Theorem rphalfcl 12946

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12922	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 12944	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368   / cdiv 11806  2c2 12212  ℝ⁺crp 12917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-2 12220  df-rp 12918

This theorem is referenced by:  rphalfcld  12973  rpltrp  13269  cau3lem  15290  2clim  15507  addcn2  15529  mulcn2  15531  climcau  15606  metcnpi3  24502  ngptgp  24592  iccntr  24778  reconnlem2  24784  opnreen  24788  xmetdcn2  24794  cnllycmp  24923  iscfil3  25241  cfilfcls  25242  iscmet3lem3  25258  iscmet3lem1  25259  iscmet3lem2  25260  iscmet3  25261  lmcau  25281  bcthlem5  25296  ivthlem2  25421  uniioombl  25558  dvcnvre  25992  aaliou  26314  ulmcaulem  26371  ulmcau  26372  ulmcn  26376  ulmdvlem3  26379  tanregt0  26516  argregt0  26587  argrege0  26588  logimul  26591  resqrtcn  26727  asin1  26872  reasinsin  26874  atanbnd  26904  atan1  26906  sqrtlim  26951  basellem4  27062  chpchtlim  27458  mulog2sumlem2  27514  pntlem3  27588  vacn  30782  ubthlem1  30958  nmcexi  32114  poimirlem29  37900  heicant  37906  ftc1anclem6  37949  ftc1anclem7  37950  ftc1anc  37952  heibor1lem  38060  heiborlem8  38069  bfplem2  38074  supxrge  45697  suplesup  45698  infleinflem1  45728  infleinf  45730  addlimc  46006  fourierdlem103  46567  fourierdlem104  46568  sge0xaddlem2  46792  smflimlem4  47132