Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendodi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendodi1 39655
Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
Assertion
Ref Expression
tendodi1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑆 ∘ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)) = ((𝑆 ∘ π‘ˆ)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑑,𝑇   𝑓,π‘Š,𝑠,𝑑
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑑,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑑,𝑓,𝑠)   π‘ˆ(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑑,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑑,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendodi1
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simpr1 1195 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
3 simpr2 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
4 simpr3 1197 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
5 tendopl.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 tendopl.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 tendopl.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 tendopl.p . . . . 5 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
95, 6, 7, 8tendoplcl 39652 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) ∈ 𝐸)
101, 3, 4, 9syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) ∈ 𝐸)
115, 7tendococl 39643 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) ∈ 𝐸) β†’ (𝑆 ∘ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)) ∈ 𝐸)
121, 2, 10, 11syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑆 ∘ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)) ∈ 𝐸)
135, 7tendococl 39643 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ (𝑆 ∘ π‘ˆ) ∈ 𝐸)
141, 2, 3, 13syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑆 ∘ π‘ˆ) ∈ 𝐸)
155, 7tendococl 39643 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
161, 2, 4, 15syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
175, 6, 7, 8tendoplcl 39652 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∘ π‘ˆ) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑆 ∘ π‘ˆ)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸)
181, 14, 16, 17syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑆 ∘ π‘ˆ)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸)
19 simplll 774 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ HL)
20 simpllr 775 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
21 simplr1 1216 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
22 simpll 766 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
23 simplr2 1217 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
24 simpr 486 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
255, 6, 7tendocl 39638 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘”) ∈ 𝑇)
2622, 23, 24, 25syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘”) ∈ 𝑇)
27 simplr3 1218 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
285, 6, 7tendocl 39638 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‰β€˜π‘”) ∈ 𝑇)
2922, 27, 24, 28syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‰β€˜π‘”) ∈ 𝑇)
305, 6, 7tendovalco 39636 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∈ 𝑇 ∧ (π‘‰β€˜π‘”) ∈ 𝑇)) β†’ (π‘†β€˜((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”))) = ((π‘†β€˜(π‘ˆβ€˜π‘”)) ∘ (π‘†β€˜(π‘‰β€˜π‘”))))
3119, 20, 21, 26, 29, 30syl32anc 1379 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”))) = ((π‘†β€˜(π‘ˆβ€˜π‘”)) ∘ (π‘†β€˜(π‘‰β€˜π‘”))))
328, 6tendopl2 39648 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜π‘”) = ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”)))
3323, 27, 24, 32syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜π‘”) = ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”)))
3433fveq2d 6896 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜π‘”)) = (π‘†β€˜((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”))))
355, 6, 7tendocoval 39637 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘”) = (π‘†β€˜(π‘ˆβ€˜π‘”)))
3619, 20, 21, 23, 24, 35syl221anc 1382 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘”) = (π‘†β€˜(π‘ˆβ€˜π‘”)))
375, 6, 7tendocoval 39637 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = (π‘†β€˜(π‘‰β€˜π‘”)))
3819, 20, 21, 27, 24, 37syl221anc 1382 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = (π‘†β€˜(π‘‰β€˜π‘”)))
3936, 38coeq12d 5865 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((𝑆 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘”) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑉)β€˜π‘”)) = ((π‘†β€˜(π‘ˆβ€˜π‘”)) ∘ (π‘†β€˜(π‘‰β€˜π‘”))))
4031, 34, 393eqtr4rd 2784 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((𝑆 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘”) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑉)β€˜π‘”)) = (π‘†β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜π‘”)))
4122, 21, 23, 13syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (𝑆 ∘ π‘ˆ) ∈ 𝐸)
4222, 21, 27, 15syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
438, 6tendopl2 39648 . . . . 5 (((𝑆 ∘ π‘ˆ) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((𝑆 ∘ π‘ˆ)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))β€˜π‘”) = (((𝑆 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘”) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑉)β€˜π‘”)))
4441, 42, 24, 43syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((𝑆 ∘ π‘ˆ)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))β€˜π‘”) = (((𝑆 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘”) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑉)β€˜π‘”)))
4522, 23, 27, 9syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) ∈ 𝐸)
465, 6, 7tendocoval 39637 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∘ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰))β€˜π‘”) = (π‘†β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜π‘”)))
4722, 21, 45, 24, 46syl121anc 1376 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∘ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰))β€˜π‘”) = (π‘†β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜π‘”)))
4840, 44, 473eqtr4rd 2784 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∘ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰))β€˜π‘”) = (((𝑆 ∘ π‘ˆ)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))β€˜π‘”))
4948ralrimiva 3147 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ βˆ€π‘” ∈ 𝑇 ((𝑆 ∘ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰))β€˜π‘”) = (((𝑆 ∘ π‘ˆ)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))β€˜π‘”))
505, 6, 7tendoeq1 39635 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑆 ∘ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑆 ∘ π‘ˆ)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘” ∈ 𝑇 ((𝑆 ∘ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰))β€˜π‘”) = (((𝑆 ∘ π‘ˆ)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))β€˜π‘”)) β†’ (𝑆 ∘ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)) = ((𝑆 ∘ π‘ˆ)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)))
511, 12, 18, 49, 50syl121anc 1376 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑆 ∘ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)) = ((𝑆 ∘ π‘ˆ)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   ↦ cmpt 5232   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  HLchlt 38220  LHypclh 38855  LTrncltrn 38972  TEndoctendo 39623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-riotaBAD 37823
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-undef 8258  df-map 8822  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030  df-tendo 39626
This theorem is referenced by:  erngdvlem3  39861  erngdvlem3-rN  39869
  Copyright terms: Public domain W3C validator