Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoeq1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendoeq1 39939
Description: Condition determining equality of two trace-preserving endomorphisms. (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendof.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendof.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendof.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tendoeq1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ π‘ˆ = 𝑉)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,π‘Š   π‘ˆ,𝑓   𝑓,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)
Proof of Theorem tendoeq1
StepHypRef Expression
1 simp3 1137 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“))
2 simp1 1135 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simp2l 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
4 tendof.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 tendof.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 tendof.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
74, 5, 6tendof 39938 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ π‘ˆ:π‘‡βŸΆπ‘‡)
82, 3, 7syl2anc 583 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ π‘ˆ:π‘‡βŸΆπ‘‡)
98ffnd 6718 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ π‘ˆ Fn 𝑇)
10 simp2r 1199 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
114, 5, 6tendof 39938 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ 𝑉:π‘‡βŸΆπ‘‡)
122, 10, 11syl2anc 583 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ 𝑉:π‘‡βŸΆπ‘‡)
1312ffnd 6718 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ 𝑉 Fn 𝑇)
14 eqfnfv 7032 . . 3 ((π‘ˆ Fn 𝑇 ∧ 𝑉 Fn 𝑇) β†’ (π‘ˆ = 𝑉 ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)))
159, 13, 14syl2anc 583 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ (π‘ˆ = 𝑉 ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)))
161, 15mpbird 257 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ π‘ˆ = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  HLchlt 38524  LHypclh 39159  LTrncltrn 39276  TEndoctendo 39927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8826  df-tendo 39930
This theorem is referenced by:  tendoeq2  39949  tendoplcom  39957  tendoplass  39958  tendodi1  39959  tendodi2  39960  tendo0pl  39966  tendoipl  39972
  Copyright terms: Public domain W3C validator