Theorem tendodi1 41642

Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendopl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))

Assertion

Ref	Expression
tendodi1	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) = ((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝑆(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝑈(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝐾(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝑉(𝑡, 𝑓, 𝑠)

Proof of Theorem tendodi1

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simpr1 1213	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → 𝑆 ∈ 𝐸)
3		simpr2 1214	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
4		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → 𝑉 ∈ 𝐸)
5		tendopl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		tendopl.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7		tendopl.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
8		tendopl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
9	5, 6, 7, 8	tendoplcl 41639	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
10	1, 3, 4, 9	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
11	5, 7	tendococl 41630	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸)
12	1, 2, 10, 11	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸)
13	5, 7	tendococl 41630	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑆 ∘ 𝑈) ∈ 𝐸)
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑆 ∘ 𝑈) ∈ 𝐸)
15	5, 7	tendococl 41630	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
16	1, 2, 4, 15	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
17	5, 6, 7, 8	tendoplcl 41639	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∘ 𝑈) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸) → ((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸)
18	1, 14, 16, 17	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → ((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸)
19		simplll 787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
20		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑊 ∈ 𝐻)
21		simplr1 1234	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ 𝐸)
22		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
23		simplr2 1235	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ 𝐸)
24		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑔 ∈ 𝑇)
25	5, 6, 7	tendocl 41625	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝑔) ∈ 𝑇)
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝑔) ∈ 𝑇)
27		simplr3 1236	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑉 ∈ 𝐸)
28	5, 6, 7	tendocl 41625	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)
29	22, 27, 24, 28	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)
30	5, 6, 7	tendovalco 41623	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ ((𝑈‘𝑔) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)) → (𝑆‘((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))) = ((𝑆‘(𝑈‘𝑔)) ∘ (𝑆‘(𝑉‘𝑔))))
31	19, 20, 21, 26, 29, 30	syl32anc 1405	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))) = ((𝑆‘(𝑈‘𝑔)) ∘ (𝑆‘(𝑉‘𝑔))))
32	8, 6	tendopl2 41635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)))
33	23, 27, 24, 32	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)))
34	33	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)) = (𝑆‘((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔))))
35	5, 6, 7	tendocoval 41624	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ 𝑈)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑈‘𝑔)))
36	19, 20, 21, 23, 24, 35	syl221anc 1408	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ 𝑈)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑈‘𝑔)))
37	5, 6, 7	tendocoval 41624	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑉‘𝑔)))
38	19, 20, 21, 27, 24, 37	syl221anc 1408	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑉‘𝑔)))
39	36, 38	coeq12d 5848	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆 ∘ 𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔)) = ((𝑆‘(𝑈‘𝑔)) ∘ (𝑆‘(𝑉‘𝑔))))
40	31, 34, 39	3eqtr4rd 2808	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆 ∘ 𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔)) = (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
41	22, 21, 23, 13	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∘ 𝑈) ∈ 𝐸)
42	22, 21, 27, 15	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
43	8, 6	tendopl2 41635	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑈) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔)))
44	41, 42, 24, 43	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔)))
45	22, 23, 27, 9	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
46	5, 6, 7	tendocoval 41624	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
47	22, 21, 45, 24, 46	syl121anc 1402	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
48	40, 44, 47	3eqtr4rd 2808	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))‘𝑔))
49	48	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → ∀𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))‘𝑔))
50	5, 6, 7	tendoeq1 41622	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉))‘𝑔)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) = ((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)))
51	1, 12, 18, 49, 50	syl121anc 1402	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) = ((𝑆 ∘ 𝑈)𝑃(𝑆 ∘ 𝑉)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ↦ cmpt 5190   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  HLchlt 40208  LHypclh 40842  LTrncltrn 40959  TEndoctendo 41610

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-riotaBAD 39811

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-undef 8274  df-map 8831  df-proset 18384  df-poset 18403  df-plt 18418  df-lub 18434  df-glb 18435  df-join 18436  df-meet 18437  df-p0 18513  df-p1 18514  df-lat 18522  df-clat 18589  df-oposet 40034  df-ol 40036  df-oml 40037  df-covers 40124  df-ats 40125  df-atl 40156  df-cvlat 40180  df-hlat 40209  df-llines 40356  df-lplanes 40357  df-lvols 40358  df-lines 40359  df-psubsp 40361  df-pmap 40362  df-padd 40654  df-lhyp 40846  df-laut 40847  df-ldil 40962  df-ltrn 40963  df-trl 41017  df-tendo 41613

This theorem is used by:  erngdvlem3  41848  erngdvlem3-rN  41856