Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflim2 45508
Description: The limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . Notice that every function in the sequence can have a different (partial) domain, and the domain of convergence can be decidedly irregular (Remark 121G of [Fremlin1] p. 39 ). TODO: this has fewer distinct variable conditions than smflim 45479 and should replace it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflim2.n 𝑚𝐹
smflim2.x 𝑥𝐹
smflim2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smflim2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflim2.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflim2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflim2.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
smflim2.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
Assertion
Ref Expression
smflim2 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem smflim2
Dummy variables 𝑦 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2903 . 2 𝑗𝐹
2 nfcv 2903 . 2 𝑦𝐹
3 smflim2.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 smflim2.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 smflim2.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
6 smflim2.f . 2 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
7 smflim2.d . . 3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
8 nfcv 2903 . . . . 5 𝑥𝑍
9 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑥(ℤ𝑛)
10 smflim2.x . . . . . . . 8 𝑥𝐹
11 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑥𝑚
1210, 11nffv 6898 . . . . . . 7 𝑥(𝐹𝑚)
1312nfdm 5948 . . . . . 6 𝑥dom (𝐹𝑚)
149, 13nfiin 5027 . . . . 5 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
158, 14nfiun 5026 . . . 4 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
16 nfcv 2903 . . . 4 𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
17 nfv 1917 . . . 4 𝑦(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
18 nfcv 2903 . . . . . . 7 𝑗((𝐹𝑚)‘𝑦)
19 smflim2.n . . . . . . . . 9 𝑚𝐹
20 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑚𝑗
2119, 20nffv 6898 . . . . . . . 8 𝑚(𝐹𝑗)
22 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑚𝑦
2321, 22nffv 6898 . . . . . . 7 𝑚((𝐹𝑗)‘𝑦)
24 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑗 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑗))
2524fveq1d 6890 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑗 → ((𝐹𝑚)‘𝑦) = ((𝐹𝑗)‘𝑦))
2618, 23, 25cbvmpt 5258 . . . . . 6 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = (𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦))
27 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑥𝑗
2810, 27nffv 6898 . . . . . . . 8 𝑥(𝐹𝑗)
29 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
3028, 29nffv 6898 . . . . . . 7 𝑥((𝐹𝑗)‘𝑦)
318, 30nfmpt 5254 . . . . . 6 𝑥(𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦))
3226, 31nfcxfr 2901 . . . . 5 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦))
33 nfcv 2903 . . . . 5 𝑥dom ⇝
3432, 33nfel 2917 . . . 4 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝
35 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑦))
3635mpteq2dv 5249 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)))
3736eleq1d 2818 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
3815, 16, 17, 34, 37cbvrabw 3467 . . 3 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
39 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (ℤ𝑛) = (ℤ𝑘))
4039iineq1d 43764 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚))
41 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 𝑗dom (𝐹𝑚)
4221nfdm 5948 . . . . . . . . . 10 𝑚dom (𝐹𝑗)
4324dmeqd 5903 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑗 → dom (𝐹𝑚) = dom (𝐹𝑗))
4441, 42, 43cbviin 5039 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚) = 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗)
4544a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚) = 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗))
4640, 45eqtrd 2772 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗))
4746cbviunv 5042 . . . . . 6 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑘𝑍 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗)
4847eleq2i 2825 . . . . 5 (𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ 𝑦 𝑘𝑍 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗))
4926eleq1i 2824 . . . . 5 ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ )
5048, 49anbi12i 627 . . . 4 ((𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ) ↔ (𝑦 𝑘𝑍 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗) ∧ (𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
5150rabbia2 3435 . . 3 {𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 𝑘𝑍 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗) ∣ (𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
527, 38, 513eqtri 2764 . 2 𝐷 = {𝑦 𝑘𝑍 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗) ∣ (𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
53 smflim2.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
54 nfrab1 3451 . . . . 5 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
557, 54nfcxfr 2901 . . . 4 𝑥𝐷
56 nfcv 2903 . . . 4 𝑦𝐷
57 nfcv 2903 . . . 4 𝑦( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
58 nfcv 2903 . . . . 5 𝑥
5958, 31nffv 6898 . . . 4 𝑥( ⇝ ‘(𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦)))
6026a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = (𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦)))
6136, 60eqtrd 2772 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦)))
6261fveq2d 6892 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦))))
6355, 56, 57, 59, 62cbvmptf 5256 . . 3 (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))) = (𝑦𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦))))
6453, 63eqtri 2760 . 2 𝐺 = (𝑦𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦))))
651, 2, 3, 4, 5, 6, 52, 64smflim 45479 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wnfc 2883  {crab 3432   ciun 4996   ciin 4997  cmpt 5230  dom cdm 5675  wf 6536  cfv 6540  cz 12554  cuz 12818  cli 15424  SAlgcsalg 45010  SMblFncsmblfn 45397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-rest 17364  df-salg 45011  df-smblfn 45398
This theorem is referenced by:  smflimmpt  45512
  Copyright terms: Public domain W3C validator