 11835  2c2 12241  ℝ⁺crp 12951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-2 12249  df-rp 12952

This theorem is referenced by:  rphalfcld  13007  rpltrp  13302  cau3lem  15321  2clim  15538  addcn2  15560  mulcn2  15562  climcau  15637  metcnpi3  24434  ngptgp  24524  iccntr  24710  reconnlem2  24716  opnreen  24720  xmetdcn2  24726  cnllycmp  24855  iscfil3  25173  cfilfcls  25174  iscmet3lem3  25190  iscmet3lem1  25191  iscmet3lem2  25192  iscmet3  25193  lmcau  25213  bcthlem5  25228  ivthlem2  25353  uniioombl  25490  dvcnvre  25924  aaliou  26246  ulmcaulem  26303  ulmcau  26304  ulmcn  26308  ulmdvlem3  26311  tanregt0  26448  argregt0  26519  argrege0  26520  logimul  26523  resqrtcn  26659  asin1  26804  reasinsin  26806  atanbnd  26836  atan1  26838  sqrtlim  26883  basellem4  26994  chpchtlim  27390  mulog2sumlem2  27446  pntlem3  27520  vacn  30623  ubthlem1  30799  nmcexi  31955  poimirlem29  37643  heicant  37649  ftc1anclem6  37692  ftc1anclem7  37693  ftc1anc  37695  heibor1lem  37803  heiborlem8  37812  bfplem2  37817  supxrge  45334  suplesup  45335  infleinflem1  45366  infleinf  45368  addlimc  45646  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  sge0xaddlem2  46432  smflimlem4  46772