Theorem tendodi1 40767

Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendopl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))

Assertion

Ref	Expression
tendodi1	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) = ((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendodi1

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simpr1 1193	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → 𝑆 ∈ 𝐸)
3		simpr2 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
4		simpr3 1195	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → 𝑉 ∈ 𝐸)
5		tendopl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		tendopl.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7		tendopl.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
8		tendopl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
9	5, 6, 7, 8	tendoplcl 40764	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
10	1, 3, 4, 9	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
11	5, 7	tendococl 40755	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸)
12	1, 2, 10, 11	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸)
13	5, 7	tendococl 40755	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑆 ∘ 𝑈) ∈ 𝐸)
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑆 ∘ 𝑈) ∈ 𝐸)
15	5, 7	tendococl 40755	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
16	1, 2, 4, 15	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
17	5, 6, 7, 8	tendoplcl 40764	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∘ 𝑈) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸) → ((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸)
18	1, 14, 16, 17	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → ((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸)
19		simplll 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
20		simpllr 776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑊 ∈ 𝐻)
21		simplr1 1214	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ 𝐸)
22		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
23		simplr2 1215	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ 𝐸)
24		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑔 ∈ 𝑇)
25	5, 6, 7	tendocl 40750	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝑔) ∈ 𝑇)
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝑔) ∈ 𝑇)
27		simplr3 1216	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑉 ∈ 𝐸)
28	5, 6, 7	tendocl 40750	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)
29	22, 27, 24, 28	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)
30	5, 6, 7	tendovalco 40748	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑈‘𝑔) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)) → (𝑆‘((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))) = ((𝑆‘(𝑈‘𝑔)) ∘ (𝑆‘(𝑉‘𝑔))))
31	19, 20, 21, 26, 29, 30	syl32anc 1377	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))) = ((𝑆‘(𝑈‘𝑔)) ∘ (𝑆‘(𝑉‘𝑔))))
32	8, 6	tendopl2 40760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)))
33	23, 27, 24, 32	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)))
34	33	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)) = (𝑆‘((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))))
35	5, 6, 7	tendocoval 40749	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ 𝑈)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑈‘𝑔)))
36	19, 20, 21, 23, 24, 35	syl221anc 1380	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ 𝑈)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑈‘𝑔)))
37	5, 6, 7	tendocoval 40749	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑉‘𝑔)))
38	19, 20, 21, 27, 24, 37	syl221anc 1380	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑉‘𝑔)))
39	36, 38	coeq12d 5878	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆 ∘ 𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔)) = ((𝑆‘(𝑈‘𝑔)) ∘ (𝑆‘(𝑉‘𝑔))))
40	31, 34, 39	3eqtr4rd 2786	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆 ∘ 𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔)) = (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
41	22, 21, 23, 13	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∘ 𝑈) ∈ 𝐸)
42	22, 21, 27, 15	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
43	8, 6	tendopl2 40760	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑈) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔)))
44	41, 42, 24, 43	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔)))
45	22, 23, 27, 9	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
46	5, 6, 7	tendocoval 40749	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
47	22, 21, 45, 24, 46	syl121anc 1374	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
48	40, 44, 47	3eqtr4rd 2786	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))‘𝑔))
49	48	ralrimiva 3144	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → ∀𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))‘𝑔))
50	5, 6, 7	tendoeq1 40747	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))‘𝑔)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) = ((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)))
51	1, 12, 18, 49, 50	syl121anc 1374	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) = ((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5693  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  TEndoctendo 40735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-riotaBAD 38935

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-undef 8297  df-map 8867  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tendo 40738

This theorem is referenced by:  erngdvlem3  40973  erngdvlem3-rN  40981