Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smffmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smffmpt 41744
 Description: A function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is actually a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smffmpt.x 𝑥𝜑
smffmpt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smffmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
smffmpt.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
smffmpt (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smffmpt
StepHypRef Expression
1 smffmpt.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
2 smffmpt.m . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
3 eqid 2797 . . 3 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
41, 2, 3smff 41674 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℝ)
5 smffmpt.x . . . . 5 𝑥𝜑
6 eqid 2797 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
7 smffmpt.b . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
85, 6, 7dmmptdf 40156 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
98eqcomd 2803 . . 3 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
109feq2d 6240 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ ↔ (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℝ))
114, 10mpbird 249 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385  Ⅎwnf 1879   ∈ wcel 2157   ↦ cmpt 4920  dom cdm 5310  ⟶wf 6095  ‘cfv 6099  ℝcr 10221  SAlgcsalg 41258  SMblFncsmblfn 41642 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-po 5231  df-so 5232  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-er 7980  df-pm 8096  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-ioo 12424  df-ico 12426  df-smblfn 41643 This theorem is referenced by:  smfsupmpt  41754  smfinfmpt  41758
 Copyright terms: Public domain W3C validator