Theorem rphalfcl 13062

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13039	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 13060	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431   / cdiv 11920  2c2 12321  ℝ⁺crp 13034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-rp 13035

This theorem is referenced by:  rphalfcld  13089  rpltrp  13383  cau3lem  15393  2clim  15608  addcn2  15630  mulcn2  15632  climcau  15707  metcnpi3  24559  ngptgp  24649  iccntr  24843  reconnlem2  24849  opnreen  24853  xmetdcn2  24859  cnllycmp  24988  iscfil3  25307  cfilfcls  25308  iscmet3lem3  25324  iscmet3lem1  25325  iscmet3lem2  25326  iscmet3  25327  lmcau  25347  bcthlem5  25362  ivthlem2  25487  uniioombl  25624  dvcnvre  26058  aaliou  26380  ulmcaulem  26437  ulmcau  26438  ulmcn  26442  ulmdvlem3  26445  tanregt0  26581  argregt0  26652  argrege0  26653  logimul  26656  resqrtcn  26792  asin1  26937  reasinsin  26939  atanbnd  26969  atan1  26971  sqrtlim  27016  basellem4  27127  chpchtlim  27523  mulog2sumlem2  27579  pntlem3  27653  vacn  30713  ubthlem1  30889  nmcexi  32045  poimirlem29  37656  heicant  37662  ftc1anclem6  37705  ftc1anclem7  37706  ftc1anc  37708  heibor1lem  37816  heiborlem8  37825  bfplem2  37830  supxrge  45349  suplesup  45350  infleinflem1  45381  infleinf  45383  addlimc  45663  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  sge0xaddlem2  46449  smflimlem4  46789