Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendodi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendodi1 36854
Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
Assertion
Ref Expression
tendodi1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) = ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendodi1
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 476 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpr1 1252 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → 𝑆𝐸)
3 simpr2 1254 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → 𝑈𝐸)
4 simpr3 1256 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → 𝑉𝐸)
5 tendopl.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 tendopl.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7 tendopl.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
8 tendopl.p . . . . 5 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
95, 6, 7, 8tendoplcl 36851 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
101, 3, 4, 9syl3anc 1494 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
115, 7tendococl 36842 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸)
121, 2, 10, 11syl3anc 1494 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸)
135, 7tendococl 36842 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑈𝐸) → (𝑆𝑈) ∈ 𝐸)
141, 2, 3, 13syl3anc 1494 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆𝑈) ∈ 𝐸)
155, 7tendococl 36842 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑉𝐸) → (𝑆𝑉) ∈ 𝐸)
161, 2, 4, 15syl3anc 1494 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆𝑉) ∈ 𝐸)
175, 6, 7, 8tendoplcl 36851 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝑈) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆𝑉) ∈ 𝐸) → ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)) ∈ 𝐸)
181, 14, 16, 17syl3anc 1494 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)) ∈ 𝐸)
19 simplll 791 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
20 simpllr 793 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑊𝐻)
21 simplr1 1279 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑆𝐸)
22 simpll 783 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
23 simplr2 1281 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑈𝐸)
24 simpr 479 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑔𝑇)
255, 6, 7tendocl 36837 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑔𝑇) → (𝑈𝑔) ∈ 𝑇)
2622, 23, 24, 25syl3anc 1494 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑈𝑔) ∈ 𝑇)
27 simplr3 1283 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑉𝐸)
285, 6, 7tendocl 36837 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝑔𝑇) → (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)
2922, 27, 24, 28syl3anc 1494 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)
305, 6, 7tendovalco 36835 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑆𝐸) ∧ ((𝑈𝑔) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)) → (𝑆‘((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔))) = ((𝑆‘(𝑈𝑔)) ∘ (𝑆‘(𝑉𝑔))))
3119, 20, 21, 26, 29, 30syl32anc 1501 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆‘((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔))) = ((𝑆‘(𝑈𝑔)) ∘ (𝑆‘(𝑉𝑔))))
328, 6tendopl2 36847 . . . . . . 7 ((𝑈𝐸𝑉𝐸𝑔𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)))
3323, 27, 24, 32syl3anc 1494 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)))
3433fveq2d 6441 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)) = (𝑆‘((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔))))
355, 6, 7tendocoval 36836 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑈)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑈𝑔)))
3619, 20, 21, 23, 24, 35syl221anc 1504 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑈)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑈𝑔)))
375, 6, 7tendocoval 36836 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑉)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑉𝑔)))
3819, 20, 21, 27, 24, 37syl221anc 1504 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑉)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑉𝑔)))
3936, 38coeq12d 5523 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆𝑉)‘𝑔)) = ((𝑆‘(𝑈𝑔)) ∘ (𝑆‘(𝑉𝑔))))
4031, 34, 393eqtr4rd 2872 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆𝑉)‘𝑔)) = (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
4122, 21, 23, 13syl3anc 1494 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑈) ∈ 𝐸)
4222, 21, 27, 15syl3anc 1494 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑉) ∈ 𝐸)
438, 6tendopl2 36847 . . . . 5 (((𝑆𝑈) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆𝑉) ∈ 𝐸𝑔𝑇) → (((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆𝑉)‘𝑔)))
4441, 42, 24, 43syl3anc 1494 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆𝑉)‘𝑔)))
4522, 23, 27, 9syl3anc 1494 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
465, 6, 7tendocoval 36836 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸 ∧ (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
4722, 21, 45, 24, 46syl121anc 1498 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
4840, 44, 473eqtr4rd 2872 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉))‘𝑔))
4948ralrimiva 3175 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ∀𝑔𝑇 ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉))‘𝑔))
505, 6, 7tendoeq1 36834 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)) ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑔𝑇 ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉))‘𝑔)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) = ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)))
511, 12, 18, 49, 50syl121anc 1498 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) = ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wral 3117  cmpt 4954  ccom 5350  cfv 6127  (class class class)co 6910  cmpt2 6912  HLchlt 35420  LHypclh 36054  LTrncltrn 36171  TEndoctendo 36822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-riotaBAD 35023
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-undef 7669  df-map 8129  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-p1 17400  df-lat 17406  df-clat 17468  df-oposet 35246  df-ol 35248  df-oml 35249  df-covers 35336  df-ats 35337  df-atl 35368  df-cvlat 35392  df-hlat 35421  df-llines 35568  df-lplanes 35569  df-lvols 35570  df-lines 35571  df-psubsp 35573  df-pmap 35574  df-padd 35866  df-lhyp 36058  df-laut 36059  df-ldil 36174  df-ltrn 36175  df-trl 36229  df-tendo 36825
This theorem is referenced by:  erngdvlem3  37060  erngdvlem3-rN  37068
  Copyright terms: Public domain W3C validator