Theorem rphalfcl 12983

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12961	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 12981	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 689	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7393   / cdiv 11853  2c2 12249  ℝ⁺crp 12956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-2 12257  df-rp 12957

This theorem is referenced by:  rphalfcld  13010  rpltrp  13302  cau3lem  15283  2clim  15498  addcn2  15520  mulcn2  15522  climcau  15599  metcnpi3  23984  ngptgp  24074  iccntr  24266  reconnlem2  24272  opnreen  24276  xmetdcn2  24282  cnllycmp  24401  iscfil3  24719  cfilfcls  24720  iscmet3lem3  24736  iscmet3lem1  24737  iscmet3lem2  24738  iscmet3  24739  lmcau  24759  bcthlem5  24774  ivthlem2  24898  uniioombl  25035  dvcnvre  25465  aaliou  25780  ulmcaulem  25835  ulmcau  25836  ulmcn  25840  ulmdvlem3  25843  tanregt0  25977  argregt0  26047  argrege0  26048  logimul  26051  resqrtcn  26184  asin1  26326  reasinsin  26328  atanbnd  26358  atan1  26360  sqrtlim  26404  basellem4  26515  chpchtlim  26909  mulog2sumlem2  26965  pntlem3  27039  vacn  29810  ubthlem1  29986  nmcexi  31142  poimirlem29  36319  heicant  36325  ftc1anclem6  36368  ftc1anclem7  36369  ftc1anc  36371  heibor1lem  36480  heiborlem8  36489  bfplem2  36494  supxrge  43819  suplesup  43820  infleinflem1  43851  infleinf  43853  addlimc  44135  fourierdlem103  44696  fourierdlem104  44697  sge0xaddlem2  44921  smflimlem4  45261