Theorem slelttr 33939

Description: Surreal transitive law. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
slelttr	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))

Proof of Theorem slelttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slenlt 33934	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
2	1	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
3	2	anbi1d 629	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) ↔ (¬ 𝐵 <s 𝐴 ∧ 𝐵 <s 𝐶)))
4		sltso 33858	. . 3 ⊢ <s Or No
5		sotr2 5534	. . 3 ⊢ (( <s Or No ∧ (𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No )) → ((¬ 𝐵 <s 𝐴 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
6	4, 5	mpan 686	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((¬ 𝐵 <s 𝐴 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
7	3, 6	sylbid 239	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078   Or wor 5501   No csur 33822   <s cslt 33823   ≤s csle 33926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-ord 6266  df-on 6267  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-fv 6438  df-1o 8281  df-2o 8282  df-no 33825  df-slt 33826  df-sle 33927

This theorem is referenced by:  slelttrd  33943