Theorem tendodi1 40808

Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendopl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))

Assertion

Ref	Expression
tendodi1	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) = ((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendodi1

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simpr1 1195	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → 𝑆 ∈ 𝐸)
3		simpr2 1196	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
4		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → 𝑉 ∈ 𝐸)
5		tendopl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		tendopl.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7		tendopl.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
8		tendopl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
9	5, 6, 7, 8	tendoplcl 40805	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
10	1, 3, 4, 9	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
11	5, 7	tendococl 40796	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸)
12	1, 2, 10, 11	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸)
13	5, 7	tendococl 40796	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑆 ∘ 𝑈) ∈ 𝐸)
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑆 ∘ 𝑈) ∈ 𝐸)
15	5, 7	tendococl 40796	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
16	1, 2, 4, 15	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
17	5, 6, 7, 8	tendoplcl 40805	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∘ 𝑈) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸) → ((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸)
18	1, 14, 16, 17	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → ((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸)
19		simplll 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
20		simpllr 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑊 ∈ 𝐻)
21		simplr1 1216	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ 𝐸)
22		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
23		simplr2 1217	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ 𝐸)
24		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑔 ∈ 𝑇)
25	5, 6, 7	tendocl 40791	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝑔) ∈ 𝑇)
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝑔) ∈ 𝑇)
27		simplr3 1218	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑉 ∈ 𝐸)
28	5, 6, 7	tendocl 40791	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)
29	22, 27, 24, 28	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)
30	5, 6, 7	tendovalco 40789	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑈‘𝑔) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)) → (𝑆‘((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))) = ((𝑆‘(𝑈‘𝑔)) ∘ (𝑆‘(𝑉‘𝑔))))
31	19, 20, 21, 26, 29, 30	syl32anc 1380	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))) = ((𝑆‘(𝑈‘𝑔)) ∘ (𝑆‘(𝑉‘𝑔))))
32	8, 6	tendopl2 40801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)))
33	23, 27, 24, 32	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)))
34	33	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)) = (𝑆‘((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))))
35	5, 6, 7	tendocoval 40790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ 𝑈)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑈‘𝑔)))
36	19, 20, 21, 23, 24, 35	syl221anc 1383	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ 𝑈)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑈‘𝑔)))
37	5, 6, 7	tendocoval 40790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑉‘𝑔)))
38	19, 20, 21, 27, 24, 37	syl221anc 1383	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑉‘𝑔)))
39	36, 38	coeq12d 5849	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆 ∘ 𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔)) = ((𝑆‘(𝑈‘𝑔)) ∘ (𝑆‘(𝑉‘𝑔))))
40	31, 34, 39	3eqtr4rd 2782	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆 ∘ 𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔)) = (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
41	22, 21, 23, 13	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∘ 𝑈) ∈ 𝐸)
42	22, 21, 27, 15	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
43	8, 6	tendopl2 40801	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑈) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔)))
44	41, 42, 24, 43	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔)))
45	22, 23, 27, 9	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
46	5, 6, 7	tendocoval 40790	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
47	22, 21, 45, 24, 46	syl121anc 1377	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
48	40, 44, 47	3eqtr4rd 2782	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))‘𝑔))
49	48	ralrimiva 3133	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → ∀𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))‘𝑔))
50	5, 6, 7	tendoeq1 40788	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))‘𝑔)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) = ((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)))
51	1, 12, 18, 49, 50	syl121anc 1377	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) = ((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052   ↦ cmpt 5206   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  HLchlt 39373  LHypclh 40008  LTrncltrn 40125  TEndoctendo 40776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-riotaBAD 38976

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-undef 8277  df-map 8847  df-proset 18311  df-poset 18330  df-plt 18345  df-lub 18361  df-glb 18362  df-join 18363  df-meet 18364  df-p0 18440  df-p1 18441  df-lat 18447  df-clat 18514  df-oposet 39199  df-ol 39201  df-oml 39202  df-covers 39289  df-ats 39290  df-atl 39321  df-cvlat 39345  df-hlat 39374  df-llines 39522  df-lplanes 39523  df-lvols 39524  df-lines 39525  df-psubsp 39527  df-pmap 39528  df-padd 39820  df-lhyp 40012  df-laut 40013  df-ldil 40128  df-ltrn 40129  df-trl 40183  df-tendo 40779

This theorem is referenced by:  erngdvlem3  41014  erngdvlem3-rN  41022