MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subcss2 17736
Description: The morphisms of a subcategory are a subset of the morphisms of the original. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
subcss1.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
subcss1.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
subcss2.h 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
subcss2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
subcss2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
subcss2 (πœ‘ β†’ (π‘‹π½π‘Œ) βŠ† (π‘‹π»π‘Œ))

Proof of Theorem subcss2
StepHypRef Expression
1 subcss1.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
2 subcss1.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
3 eqid 2737 . . . 4 (Homf β€˜πΆ) = (Homf β€˜πΆ)
42, 3subcssc 17733 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ†cat (Homf β€˜πΆ))
5 subcss2.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
6 subcss2.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
71, 4, 5, 6ssc2 17712 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹π½π‘Œ) βŠ† (𝑋(Homf β€˜πΆ)π‘Œ))
8 eqid 2737 . . 3 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
9 subcss2.h . . 3 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
102, 1, 8subcss1 17735 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
1110, 5sseldd 3950 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
1210, 6sseldd 3950 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
133, 8, 9, 11, 12homfval 17579 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋(Homf β€˜πΆ)π‘Œ) = (π‘‹π»π‘Œ))
147, 13sseqtrd 3989 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹π½π‘Œ) βŠ† (π‘‹π»π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3915   Γ— cxp 5636   Fn wfn 6496  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  Hom chom 17151  Homf chomf 17553  Subcatcsubc 17699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-homf 17557  df-ssc 17700  df-subc 17702
This theorem is referenced by:  subccatid  17739  funcres  17789  funcres2b  17790  subthinc  47134
  Copyright terms: Public domain W3C validator