Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfinfmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfinfmpt 46774
Description: The infimum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (c) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfinfmpt.n 𝑛𝜑
smfinfmpt.x 𝑥𝜑
smfinfmpt.y 𝑦𝜑
smfinfmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfinfmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfinfmpt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfinfmpt.b ((𝜑𝑛𝑍𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
smfinfmpt.f ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfinfmpt.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵}
smfinfmpt.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
smfinfmpt (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfinfmpt
StepHypRef Expression
1 smfinfmpt.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
2 smfinfmpt.x . . . 4 𝑥𝜑
3 smfinfmpt.d . . . . 5 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵}
4 smfinfmpt.n . . . . . . . 8 𝑛𝜑
5 eqidd 2735 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵)))
6 smfinfmpt.f . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
75, 6fvmpt2d 7028 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) = (𝑥𝐴𝐵))
87dmeqd 5918 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) = dom (𝑥𝐴𝐵))
9 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑍
109nfcri 2894 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑛𝑍
112, 10nfan 1896 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑛𝑍)
12 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
13 smfinfmpt.b . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
14133expa 1117 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
1511, 12, 14dmmptdf 45166 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
168, 15eqtr2d 2775 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐴 = dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛))
174, 16iineq2d 5019 . . . . . . 7 (𝜑 𝑛𝑍 𝐴 = 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛))
182, 17rabeqd 3462 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵} = {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵})
19 smfinfmpt.y . . . . . . . . 9 𝑦𝜑
20 nfv 1911 . . . . . . . . 9 𝑦 𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)
2119, 20nfan 1896 . . . . . . . 8 𝑦(𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛))
22 nfii1 5033 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)
2322nfcri 2894 . . . . . . . . . 10 𝑛 𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)
244, 23nfan 1896 . . . . . . . . 9 𝑛(𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛))
25 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝜑)
26 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
27 eliinid 45050 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛))
2827adantll 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛))
298, 15eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) = 𝐴)
3029adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) = 𝐴)
3128, 30eleqtrd 2840 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥𝐴)
327fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
33323adant3 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍𝑥𝐴) → (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
34 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
35 fvmpt4 45181 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐴𝐵𝑉) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
3634, 13, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
3733, 36eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍𝑥𝐴) → 𝐵 = (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥))
3837breq2d 5159 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍𝑥𝐴) → (𝑦𝐵𝑦 ≤ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)))
3925, 26, 31, 38syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑦𝐵𝑦 ≤ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)))
4024, 39ralbida 3267 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) → (∀𝑛𝑍 𝑦𝐵 ↔ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)))
4121, 40rexbid 3271 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)))
422, 41rabbida 3460 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵} = {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)})
4318, 42eqtrd 2774 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵} = {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)})
443, 43eqtrid 2786 . . . 4 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)})
45 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑛
46 nfra1 3281 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑛𝑍 𝑦𝐵
4745, 46nfrexw 3310 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵
48 nfii1 5033 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑛𝑍 𝐴
4947, 48nfrabw 3472 . . . . . . . . . 10 𝑛{𝑥 𝑛𝑍 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵}
503, 49nfcxfr 2900 . . . . . . . . 9 𝑛𝐷
5150nfcri 2894 . . . . . . . 8 𝑛 𝑥𝐷
524, 51nfan 1896 . . . . . . 7 𝑛(𝜑𝑥𝐷)
53 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝜑)
54 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
55 rabidim1 3455 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵} → 𝑥 𝑛𝑍 𝐴)
5655, 3eleq2s 2856 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷𝑥 𝑛𝑍 𝐴)
57 eliinid 45050 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑛𝑍 𝐴𝑛𝑍) → 𝑥𝐴)
5856, 57sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐷𝑛𝑍) → 𝑥𝐴)
5958adantll 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥𝐴)
6053, 54, 59, 37syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 = (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥))
6152, 60mpteq2da 5245 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑛𝑍𝐵) = (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)))
6261rneqd 5951 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → ran (𝑛𝑍𝐵) = ran (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)))
6362infeq1d 9514 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) = inf(ran (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
642, 44, 63mpteq12da 5232 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)} ↦ inf(ran (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
651, 64eqtrid 2786 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)} ↦ inf(ran (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )))
66 nfmpt1 5255 . . 3 𝑛(𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))
67 nfmpt1 5255 . . . 4 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
689, 67nfmpt 5254 . . 3 𝑥(𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))
69 smfinfmpt.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
70 smfinfmpt.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
71 smfinfmpt.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
724, 6fmptd2f 45177 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵)):𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
73 eqid 2734 . . 3 {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)} = {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)}
74 eqid 2734 . . 3 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)} ↦ inf(ran (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)} ↦ inf(ran (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
7566, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74smfinf 46773 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom ((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)} ↦ inf(ran (𝑛𝑍 ↦ (((𝑛𝑍 ↦ (𝑥𝐴𝐵))‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) ∈ (SMblFn‘𝑆))
7665, 75eqeltrd 2838 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wnf 1779  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432   ciin 4996   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  ran crn 5689  cfv 6562  infcinf 9478  cr 11151   < clt 11292  cle 11293  cz 12610  cuz 12875  SAlgcsalg 46263  SMblFncsmblfn 46650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-ac2 10500  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-ac 10153  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-s1 14630  df-s2 14883  df-s3 14884  df-s4 14885  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-top 22915  df-bases 22968  df-salg 46264  df-salgen 46268  df-smblfn 46651
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator