Theorem ledivp1 12046

Description: "Less than or equal to" and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ledivp1	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐵 + 1)) · 𝐵) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem ledivp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 771	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		peano2re 11308	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
3	2	ad2antrl 729	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
4		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		ltp1 11983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < (𝐵 + 1))
6		0re 11136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		lelttr 11225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐵 + 1)) → 0 < (𝐵 + 1)))
8	6, 7	mp3an1 1451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐵 + 1)) → 0 < (𝐵 + 1)))
9	2, 8	mpdan 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐵 + 1)) → 0 < (𝐵 + 1)))
10	5, 9	mpan2d 695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐵 → 0 < (𝐵 + 1)))
11	10	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 < (𝐵 + 1))
12	11	gt0ne0d 11703	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐵 + 1) ≠ 0)
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵 + 1) ≠ 0)
14	4, 3, 13	redivcld 11971	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 / (𝐵 + 1)) ∈ ℝ)
15	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
16	15, 11	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 + 1)))
17		divge0 12013	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ((𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 + 1))) → 0 ≤ (𝐴 / (𝐵 + 1)))
18	16, 17	sylan2 594	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / (𝐵 + 1)))
19	14, 18	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐵 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / (𝐵 + 1))))
20		lep1 11984	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ (𝐵 + 1))
21	20	ad2antrl 729	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ≤ (𝐵 + 1))
22		lemul2a 11998	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 / (𝐵 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 / (𝐵 + 1)))) ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → ((𝐴 / (𝐵 + 1)) · 𝐵) ≤ ((𝐴 / (𝐵 + 1)) · (𝐵 + 1)))
23	1, 3, 19, 21, 22	syl31anc 1376	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐵 + 1)) · 𝐵) ≤ ((𝐴 / (𝐵 + 1)) · (𝐵 + 1)))
24		recn 11118	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	2	recnd 11162	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℂ)
27	26	ad2antrl 729	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵 + 1) ∈ ℂ)
28	25, 27, 13	divcan1d 11920	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐵 + 1)) · (𝐵 + 1)) = 𝐴)
29	23, 28	breqtrd 5123	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 / (𝐵 + 1)) · 𝐵) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931   class class class wbr 5097  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   / cdiv 11796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797

This theorem is referenced by: (None)