Theorem rphalfcl 13060

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13037	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 13058	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431   / cdiv 11918  2c2 12319  ℝ⁺crp 13032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-rp 13033

This theorem is referenced by:  rphalfcld  13087  rpltrp  13380  cau3lem  15390  2clim  15605  addcn2  15627  mulcn2  15629  climcau  15704  metcnpi3  24575  ngptgp  24665  iccntr  24857  reconnlem2  24863  opnreen  24867  xmetdcn2  24873  cnllycmp  25002  iscfil3  25321  cfilfcls  25322  iscmet3lem3  25338  iscmet3lem1  25339  iscmet3lem2  25340  iscmet3  25341  lmcau  25361  bcthlem5  25376  ivthlem2  25501  uniioombl  25638  dvcnvre  26073  aaliou  26395  ulmcaulem  26452  ulmcau  26453  ulmcn  26457  ulmdvlem3  26460  tanregt0  26596  argregt0  26667  argrege0  26668  logimul  26671  resqrtcn  26807  asin1  26952  reasinsin  26954  atanbnd  26984  atan1  26986  sqrtlim  27031  basellem4  27142  chpchtlim  27538  mulog2sumlem2  27594  pntlem3  27668  vacn  30723  ubthlem1  30899  nmcexi  32055  poimirlem29  37636  heicant  37642  ftc1anclem6  37685  ftc1anclem7  37686  ftc1anc  37688  heibor1lem  37796  heiborlem8  37805  bfplem2  37810  supxrge  45288  suplesup  45289  infleinflem1  45320  infleinf  45322  addlimc  45604  fourierdlem103  46165  fourierdlem104  46166  sge0xaddlem2  46390  smflimlem4  46730