Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sletr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sletr 33297
Description: Surreal transitive law. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
sletr ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵𝐵 ≤s 𝐶) → 𝐴 ≤s 𝐶))

Proof of Theorem sletr
StepHypRef Expression
1 sltletr 33295 . . . . . . 7 ((𝐶 No 𝐴 No 𝐵 No ) → ((𝐶 <s 𝐴𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐶 <s 𝐵))
213coml 1124 . . . . . 6 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐶 <s 𝐴𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐶 <s 𝐵))
32expcomd 420 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 → (𝐶 <s 𝐴𝐶 <s 𝐵)))
43imp 410 . . . 4 (((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → (𝐶 <s 𝐴𝐶 <s 𝐵))
54con3d 155 . . 3 (((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → (¬ 𝐶 <s 𝐵 → ¬ 𝐶 <s 𝐴))
65expimpd 457 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 <s 𝐵) → ¬ 𝐶 <s 𝐴))
7 slenlt 33291 . . . 4 ((𝐵 No 𝐶 No ) → (𝐵 ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s 𝐵))
873adant1 1127 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → (𝐵 ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s 𝐵))
98anbi2d 631 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵𝐵 ≤s 𝐶) ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 <s 𝐵)))
10 slenlt 33291 . . 3 ((𝐴 No 𝐶 No ) → (𝐴 ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s 𝐴))
11103adant2 1128 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → (𝐴 ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s 𝐴))
126, 9, 113imtr4d 297 1 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵𝐵 ≤s 𝐶) → 𝐴 ≤s 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084  wcel 2115   class class class wbr 5053   No csur 33207   <s cslt 33208   ≤s csle 33283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-ord 6182  df-on 6183  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-fv 6352  df-1o 8099  df-2o 8100  df-no 33210  df-slt 33211  df-sle 33284
This theorem is referenced by:  sletrd  33301
  Copyright terms: Public domain W3C validator