Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendodi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendodi1 39959
Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
Assertion
Ref Expression
tendodi1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑆 ∘ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)) = ((𝑆 ∘ π‘ˆ)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑑,𝑇   𝑓,π‘Š,𝑠,𝑑
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑑,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑑,𝑓,𝑠)   π‘ˆ(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑑,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑑,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendodi1
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simpr1 1193 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
3 simpr2 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
4 simpr3 1195 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
5 tendopl.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 tendopl.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 tendopl.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 tendopl.p . . . . 5 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
95, 6, 7, 8tendoplcl 39956 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) ∈ 𝐸)
101, 3, 4, 9syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) ∈ 𝐸)
115, 7tendococl 39947 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) ∈ 𝐸) β†’ (𝑆 ∘ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)) ∈ 𝐸)
121, 2, 10, 11syl3anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑆 ∘ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)) ∈ 𝐸)
135, 7tendococl 39947 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ (𝑆 ∘ π‘ˆ) ∈ 𝐸)
141, 2, 3, 13syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑆 ∘ π‘ˆ) ∈ 𝐸)
155, 7tendococl 39947 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
161, 2, 4, 15syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
175, 6, 7, 8tendoplcl 39956 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∘ π‘ˆ) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑆 ∘ π‘ˆ)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸)
181, 14, 16, 17syl3anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑆 ∘ π‘ˆ)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸)
19 simplll 772 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ HL)
20 simpllr 773 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
21 simplr1 1214 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
22 simpll 764 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
23 simplr2 1215 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
24 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
255, 6, 7tendocl 39942 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘”) ∈ 𝑇)
2622, 23, 24, 25syl3anc 1370 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘”) ∈ 𝑇)
27 simplr3 1216 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
285, 6, 7tendocl 39942 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‰β€˜π‘”) ∈ 𝑇)
2922, 27, 24, 28syl3anc 1370 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‰β€˜π‘”) ∈ 𝑇)
305, 6, 7tendovalco 39940 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∈ 𝑇 ∧ (π‘‰β€˜π‘”) ∈ 𝑇)) β†’ (π‘†β€˜((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”))) = ((π‘†β€˜(π‘ˆβ€˜π‘”)) ∘ (π‘†β€˜(π‘‰β€˜π‘”))))
3119, 20, 21, 26, 29, 30syl32anc 1377 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”))) = ((π‘†β€˜(π‘ˆβ€˜π‘”)) ∘ (π‘†β€˜(π‘‰β€˜π‘”))))
328, 6tendopl2 39952 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜π‘”) = ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”)))
3323, 27, 24, 32syl3anc 1370 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜π‘”) = ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”)))
3433fveq2d 6895 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜π‘”)) = (π‘†β€˜((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”))))
355, 6, 7tendocoval 39941 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘”) = (π‘†β€˜(π‘ˆβ€˜π‘”)))
3619, 20, 21, 23, 24, 35syl221anc 1380 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘”) = (π‘†β€˜(π‘ˆβ€˜π‘”)))
375, 6, 7tendocoval 39941 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = (π‘†β€˜(π‘‰β€˜π‘”)))
3819, 20, 21, 27, 24, 37syl221anc 1380 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = (π‘†β€˜(π‘‰β€˜π‘”)))
3936, 38coeq12d 5864 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((𝑆 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘”) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑉)β€˜π‘”)) = ((π‘†β€˜(π‘ˆβ€˜π‘”)) ∘ (π‘†β€˜(π‘‰β€˜π‘”))))
4031, 34, 393eqtr4rd 2782 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((𝑆 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘”) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑉)β€˜π‘”)) = (π‘†β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜π‘”)))
4122, 21, 23, 13syl3anc 1370 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (𝑆 ∘ π‘ˆ) ∈ 𝐸)
4222, 21, 27, 15syl3anc 1370 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
438, 6tendopl2 39952 . . . . 5 (((𝑆 ∘ π‘ˆ) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((𝑆 ∘ π‘ˆ)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))β€˜π‘”) = (((𝑆 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘”) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑉)β€˜π‘”)))
4441, 42, 24, 43syl3anc 1370 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((𝑆 ∘ π‘ˆ)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))β€˜π‘”) = (((𝑆 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘”) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑉)β€˜π‘”)))
4522, 23, 27, 9syl3anc 1370 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) ∈ 𝐸)
465, 6, 7tendocoval 39941 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∘ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰))β€˜π‘”) = (π‘†β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜π‘”)))
4722, 21, 45, 24, 46syl121anc 1374 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∘ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰))β€˜π‘”) = (π‘†β€˜((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜π‘”)))
4840, 44, 473eqtr4rd 2782 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∘ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰))β€˜π‘”) = (((𝑆 ∘ π‘ˆ)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))β€˜π‘”))
4948ralrimiva 3145 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ βˆ€π‘” ∈ 𝑇 ((𝑆 ∘ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰))β€˜π‘”) = (((𝑆 ∘ π‘ˆ)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))β€˜π‘”))
505, 6, 7tendoeq1 39939 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑆 ∘ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑆 ∘ π‘ˆ)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘” ∈ 𝑇 ((𝑆 ∘ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰))β€˜π‘”) = (((𝑆 ∘ π‘ˆ)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))β€˜π‘”)) β†’ (𝑆 ∘ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)) = ((𝑆 ∘ π‘ˆ)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)))
511, 12, 18, 49, 50syl121anc 1374 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑆 ∘ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)) = ((𝑆 ∘ π‘ˆ)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  HLchlt 38524  LHypclh 39159  LTrncltrn 39276  TEndoctendo 39927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-riotaBAD 38127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-undef 8261  df-map 8825  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334  df-tendo 39930
This theorem is referenced by:  erngdvlem3  40165  erngdvlem3-rN  40173
  Copyright terms: Public domain W3C validator