MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ledivp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ledivp1 12065
Description: "Less than or equal to" and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
ledivp1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท ๐ต) โ‰ค ๐ด)

Proof of Theorem ledivp1
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2 peano2re 11336 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต + 1) โˆˆ โ„)
32ad2antrl 727 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ต + 1) โˆˆ โ„)
4 simpll 766 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
5 ltp1 12003 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต < (๐ต + 1))
6 0re 11165 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„
7 lelttr 11253 . . . . . . . . . . 11 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ต + 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต < (๐ต + 1)) โ†’ 0 < (๐ต + 1)))
86, 7mp3an1 1449 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ต + 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต < (๐ต + 1)) โ†’ 0 < (๐ต + 1)))
92, 8mpdan 686 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ((0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต < (๐ต + 1)) โ†’ 0 < (๐ต + 1)))
105, 9mpan2d 693 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†’ 0 < (๐ต + 1)))
1110imp 408 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 < (๐ต + 1))
1211gt0ne0d 11727 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ต + 1) โ‰  0)
1312adantl 483 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ต + 1) โ‰  0)
144, 3, 13redivcld 11991 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด / (๐ต + 1)) โˆˆ โ„)
152adantr 482 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ต + 1) โˆˆ โ„)
1615, 11jca 513 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ ((๐ต + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ต + 1)))
17 divge0 12032 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ((๐ต + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ต + 1))) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / (๐ต + 1)))
1816, 17sylan2 594 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / (๐ต + 1)))
1914, 18jca 513 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ต + 1)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / (๐ต + 1))))
20 lep1 12004 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โ‰ค (๐ต + 1))
2120ad2antrl 727 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ต โ‰ค (๐ต + 1))
22 lemul2a 12018 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ต + 1) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด / (๐ต + 1)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / (๐ต + 1)))) โˆง ๐ต โ‰ค (๐ต + 1)) โ†’ ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท ๐ต) โ‰ค ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท (๐ต + 1)))
231, 3, 19, 21, 22syl31anc 1374 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท ๐ต) โ‰ค ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท (๐ต + 1)))
24 recn 11149 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2524ad2antrr 725 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
262recnd 11191 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต + 1) โˆˆ โ„‚)
2726ad2antrl 727 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ต + 1) โˆˆ โ„‚)
2825, 27, 13divcan1d 11940 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท (๐ต + 1)) = ๐ด)
2923, 28breqtrd 5135 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท ๐ต) โ‰ค ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198   / cdiv 11820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator