MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ledivp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ledivp1 12115
Description: "Less than or equal to" and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
ledivp1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท ๐ต) โ‰ค ๐ด)

Proof of Theorem ledivp1
StepHypRef Expression
1 simprl 769 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2 peano2re 11386 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต + 1) โˆˆ โ„)
32ad2antrl 726 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ต + 1) โˆˆ โ„)
4 simpll 765 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
5 ltp1 12053 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต < (๐ต + 1))
6 0re 11215 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„
7 lelttr 11303 . . . . . . . . . . 11 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ต + 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต < (๐ต + 1)) โ†’ 0 < (๐ต + 1)))
86, 7mp3an1 1448 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ต + 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต < (๐ต + 1)) โ†’ 0 < (๐ต + 1)))
92, 8mpdan 685 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ((0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต < (๐ต + 1)) โ†’ 0 < (๐ต + 1)))
105, 9mpan2d 692 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†’ 0 < (๐ต + 1)))
1110imp 407 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 < (๐ต + 1))
1211gt0ne0d 11777 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ต + 1) โ‰  0)
1312adantl 482 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ต + 1) โ‰  0)
144, 3, 13redivcld 12041 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด / (๐ต + 1)) โˆˆ โ„)
152adantr 481 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ต + 1) โˆˆ โ„)
1615, 11jca 512 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ ((๐ต + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ต + 1)))
17 divge0 12082 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ((๐ต + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ต + 1))) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / (๐ต + 1)))
1816, 17sylan2 593 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / (๐ต + 1)))
1914, 18jca 512 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ต + 1)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / (๐ต + 1))))
20 lep1 12054 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โ‰ค (๐ต + 1))
2120ad2antrl 726 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ต โ‰ค (๐ต + 1))
22 lemul2a 12068 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ต + 1) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด / (๐ต + 1)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด / (๐ต + 1)))) โˆง ๐ต โ‰ค (๐ต + 1)) โ†’ ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท ๐ต) โ‰ค ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท (๐ต + 1)))
231, 3, 19, 21, 22syl31anc 1373 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท ๐ต) โ‰ค ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท (๐ต + 1)))
24 recn 11199 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2524ad2antrr 724 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
262recnd 11241 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต + 1) โˆˆ โ„‚)
2726ad2antrl 726 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ต + 1) โˆˆ โ„‚)
2825, 27, 13divcan1d 11990 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท (๐ต + 1)) = ๐ด)
2923, 28breqtrd 5174 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท ๐ต) โ‰ค ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11247   โ‰ค cle 11248   / cdiv 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator