Theorem sletr 27646

Description: Surreal transitive law. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sletr	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐶) → 𝐴 ≤s 𝐶))

Proof of Theorem sletr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltletr 27644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐶 <s 𝐴 ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐶 <s 𝐵))
2	1	3coml 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐶 <s 𝐴 ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐶 <s 𝐵))
3	2	expcomd 416	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 → (𝐶 <s 𝐴 → 𝐶 <s 𝐵)))
4	3	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → (𝐶 <s 𝐴 → 𝐶 <s 𝐵))
5	4	con3d 152	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → (¬ 𝐶 <s 𝐵 → ¬ 𝐶 <s 𝐴))
6	5	expimpd 453	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 <s 𝐵) → ¬ 𝐶 <s 𝐴))
7		slenlt 27640	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐵 ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s 𝐵))
8	7	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐵 ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s 𝐵))
9	8	anbi2d 630	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐶) ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 <s 𝐵)))
10		slenlt 27640	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s 𝐴))
11	10	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s 𝐴))
12	6, 9, 11	3imtr4d 294	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐶) → 𝐴 ≤s 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102   No csur 27527   <s cslt 27528   ≤s csle 27632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-1o 8411  df-2o 8412  df-no 27530  df-slt 27531  df-sle 27633

This theorem is referenced by:  sletrd  27650