Theorem rphalfcl 13044

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13020	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 13042	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 703	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411   / cdiv 11870  2c2 12294  ℝ⁺crp 13015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-rp 13016

This theorem is referenced by:  rphalfcld  13071  rpltrp  13367  cau3lem  15405  2clim  15622  addcn2  15644  mulcn2  15646  climcau  15721  metcnpi3  24671  ngptgp  24761  iccntr  24947  reconnlem2  24953  opnreen  24957  xmetdcn2  24963  cnllycmp  25083  iscfil3  25400  cfilfcls  25401  iscmet3lem3  25417  iscmet3lem1  25418  iscmet3lem2  25419  iscmet3  25420  lmcau  25440  bcthlem5  25455  ivthlem2  25579  uniioombl  25716  dvcnvre  26146  aaliou  26467  ulmcaulem  26522  ulmcau  26523  ulmcn  26527  ulmdvlem3  26530  tanregt0  26669  argregt0  26740  argrege0  26741  logimul  26744  resqrtcn  26879  asin1  27024  reasinsin  27026  atanbnd  27056  atan1  27058  sqrtlim  27102  basellem4  27213  chpchtlim  27608  mulog2sumlem2  27664  pntlem3  27738  vacn  30986  ubthlem1  31162  nmcexi  32318  poimirlem29  38187  heicant  38193  ftc1anclem6  38236  ftc1anclem7  38237  ftc1anc  38239  heibor1lem  38347  heiborlem8  38356  bfplem2  38361  supxrge  45945  suplesup  45946  infleinflem1  45976  infleinf  45978  addlimc  46253  fourierdlem103  46814  fourierdlem104  46815  sge0xaddlem2  47039  smflimlem4  47379