Theorem ledivp1 11282

Description: "Less than or equal to" and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ledivp1	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐵 + 1)) · 𝐵) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem ledivp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 761	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		peano2re 10551	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
3	2	ad2antrl 718	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
4		simpll 757	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		ltp1 11218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < (𝐵 + 1))
6		0re 10380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		lelttr 10469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐵 + 1)) → 0 < (𝐵 + 1)))
8	6, 7	mp3an1 1521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐵 + 1)) → 0 < (𝐵 + 1)))
9	2, 8	mpdan 677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐵 + 1)) → 0 < (𝐵 + 1)))
10	5, 9	mpan2d 684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐵 → 0 < (𝐵 + 1)))
11	10	imp 397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 < (𝐵 + 1))
12	11	gt0ne0d 10942	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐵 + 1) ≠ 0)
13	12	adantl 475	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵 + 1) ≠ 0)
14	4, 3, 13	redivcld 11206	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 / (𝐵 + 1)) ∈ ℝ)
15	2	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
16	15, 11	jca 507	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 + 1)))
17		divge0 11249	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ((𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 + 1))) → 0 ≤ (𝐴 / (𝐵 + 1)))
18	16, 17	sylan2 586	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / (𝐵 + 1)))
19	14, 18	jca 507	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐵 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / (𝐵 + 1))))
20		lep1 11219	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ (𝐵 + 1))
21	20	ad2antrl 718	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ≤ (𝐵 + 1))
22		lemul2a 11235	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 / (𝐵 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / (𝐵 + 1)))) ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → ((𝐴 / (𝐵 + 1)) · 𝐵) ≤ ((𝐴 / (𝐵 + 1)) · (𝐵 + 1)))
23	1, 3, 19, 21, 22	syl31anc 1441	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐵 + 1)) · 𝐵) ≤ ((𝐴 / (𝐵 + 1)) · (𝐵 + 1)))
24		recn 10364	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	ad2antrr 716	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	2	recnd 10407	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℂ)
27	26	ad2antrl 718	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵 + 1) ∈ ℂ)
28	25, 27, 13	divcan1d 11155	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐵 + 1)) · (𝐵 + 1)) = 𝐴)
29	23, 28	breqtrd 4914	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐵 + 1)) · 𝐵) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969   class class class wbr 4888  (class class class)co 6924  ℂcc 10272  ℝcr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279   < clt 10413   ≤ cle 10414   / cdiv 11035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036

This theorem is referenced by: (None)