Theorem rpxr 12961

Description: A positive real is an extended real. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rpxr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem rpxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12960	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11224	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ℝ^*cxr 11207  ℝ⁺crp 12951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1543  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-rab 3406  df-v 3449  df-un 3919  df-ss 3931  df-xr 11212  df-rp 12952

This theorem is referenced by:  xlemul1  13250  xlemul2  13251  xltmul1  13252  xltmul2  13253  modelico  13843  muladdmodid  13875  sgnrrp  15057  blcntrps  24300  blcntr  24301  blssexps  24314  blssex  24315  blin2  24317  neibl  24389  blnei  24390  metss  24396  metss2lem  24399  stdbdmet  24404  stdbdmopn  24406  metrest  24412  prdsxmslem2  24417  metcnp3  24428  metcnp  24429  metcnpi3  24434  txmetcnp  24435  metustid  24442  cfilucfil  24447  blval2  24450  elbl4  24451  metucn  24459  nmoix  24617  xrsmopn  24701  reperflem  24707  reconnlem2  24716  metdseq0  24743  cnllycmp  24855  lebnum  24863  xlebnum  24864  lebnumii  24865  nmhmcn  25020  lmmbr  25158  lmmbr2  25159  lmnn  25163  cfilfcls  25174  iscau2  25177  iscmet3lem2  25192  equivcfil  25199  flimcfil  25214  cmpcmet  25219  bcthlem5  25228  ellimc3  25780  pige3ALT  26429  efopnlem1  26565  efopnlem2  26566  efopn  26567  xrlimcnp  26878  efrlim  26879  efrlimOLD  26880  lgamcvg2  26965  pntlemi  27515  pntlemp  27521  ubthlem1  30799  xdivpnfrp  32853  pnfinf  33137  signsply0  34542  cnllysconn  35232  poimirlem29  37643  heicant  37649  itg2gt0cn  37669  ftc1anc  37695  areacirclem1  37702  areacirc  37707  blssp  37750  sstotbnd2  37768  isbndx  37776  isbnd2  37777  isbnd3  37778  ssbnd  37782  prdstotbnd  37788  prdsbnd2  37789  cntotbnd  37790  ismtybndlem  37800  heibor1  37804  infleinflem1  45366  limcrecl  45627  islpcn  45637  etransclem18  46250  etransclem46  46278  ioorrnopnlem  46302  sge0iunmptlemre  46413  itscnhlinecirc02p  48774