Theorem sgnrrp 15057

Description: The signum of a positive real is 1. (Contributed by David A. Wheeler, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgnrrp	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (sgn‘𝐴) = 1)

Proof of Theorem sgnrrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 12961	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rpgt0 12964	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		sgnp 15056	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (sgn‘𝐴) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  0cc0 11068  1c1 11069  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208  ℝ⁺crp 12951  sgncsgn 15052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-i2m1 11136  ax-rnegex 11139  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-neg 11408  df-rp 12952  df-sgn 15053

This theorem is referenced by: (None)