Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfinfmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfinfmpt 45833
Description: The infimum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (c) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfinfmpt.n β„²π‘›πœ‘
smfinfmpt.x β„²π‘₯πœ‘
smfinfmpt.y β„²π‘¦πœ‘
smfinfmpt.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
smfinfmpt.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
smfinfmpt.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfinfmpt.b ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
smfinfmpt.f ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
smfinfmpt.d 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡}
smfinfmpt.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
smfinfmpt (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   𝑦,𝐡   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfinfmpt
StepHypRef Expression
1 smfinfmpt.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ))
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < )))
3 smfinfmpt.x . . . . 5 β„²π‘₯πœ‘
4 smfinfmpt.d . . . . . . 7 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡}
54a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡})
6 smfinfmpt.n . . . . . . . . 9 β„²π‘›πœ‘
7 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)))
8 smfinfmpt.f . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
97, 8fvmpt2d 7010 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
109dmeqd 5904 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) = dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
11 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯𝑛
12 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯𝑍
1311, 12nfel 2915 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯ 𝑛 ∈ 𝑍
143, 13nfan 1900 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
15 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
16 smfinfmpt.s . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
1716adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
18 smfinfmpt.b . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
19183expa 1116 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
2014, 17, 19, 8smffmpt 45819 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
2120fvmptelcdm 7113 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2214, 15, 21dmmptdf 44221 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = 𝐴)
23 eqidd 2731 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 = 𝐴)
2410, 22, 233eqtrrd 2775 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 = dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›))
256, 24iineq2d 5019 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 = ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›))
26 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴
27 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
2812, 27nfmpt 5254 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
2928, 11nffv 6900 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)
3029nfdm 5949 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)
3112, 30nfiin 5027 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)
3226, 31rabeqf 3464 . . . . . . . 8 (∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 = ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) β†’ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡} = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡})
3325, 32syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡} = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡})
34 smfinfmpt.y . . . . . . . . . 10 β„²π‘¦πœ‘
35 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦 π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)
3634, 35nfan 1900 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›))
37 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛π‘₯
38 nfii1 5031 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘›βˆ© 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)
3937, 38nfel 2915 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛 π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)
406, 39nfan 1900 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›))
41 simpll 763 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ πœ‘)
42 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
43 eliinid 44101 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›))
4443adantll 710 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›))
4524eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) = 𝐴)
4645adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) = 𝐴)
4744, 46eleqtrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
489fveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯))
49483adant3 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯))
50 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
5115fvmpt2 7008 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
5250, 18, 51syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘₯) = 𝐡)
5349, 52eqtr2d 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 = (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
5453breq2d 5159 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ≀ 𝐡 ↔ 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
5541, 42, 47, 54syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝑦 ≀ 𝐡 ↔ 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
5640, 55ralbida 3265 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
5736, 56rexbid 3269 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
583, 57rabbida 3456 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡} = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)})
5933, 58eqtrd 2770 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡} = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)})
605, 59eqtrd 2770 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)})
613, 60alrimi 2204 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)})
62 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑛ℝ
63 nfra1 3279 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘›βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡
6462, 63nfrexw 3308 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘›βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡
65 nfii1 5031 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘›βˆ© 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴
6664, 65nfrabw 3466 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛{π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡}
674, 66nfcxfr 2899 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛𝐷
6837, 67nfel 2915 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛 π‘₯ ∈ 𝐷
696, 68nfan 1900 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)
70 simpll 763 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ πœ‘)
71 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
724eleq2i 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡})
7372biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡})
74 rabidim1 3451 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ 𝐡} β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴)
7675adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴)
77 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
78 eliinid 44101 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
7976, 77, 78syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
8079adantll 710 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
8153idi 1 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 = (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
8270, 71, 80, 81syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 = (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
8369, 82mpteq2da 5245 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
8483rneqd 5936 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) = ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
8584infeq1d 9474 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ) = inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
8685ex 411 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ) = inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )))
873, 86ralrimi 3252 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ) = inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
88 mpteq12f 5235 . . . 4 ((βˆ€π‘₯ 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < ) = inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)} ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )))
8961, 87, 88syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)} ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )))
902, 89eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)} ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )))
91 nfmpt1 5255 . . 3 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
92 smfinfmpt.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
93 smfinfmpt.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
94 eqid 2730 . . . 4 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
956, 8, 94fmptdf 7117 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)):π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
96 eqid 2730 . . 3 {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)}
97 eqid 2730 . . 3 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)} ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)} ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
9891, 28, 92, 93, 16, 95, 96, 97smfinf 45832 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 𝑦 ≀ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)} ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))β€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < )) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
9990, 98eqeltrd 2831 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085  βˆ€wal 1537   = wceq 1539  β„²wnf 1783   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  βˆ© ciin 4997   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676  β€˜cfv 6542  infcinf 9438  β„cr 11111   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  SAlgcsalg 45322  SMblFncsmblfn 45709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-s4 14805  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-top 22616  df-bases 22669  df-salg 45323  df-salgen 45327  df-smblfn 45710
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator