Theorem rphalfcl 12997

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12975	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 12995	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 688	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7401   / cdiv 11867  2c2 12263  ℝ⁺crp 12970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-rp 12971

This theorem is referenced by:  rphalfcld  13024  rpltrp  13316  cau3lem  15297  2clim  15512  addcn2  15534  mulcn2  15536  climcau  15613  metcnpi3  24365  ngptgp  24455  iccntr  24647  reconnlem2  24653  opnreen  24657  xmetdcn2  24663  cnllycmp  24792  iscfil3  25111  cfilfcls  25112  iscmet3lem3  25128  iscmet3lem1  25129  iscmet3lem2  25130  iscmet3  25131  lmcau  25151  bcthlem5  25166  ivthlem2  25291  uniioombl  25428  dvcnvre  25862  aaliou  26180  ulmcaulem  26235  ulmcau  26236  ulmcn  26240  ulmdvlem3  26243  tanregt0  26378  argregt0  26448  argrege0  26449  logimul  26452  resqrtcn  26588  asin1  26730  reasinsin  26732  atanbnd  26762  atan1  26764  sqrtlim  26809  basellem4  26920  chpchtlim  27316  mulog2sumlem2  27372  pntlem3  27446  vacn  30371  ubthlem1  30547  nmcexi  31703  poimirlem29  36973  heicant  36979  ftc1anclem6  37022  ftc1anclem7  37023  ftc1anc  37025  heibor1lem  37133  heiborlem8  37142  bfplem2  37147  supxrge  44499  suplesup  44500  infleinflem1  44531  infleinf  44533  addlimc  44815  fourierdlem103  45376  fourierdlem104  45377  sge0xaddlem2  45601  smflimlem4  45941