Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflim2 45820
Description: The limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . Notice that every function in the sequence can have a different (partial) domain, and the domain of convergence can be decidedly irregular (Remark 121G of [Fremlin1] p. 39 ). TODO: this has fewer distinct variable conditions than smflim 45791 and should replace it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflim2.n 𝑚𝐹
smflim2.x 𝑥𝐹
smflim2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smflim2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflim2.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflim2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflim2.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
smflim2.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
Assertion
Ref Expression
smflim2 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem smflim2
Dummy variables 𝑦 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2901 . 2 𝑗𝐹
2 nfcv 2901 . 2 𝑦𝐹
3 smflim2.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 smflim2.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 smflim2.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
6 smflim2.f . 2 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
7 smflim2.d . . 3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
8 nfcv 2901 . . . . 5 𝑥𝑍
9 nfcv 2901 . . . . . 6 𝑥(ℤ𝑛)
10 smflim2.x . . . . . . . 8 𝑥𝐹
11 nfcv 2901 . . . . . . . 8 𝑥𝑚
1210, 11nffv 6900 . . . . . . 7 𝑥(𝐹𝑚)
1312nfdm 5949 . . . . . 6 𝑥dom (𝐹𝑚)
149, 13nfiin 5027 . . . . 5 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
158, 14nfiun 5026 . . . 4 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
16 nfcv 2901 . . . 4 𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
17 nfv 1915 . . . 4 𝑦(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
18 nfcv 2901 . . . . . . 7 𝑗((𝐹𝑚)‘𝑦)
19 smflim2.n . . . . . . . . 9 𝑚𝐹
20 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 𝑚𝑗
2119, 20nffv 6900 . . . . . . . 8 𝑚(𝐹𝑗)
22 nfcv 2901 . . . . . . . 8 𝑚𝑦
2321, 22nffv 6900 . . . . . . 7 𝑚((𝐹𝑗)‘𝑦)
24 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑗 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑗))
2524fveq1d 6892 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑗 → ((𝐹𝑚)‘𝑦) = ((𝐹𝑗)‘𝑦))
2618, 23, 25cbvmpt 5258 . . . . . 6 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = (𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦))
27 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 𝑥𝑗
2810, 27nffv 6900 . . . . . . . 8 𝑥(𝐹𝑗)
29 nfcv 2901 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
3028, 29nffv 6900 . . . . . . 7 𝑥((𝐹𝑗)‘𝑦)
318, 30nfmpt 5254 . . . . . 6 𝑥(𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦))
3226, 31nfcxfr 2899 . . . . 5 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦))
33 nfcv 2901 . . . . 5 𝑥dom ⇝
3432, 33nfel 2915 . . . 4 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝
35 fveq2 6890 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑦))
3635mpteq2dv 5249 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)))
3736eleq1d 2816 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
3815, 16, 17, 34, 37cbvrabw 3465 . . 3 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
39 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (ℤ𝑛) = (ℤ𝑘))
4039iineq1d 44080 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚))
41 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 𝑗dom (𝐹𝑚)
4221nfdm 5949 . . . . . . . . . 10 𝑚dom (𝐹𝑗)
4324dmeqd 5904 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑗 → dom (𝐹𝑚) = dom (𝐹𝑗))
4441, 42, 43cbviin 5039 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚) = 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗)
4544a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚) = 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗))
4640, 45eqtrd 2770 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗))
4746cbviunv 5042 . . . . . 6 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑘𝑍 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗)
4847eleq2i 2823 . . . . 5 (𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ 𝑦 𝑘𝑍 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗))
4926eleq1i 2822 . . . . 5 ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ )
5048, 49anbi12i 625 . . . 4 ((𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ) ↔ (𝑦 𝑘𝑍 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗) ∧ (𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
5150rabbia2 3433 . . 3 {𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 𝑘𝑍 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗) ∣ (𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
527, 38, 513eqtri 2762 . 2 𝐷 = {𝑦 𝑘𝑍 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗) ∣ (𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
53 smflim2.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
54 nfrab1 3449 . . . . 5 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
557, 54nfcxfr 2899 . . . 4 𝑥𝐷
56 nfcv 2901 . . . 4 𝑦𝐷
57 nfcv 2901 . . . 4 𝑦( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
58 nfcv 2901 . . . . 5 𝑥
5958, 31nffv 6900 . . . 4 𝑥( ⇝ ‘(𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦)))
6026a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = (𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦)))
6136, 60eqtrd 2770 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦)))
6261fveq2d 6894 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦))))
6355, 56, 57, 59, 62cbvmptf 5256 . . 3 (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))) = (𝑦𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦))))
6453, 63eqtri 2758 . 2 𝐺 = (𝑦𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦))))
651, 2, 3, 4, 5, 6, 52, 64smflim 45791 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2104  wnfc 2881  {crab 3430   ciun 4996   ciin 4997  cmpt 5230  dom cdm 5675  wf 6538  cfv 6542  cz 12562  cuz 12826  cli 15432  SAlgcsalg 45322  SMblFncsmblfn 45709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-rest 17372  df-salg 45323  df-smblfn 45710
This theorem is referenced by:  smflimmpt  45824
  Copyright terms: Public domain W3C validator