Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  slelttr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slelttr 33349
Description: Surreal transitive law. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
slelttr ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))

Proof of Theorem slelttr
StepHypRef Expression
1 slenlt 33344 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
213adant3 1129 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
32anbi1d 632 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵𝐵 <s 𝐶) ↔ (¬ 𝐵 <s 𝐴𝐵 <s 𝐶)))
4 sltso 33294 . . 3 <s Or No
5 sotr2 5469 . . 3 (( <s Or No ∧ (𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No )) → ((¬ 𝐵 <s 𝐴𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
64, 5mpan 689 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((¬ 𝐵 <s 𝐴𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
73, 6sylbid 243 1 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084  wcel 2111   class class class wbr 5030   Or wor 5437   No csur 33260   <s cslt 33261   ≤s csle 33336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-1o 8085  df-2o 8086  df-no 33263  df-slt 33264  df-sle 33337
This theorem is referenced by:  slelttrd  33353
  Copyright terms: Public domain W3C validator