MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ledivp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ledivp1 12116
Description: "Less than or equal to" and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
ledivp1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท ๐ต) โ‰ค ๐ด)

Proof of Theorem ledivp1
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2 peano2re 11387 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต + 1) โˆˆ โ„)
32ad2antrl 727 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ต + 1) โˆˆ โ„)
4 simpll 766 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
5 ltp1 12054 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต < (๐ต + 1))
6 0re 11216 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„
7 lelttr 11304 . . . . . . . . . . 11 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ต + 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต < (๐ต + 1)) โ†’ 0 < (๐ต + 1)))
86, 7mp3an1 1449 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ต + 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต < (๐ต + 1)) โ†’ 0 < (๐ต + 1)))
92, 8mpdan 686 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ((0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต < (๐ต + 1)) โ†’ 0 < (๐ต + 1)))
105, 9mpan2d 693 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†’ 0 < (๐ต + 1)))
1110imp 408 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 < (๐ต + 1))
1211gt0ne0d 11778 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ต + 1) โ‰  0)
1312adantl 483 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ต + 1) โ‰  0)
144, 3, 13redivcld 12042 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด / (๐ต + 1)) โˆˆ โ„)
152adantr 482 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ต + 1) โˆˆ โ„)
1615, 11jca 513 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ ((๐ต + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ต + 1)))
17 divge0 12083 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ((๐ต + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ต + 1))) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / (๐ต + 1)))
1816, 17sylan2 594 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / (๐ต + 1)))
1914, 18jca 513 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ต + 1)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / (๐ต + 1))))
20 lep1 12055 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โ‰ค (๐ต + 1))
2120ad2antrl 727 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ต โ‰ค (๐ต + 1))
22 lemul2a 12069 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ต + 1) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด / (๐ต + 1)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / (๐ต + 1)))) โˆง ๐ต โ‰ค (๐ต + 1)) โ†’ ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท ๐ต) โ‰ค ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท (๐ต + 1)))
231, 3, 19, 21, 22syl31anc 1374 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท ๐ต) โ‰ค ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท (๐ต + 1)))
24 recn 11200 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2524ad2antrr 725 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
262recnd 11242 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต + 1) โˆˆ โ„‚)
2726ad2antrl 727 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ต + 1) โˆˆ โ„‚)
2825, 27, 13divcan1d 11991 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท (๐ต + 1)) = ๐ด)
2923, 28breqtrd 5175 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท ๐ต) โ‰ค ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   / cdiv 11871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator