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Theorem tendodi1 38777
Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
Assertion
Ref Expression
tendodi1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) = ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendodi1
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpr1 1192 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → 𝑆𝐸)
3 simpr2 1193 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → 𝑈𝐸)
4 simpr3 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → 𝑉𝐸)
5 tendopl.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 tendopl.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7 tendopl.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
8 tendopl.p . . . . 5 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
95, 6, 7, 8tendoplcl 38774 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
101, 3, 4, 9syl3anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
115, 7tendococl 38765 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸)
121, 2, 10, 11syl3anc 1369 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸)
135, 7tendococl 38765 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑈𝐸) → (𝑆𝑈) ∈ 𝐸)
141, 2, 3, 13syl3anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆𝑈) ∈ 𝐸)
155, 7tendococl 38765 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑉𝐸) → (𝑆𝑉) ∈ 𝐸)
161, 2, 4, 15syl3anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆𝑉) ∈ 𝐸)
175, 6, 7, 8tendoplcl 38774 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝑈) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆𝑉) ∈ 𝐸) → ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)) ∈ 𝐸)
181, 14, 16, 17syl3anc 1369 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)) ∈ 𝐸)
19 simplll 771 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
20 simpllr 772 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑊𝐻)
21 simplr1 1213 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑆𝐸)
22 simpll 763 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
23 simplr2 1214 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑈𝐸)
24 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑔𝑇)
255, 6, 7tendocl 38760 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑔𝑇) → (𝑈𝑔) ∈ 𝑇)
2622, 23, 24, 25syl3anc 1369 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑈𝑔) ∈ 𝑇)
27 simplr3 1215 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑉𝐸)
285, 6, 7tendocl 38760 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝑔𝑇) → (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)
2922, 27, 24, 28syl3anc 1369 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)
305, 6, 7tendovalco 38758 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑆𝐸) ∧ ((𝑈𝑔) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)) → (𝑆‘((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔))) = ((𝑆‘(𝑈𝑔)) ∘ (𝑆‘(𝑉𝑔))))
3119, 20, 21, 26, 29, 30syl32anc 1376 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆‘((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔))) = ((𝑆‘(𝑈𝑔)) ∘ (𝑆‘(𝑉𝑔))))
328, 6tendopl2 38770 . . . . . . 7 ((𝑈𝐸𝑉𝐸𝑔𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)))
3323, 27, 24, 32syl3anc 1369 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)))
3433fveq2d 6772 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)) = (𝑆‘((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔))))
355, 6, 7tendocoval 38759 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑈)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑈𝑔)))
3619, 20, 21, 23, 24, 35syl221anc 1379 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑈)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑈𝑔)))
375, 6, 7tendocoval 38759 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑉)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑉𝑔)))
3819, 20, 21, 27, 24, 37syl221anc 1379 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑉)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑉𝑔)))
3936, 38coeq12d 5770 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆𝑉)‘𝑔)) = ((𝑆‘(𝑈𝑔)) ∘ (𝑆‘(𝑉𝑔))))
4031, 34, 393eqtr4rd 2790 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆𝑉)‘𝑔)) = (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
4122, 21, 23, 13syl3anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑈) ∈ 𝐸)
4222, 21, 27, 15syl3anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑉) ∈ 𝐸)
438, 6tendopl2 38770 . . . . 5 (((𝑆𝑈) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆𝑉) ∈ 𝐸𝑔𝑇) → (((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆𝑉)‘𝑔)))
4441, 42, 24, 43syl3anc 1369 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆𝑉)‘𝑔)))
4522, 23, 27, 9syl3anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
465, 6, 7tendocoval 38759 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸 ∧ (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
4722, 21, 45, 24, 46syl121anc 1373 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
4840, 44, 473eqtr4rd 2790 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉))‘𝑔))
4948ralrimiva 3109 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ∀𝑔𝑇 ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉))‘𝑔))
505, 6, 7tendoeq1 38757 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)) ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑔𝑇 ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉))‘𝑔)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) = ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)))
511, 12, 18, 49, 50syl121anc 1373 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) = ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  wral 3065  cmpt 5161  ccom 5592  cfv 6430  (class class class)co 7268  cmpo 7270  HLchlt 37343  LHypclh 37977  LTrncltrn 38094  TEndoctendo 38745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-riotaBAD 36946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-undef 8073  df-map 8591  df-proset 17994  df-poset 18012  df-plt 18029  df-lub 18045  df-glb 18046  df-join 18047  df-meet 18048  df-p0 18124  df-p1 18125  df-lat 18131  df-clat 18198  df-oposet 37169  df-ol 37171  df-oml 37172  df-covers 37259  df-ats 37260  df-atl 37291  df-cvlat 37315  df-hlat 37344  df-llines 37491  df-lplanes 37492  df-lvols 37493  df-lines 37494  df-psubsp 37496  df-pmap 37497  df-padd 37789  df-lhyp 37981  df-laut 37982  df-ldil 38097  df-ltrn 38098  df-trl 38152  df-tendo 38748
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