Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  slelttrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slelttrd 33964
Description: Surreal less than is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
slttrd.1 (𝜑𝐴 No )
slttrd.2 (𝜑𝐵 No )
slttrd.3 (𝜑𝐶 No )
slelttrd.4 (𝜑𝐴 ≤s 𝐵)
slelttrd.5 (𝜑𝐵 <s 𝐶)
Assertion
Ref Expression
slelttrd (𝜑𝐴 <s 𝐶)

Proof of Theorem slelttrd
StepHypRef Expression
1 slelttrd.4 . 2 (𝜑𝐴 ≤s 𝐵)
2 slelttrd.5 . 2 (𝜑𝐵 <s 𝐶)
3 slttrd.1 . . 3 (𝜑𝐴 No )
4 slttrd.2 . . 3 (𝜑𝐵 No )
5 slttrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 No )
6 slelttr 33960 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
73, 4, 5, 6syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ≤s 𝐵𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
81, 2, 7mp2and 696 1 (𝜑𝐴 <s 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106   class class class wbr 5074   No csur 33843   <s cslt 33844   ≤s csle 33947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-1o 8297  df-2o 8298  df-no 33846  df-slt 33847  df-sle 33948
This theorem is referenced by:  slerec  34013  sltlpss  34087  cofsslt  34088
  Copyright terms: Public domain W3C validator