Theorem rphalfcl 13072

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13048	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 13070	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7414   / cdiv 11896  2c2 12320  ℝ⁺crp 13043

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-rp 13044

This theorem is used by:  rphalfcld  13099  rpltrp  13395  cau3lem  15443  2clim  15660  addcn2  15682  mulcn2  15684  climcau  15759  metcnpi3  24773  ngptgp  24863  iccntr  25049  reconnlem2  25055  opnreen  25059  xmetdcn2  25065  cnllycmp  25185  iscfil3  25502  cfilfcls  25503  iscmet3lem3  25519  iscmet3lem1  25520  iscmet3lem2  25521  iscmet3  25522  lmcau  25542  bcthlem5  25557  ivthlem2  25681  uniioombl  25818  dvcnvre  26247  aaliou  26575  ulmcaulem  26631  ulmcau  26632  ulmcn  26636  ulmdvlem3  26639  tanregt0  26777  argregt0  26848  argrege0  26849  logimul  26852  resqrtcn  26987  asin1  27132  reasinsin  27134  atanbnd  27164  atan1  27166  sqrtlim  27210  basellem4  27321  chpchtlim  27716  mulog2sumlem2  27772  pntlem3  27846  vacn  31176  ubthlem1  31352  nmcexi  32508  poimirlem29  38399  heicant  38405  ftc1anclem6  38448  ftc1anclem7  38449  ftc1anc  38451  heibor1lem  38560  heiborlem8  38569  bfplem2  38574  supxrge  46169  suplesup  46170  infleinflem1  46200  infleinf  46202  addlimc  46477  fourierdlem103  47038  fourierdlem104  47039  sge0xaddlem2  47263  smflimlem4  47603