Theorem slelttrd 27679

Description: Surreal less-than is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
slttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
slttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
slttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
slelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)
slelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 <s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
slelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐶)

Proof of Theorem slelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)
2		slelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 <s 𝐶)
3		slttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		slttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5		slttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
6		slelttr 27675	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109   No csur 27557   <s cslt 27558   ≤s csle 27662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-ord 6337  df-on 6338  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-fv 6521  df-1o 8436  df-2o 8437  df-no 27560  df-slt 27561  df-sle 27663

This theorem is referenced by:  slerec  27737  sltlpss  27825  cofsslt  27832  sleadd1  27902  sltmul12ad  28092  absslt  28157  n0sfincut  28252  uzsind  28299