Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflim2 45133
Description: The limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . Notice that every function in the sequence can have a different (partial) domain, and the domain of convergence can be decidedly irregular (Remark 121G of [Fremlin1] p. 39 ). TODO: this has fewer distinct variable conditions than smflim 45104 and should replace it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflim2.n 𝑚𝐹
smflim2.x 𝑥𝐹
smflim2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smflim2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflim2.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflim2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflim2.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
smflim2.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
Assertion
Ref Expression
smflim2 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem smflim2
Dummy variables 𝑦 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2904 . 2 𝑗𝐹
2 nfcv 2904 . 2 𝑦𝐹
3 smflim2.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 smflim2.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 smflim2.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
6 smflim2.f . 2 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
7 smflim2.d . . 3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
8 nfcv 2904 . . . . 5 𝑥𝑍
9 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑥(ℤ𝑛)
10 smflim2.x . . . . . . . 8 𝑥𝐹
11 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑥𝑚
1210, 11nffv 6853 . . . . . . 7 𝑥(𝐹𝑚)
1312nfdm 5907 . . . . . 6 𝑥dom (𝐹𝑚)
149, 13nfiin 4986 . . . . 5 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
158, 14nfiun 4985 . . . 4 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
16 nfcv 2904 . . . 4 𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
17 nfv 1918 . . . 4 𝑦(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
18 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑗((𝐹𝑚)‘𝑦)
19 smflim2.n . . . . . . . . 9 𝑚𝐹
20 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑚𝑗
2119, 20nffv 6853 . . . . . . . 8 𝑚(𝐹𝑗)
22 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑚𝑦
2321, 22nffv 6853 . . . . . . 7 𝑚((𝐹𝑗)‘𝑦)
24 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑗 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑗))
2524fveq1d 6845 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑗 → ((𝐹𝑚)‘𝑦) = ((𝐹𝑗)‘𝑦))
2618, 23, 25cbvmpt 5217 . . . . . 6 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = (𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦))
27 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑥𝑗
2810, 27nffv 6853 . . . . . . . 8 𝑥(𝐹𝑗)
29 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
3028, 29nffv 6853 . . . . . . 7 𝑥((𝐹𝑗)‘𝑦)
318, 30nfmpt 5213 . . . . . 6 𝑥(𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦))
3226, 31nfcxfr 2902 . . . . 5 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦))
33 nfcv 2904 . . . . 5 𝑥dom ⇝
3432, 33nfel 2918 . . . 4 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝
35 fveq2 6843 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑦))
3635mpteq2dv 5208 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)))
3736eleq1d 2819 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
3815, 16, 17, 34, 37cbvrabw 3438 . . 3 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
39 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (ℤ𝑛) = (ℤ𝑘))
4039iineq1d 43388 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚))
41 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑗dom (𝐹𝑚)
4221nfdm 5907 . . . . . . . . . 10 𝑚dom (𝐹𝑗)
4324dmeqd 5862 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑗 → dom (𝐹𝑚) = dom (𝐹𝑗))
4441, 42, 43cbviin 4998 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚) = 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗)
4544a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚) = 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗))
4640, 45eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗))
4746cbviunv 5001 . . . . . 6 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑘𝑍 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗)
4847eleq2i 2826 . . . . 5 (𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ 𝑦 𝑘𝑍 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗))
4926eleq1i 2825 . . . . 5 ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ )
5048, 49anbi12i 628 . . . 4 ((𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ) ↔ (𝑦 𝑘𝑍 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗) ∧ (𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
5150rabbia2 3409 . . 3 {𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 𝑘𝑍 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗) ∣ (𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
527, 38, 513eqtri 2765 . 2 𝐷 = {𝑦 𝑘𝑍 𝑗 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑗) ∣ (𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
53 smflim2.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
54 nfrab1 3425 . . . . 5 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
557, 54nfcxfr 2902 . . . 4 𝑥𝐷
56 nfcv 2904 . . . 4 𝑦𝐷
57 nfcv 2904 . . . 4 𝑦( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
58 nfcv 2904 . . . . 5 𝑥
5958, 31nffv 6853 . . . 4 𝑥( ⇝ ‘(𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦)))
6026a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = (𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦)))
6136, 60eqtrd 2773 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦)))
6261fveq2d 6847 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = ( ⇝ ‘(𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦))))
6355, 56, 57, 59, 62cbvmptf 5215 . . 3 (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))) = (𝑦𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦))))
6453, 63eqtri 2761 . 2 𝐺 = (𝑦𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑗𝑍 ↦ ((𝐹𝑗)‘𝑦))))
651, 2, 3, 4, 5, 6, 52, 64smflim 45104 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wnfc 2884  {crab 3406   ciun 4955   ciin 4956  cmpt 5189  dom cdm 5634  wf 6493  cfv 6497  cz 12504  cuz 12768  cli 15372  SAlgcsalg 44635  SMblFncsmblfn 45022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-ac2 10404  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-acn 9883  df-ac 10057  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-rest 17309  df-salg 44636  df-smblfn 45023
This theorem is referenced by:  smflimmpt  45137
  Copyright terms: Public domain W3C validator