Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfinfmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfinfmpt 45535
Description: The infimum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (c) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfinfmpt.n β„²π‘›πœ‘
smfinfmpt.x β„²π‘₯πœ‘
smfinfmpt.y β„²π‘¦πœ‘
smfinfmpt.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
smfinfmpt.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
smfinfmpt.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfinfmpt.b ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
smfinfmpt.f ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
smfinfmpt.d 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡}
smfinfmpt.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
smfinfmpt (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   𝑦,𝐡   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfinfmpt
StepHypRef Expression
1 smfinfmpt.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ))
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < )))
3 smfinfmpt.x . . . . 5 β„²π‘₯πœ‘
4 smfinfmpt.d . . . . . . 7 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡}
54a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡})
6 smfinfmpt.n . . . . . . . . 9 β„²π‘›πœ‘
7 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)))
8 smfinfmpt.f . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
97, 8fvmpt2d 7012 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
109dmeqd 5906 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) = dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
11 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯𝑛
12 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯𝑍
1311, 12nfel 2918 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯ 𝑛 ∈ 𝑍
143, 13nfan 1903 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
15 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
16 smfinfmpt.s . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
1716adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
18 smfinfmpt.b . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
19183expa 1119 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
2014, 17, 19, 8smffmpt 45521 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
2120fvmptelcdm 7113 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2214, 15, 21dmmptdf 43923 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = 𝐴)
23 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 = 𝐴)
2410, 22, 233eqtrrd 2778 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 = dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›))
256, 24iineq2d 5021 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 = ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›))
26 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴
27 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
2812, 27nfmpt 5256 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
2928, 11nffv 6902 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)
3029nfdm 5951 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)
3112, 30nfiin 5029 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)
3226, 31rabeqf 3467 . . . . . . . 8 (∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 = ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) β†’ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡} = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡})
3325, 32syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡} = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡})
34 smfinfmpt.y . . . . . . . . . 10 β„²π‘¦πœ‘
35 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦 π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)
3634, 35nfan 1903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›))
37 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛π‘₯
38 nfii1 5033 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘›βˆ© 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)
3937, 38nfel 2918 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛 π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)
406, 39nfan 1903 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›))
41 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ πœ‘)
42 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
43 eliinid 43800 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›))
4443adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›))
4524eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) = 𝐴)
4645adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) = 𝐴)
4744, 46eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
489fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯))
49483adant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯))
50 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
5115fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
5250, 18, 51syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
5349, 52eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 = (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
5453breq2d 5161 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ≀ 𝐡 ↔ 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
5541, 42, 47, 54syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝑦 ≀ 𝐡 ↔ 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
5640, 55ralbida 3268 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
5736, 56rexbid 3272 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
583, 57rabbida 3459 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡} = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)})
5933, 58eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡} = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)})
605, 59eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)})
613, 60alrimi 2207 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)})
62 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑛ℝ
63 nfra1 3282 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘›βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡
6462, 63nfrexw 3311 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘›βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡
65 nfii1 5033 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘›βˆ© 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴
6664, 65nfrabw 3469 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛{π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡}
674, 66nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛𝐷
6837, 67nfel 2918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛 π‘₯ ∈ 𝐷
696, 68nfan 1903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)
70 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ πœ‘)
71 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
724eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡})
7372biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡})
74 rabidim1 3454 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡} β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴)
7675adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴)
77 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
78 eliinid 43800 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
7976, 77, 78syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
8079adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
8153idi 1 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 = (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
8270, 71, 80, 81syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 = (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
8369, 82mpteq2da 5247 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
8483rneqd 5938 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
8584infeq1d 9472 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ) = inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
8685ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ) = inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )))
873, 86ralrimi 3255 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ) = inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
88 mpteq12f 5237 . . . 4 ((βˆ€π‘₯ 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ) = inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)} ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )))
8961, 87, 88syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)} ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )))
902, 89eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)} ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )))
91 nfmpt1 5257 . . 3 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
92 smfinfmpt.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
93 smfinfmpt.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
94 eqid 2733 . . . 4 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
956, 8, 94fmptdf 7117 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)):π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
96 eqid 2733 . . 3 {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)}
97 eqid 2733 . . 3 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)} ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)} ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
9891, 28, 92, 93, 16, 95, 96, 97smfinf 45534 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)} ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
9990, 98eqeltrd 2834 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  βˆ© ciin 4999   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  infcinf 9436  β„cr 11109   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  SAlgcsalg 45024  SMblFncsmblfn 45411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800  df-s4 14801  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-top 22396  df-bases 22449  df-salg 45025  df-salgen 45029  df-smblfn 45412
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator