Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendodi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendodi1 38026
 Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
Assertion
Ref Expression
tendodi1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) = ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendodi1
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpr1 1191 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → 𝑆𝐸)
3 simpr2 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → 𝑈𝐸)
4 simpr3 1193 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → 𝑉𝐸)
5 tendopl.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 tendopl.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7 tendopl.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
8 tendopl.p . . . . 5 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
95, 6, 7, 8tendoplcl 38023 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
101, 3, 4, 9syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
115, 7tendococl 38014 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸)
121, 2, 10, 11syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸)
135, 7tendococl 38014 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑈𝐸) → (𝑆𝑈) ∈ 𝐸)
141, 2, 3, 13syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆𝑈) ∈ 𝐸)
155, 7tendococl 38014 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑉𝐸) → (𝑆𝑉) ∈ 𝐸)
161, 2, 4, 15syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆𝑉) ∈ 𝐸)
175, 6, 7, 8tendoplcl 38023 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝑈) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆𝑉) ∈ 𝐸) → ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)) ∈ 𝐸)
181, 14, 16, 17syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)) ∈ 𝐸)
19 simplll 774 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
20 simpllr 775 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑊𝐻)
21 simplr1 1212 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑆𝐸)
22 simpll 766 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
23 simplr2 1213 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑈𝐸)
24 simpr 488 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑔𝑇)
255, 6, 7tendocl 38009 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑔𝑇) → (𝑈𝑔) ∈ 𝑇)
2622, 23, 24, 25syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑈𝑔) ∈ 𝑇)
27 simplr3 1214 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑉𝐸)
285, 6, 7tendocl 38009 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝑔𝑇) → (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)
2922, 27, 24, 28syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)
305, 6, 7tendovalco 38007 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑆𝐸) ∧ ((𝑈𝑔) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)) → (𝑆‘((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔))) = ((𝑆‘(𝑈𝑔)) ∘ (𝑆‘(𝑉𝑔))))
3119, 20, 21, 26, 29, 30syl32anc 1375 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆‘((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔))) = ((𝑆‘(𝑈𝑔)) ∘ (𝑆‘(𝑉𝑔))))
328, 6tendopl2 38019 . . . . . . 7 ((𝑈𝐸𝑉𝐸𝑔𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)))
3323, 27, 24, 32syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)))
3433fveq2d 6666 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)) = (𝑆‘((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔))))
355, 6, 7tendocoval 38008 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑈)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑈𝑔)))
3619, 20, 21, 23, 24, 35syl221anc 1378 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑈)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑈𝑔)))
375, 6, 7tendocoval 38008 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑉)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑉𝑔)))
3819, 20, 21, 27, 24, 37syl221anc 1378 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑉)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑉𝑔)))
3936, 38coeq12d 5723 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆𝑉)‘𝑔)) = ((𝑆‘(𝑈𝑔)) ∘ (𝑆‘(𝑉𝑔))))
4031, 34, 393eqtr4rd 2870 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆𝑉)‘𝑔)) = (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
4122, 21, 23, 13syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑈) ∈ 𝐸)
4222, 21, 27, 15syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑉) ∈ 𝐸)
438, 6tendopl2 38019 . . . . 5 (((𝑆𝑈) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆𝑉) ∈ 𝐸𝑔𝑇) → (((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆𝑉)‘𝑔)))
4441, 42, 24, 43syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑈)‘𝑔) ∘ ((𝑆𝑉)‘𝑔)))
4522, 23, 27, 9syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
465, 6, 7tendocoval 38008 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸 ∧ (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
4722, 21, 45, 24, 46syl121anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (𝑆‘((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
4840, 44, 473eqtr4rd 2870 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉))‘𝑔))
4948ralrimiva 3177 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ∀𝑔𝑇 ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉))‘𝑔))
505, 6, 7tendoeq1 38006 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)) ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑔𝑇 ((𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉))‘𝑔)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) = ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)))
511, 12, 18, 49, 50syl121anc 1372 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆 ∘ (𝑈𝑃𝑉)) = ((𝑆𝑈)𝑃(𝑆𝑉)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133   ↦ cmpt 5133   ∘ ccom 5547  ‘cfv 6344  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  HLchlt 36592  LHypclh 37226  LTrncltrn 37343  TEndoctendo 37994 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-riotaBAD 36195 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-undef 7936  df-map 8405  df-proset 17541  df-poset 17559  df-plt 17571  df-lub 17587  df-glb 17588  df-join 17589  df-meet 17590  df-p0 17652  df-p1 17653  df-lat 17659  df-clat 17721  df-oposet 36418  df-ol 36420  df-oml 36421  df-covers 36508  df-ats 36509  df-atl 36540  df-cvlat 36564  df-hlat 36593  df-llines 36740  df-lplanes 36741  df-lvols 36742  df-lines 36743  df-psubsp 36745  df-pmap 36746  df-padd 37038  df-lhyp 37230  df-laut 37231  df-ldil 37346  df-ltrn 37347  df-trl 37401  df-tendo 37997 This theorem is referenced by:  erngdvlem3  38232  erngdvlem3-rN  38240
 Copyright terms: Public domain W3C validator