Theorem tendoplcom 41839

Description: The endomorphism sum operation is commutative. (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendopl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))

Assertion

Ref	Expression
tendoplcom	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑉𝑃𝑈))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝑈(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝐾(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝑉(𝑡, 𝑓, 𝑠)

Proof of Theorem tendoplcom

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		tendopl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendopl.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		tendopl.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
5		tendopl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
6	2, 3, 4, 5	tendoplcl 41838	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
7	2, 3, 4, 5	tendoplcl 41838	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑉𝑃𝑈) ∈ 𝐸)
8	7	3com23 1144	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑉𝑃𝑈) ∈ 𝐸)
9		simpl1 1210	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ 𝐸)
11		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑔 ∈ 𝑇)
12	2, 3, 4	tendocl 41824	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝑔) ∈ 𝑇)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝑔) ∈ 𝑇)
14		simpl3 1212	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑉 ∈ 𝐸)
15	2, 3, 4	tendocl 41824	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)
16	9, 14, 11, 15	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)
17	2, 3	ltrncom 41795	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝑔) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇) → ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)) = ((𝑉‘𝑔) ∘ (𝑈‘𝑔)))
18	9, 13, 16, 17	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)) = ((𝑉‘𝑔) ∘ (𝑈‘𝑔)))
19	5, 3	tendopl2 41834	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)))
20	10, 14, 11, 19	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑈‘𝑔) ∘ (𝑉‘𝑔)))
21	5, 3	tendopl2 41834	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑉𝑃𝑈)‘𝑔) = ((𝑉‘𝑔) ∘ (𝑈‘𝑔)))
22	14, 10, 11, 21	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑉𝑃𝑈)‘𝑔) = ((𝑉‘𝑔) ∘ (𝑈‘𝑔)))
23	18, 20, 22	3eqtr4d 2806	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑉𝑃𝑈)‘𝑔))
24	23	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → ∀𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑉𝑃𝑈)‘𝑔))
25	2, 3, 4	tendoeq1 41821	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (𝑉𝑃𝑈) ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑉𝑃𝑈)‘𝑔)) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑉𝑃𝑈))
26	1, 6, 8, 24, 25	syl121anc 1402	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑉𝑃𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  HLchlt 40407  LHypclh 41041  LTrncltrn 41158  TEndoctendo 41809

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-riotaBAD 40010

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-undef 8290  df-map 8849  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-oposet 40233  df-ol 40235  df-oml 40236  df-covers 40323  df-ats 40324  df-atl 40355  df-cvlat 40379  df-hlat 40408  df-llines 40555  df-lplanes 40556  df-lvols 40557  df-lines 40558  df-psubsp 40560  df-pmap 40561  df-padd 40853  df-lhyp 41045  df-laut 41046  df-ldil 41161  df-ltrn 41162  df-trl 41216  df-tendo 41812

This theorem is used by:  tendo0plr  41849  tendoipl2  41855  erngdvlem2N  42046  erngdvlem2-rN  42054  dvhvaddcomN  42153