Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smffmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smffmpt 46075
Description: A function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is actually a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smffmpt.x β„²π‘₯πœ‘
smffmpt.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smffmpt.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
smffmpt.m (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Assertion
Ref Expression
smffmpt (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem smffmpt
StepHypRef Expression
1 smffmpt.x . 2 β„²π‘₯πœ‘
2 nfcv 2897 . 2 β„²π‘₯𝐴
3 smffmpt.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
4 smffmpt.b . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
5 smffmpt.m . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
61, 2, 3, 4, 5smffmptf 46074 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  β„cr 11108  SAlgcsalg 45578  SMblFncsmblfn 45965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-smblfn 45966
This theorem is referenced by:  smfinfmpt  46089
  Copyright terms: Public domain W3C validator