Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoplcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoplcom 39969
Description: The endomorphism sum operation is commutative. (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
Assertion
Ref Expression
tendoplcom (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑉𝑃𝑈))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoplcom
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 tendopl.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendopl.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 tendopl.e . . 3 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
5 tendopl.p . . 3 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
62, 3, 4, 5tendoplcl 39968 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
72, 3, 4, 5tendoplcl 39968 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝑈𝐸) → (𝑉𝑃𝑈) ∈ 𝐸)
873com23 1125 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑉𝑃𝑈) ∈ 𝐸)
9 simpl1 1190 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 simpl2 1191 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑈𝐸)
11 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑔𝑇)
122, 3, 4tendocl 39954 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑔𝑇) → (𝑈𝑔) ∈ 𝑇)
139, 10, 11, 12syl3anc 1370 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑈𝑔) ∈ 𝑇)
14 simpl3 1192 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑉𝐸)
152, 3, 4tendocl 39954 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝑔𝑇) → (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)
169, 14, 11, 15syl3anc 1370 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)
172, 3ltrncom 39925 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝑔) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉𝑔) ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)) = ((𝑉𝑔) ∘ (𝑈𝑔)))
189, 13, 16, 17syl3anc 1370 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)) = ((𝑉𝑔) ∘ (𝑈𝑔)))
195, 3tendopl2 39964 . . . . 5 ((𝑈𝐸𝑉𝐸𝑔𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)))
2010, 14, 11, 19syl3anc 1370 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)))
215, 3tendopl2 39964 . . . . 5 ((𝑉𝐸𝑈𝐸𝑔𝑇) → ((𝑉𝑃𝑈)‘𝑔) = ((𝑉𝑔) ∘ (𝑈𝑔)))
2214, 10, 11, 21syl3anc 1370 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑉𝑃𝑈)‘𝑔) = ((𝑉𝑔) ∘ (𝑈𝑔)))
2318, 20, 223eqtr4d 2781 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑉𝑃𝑈)‘𝑔))
2423ralrimiva 3145 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → ∀𝑔𝑇 ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑉𝑃𝑈)‘𝑔))
252, 3, 4tendoeq1 39951 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (𝑉𝑃𝑈) ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑔𝑇 ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑉𝑃𝑈)‘𝑔)) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑉𝑃𝑈))
261, 6, 8, 24, 25syl121anc 1374 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑉𝑃𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  cmpt 5231  ccom 5680  cfv 6543  (class class class)co 7412  cmpo 7414  HLchlt 38536  LHypclh 39171  LTrncltrn 39288  TEndoctendo 39939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-riotaBAD 38139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-undef 8264  df-map 8828  df-proset 18255  df-poset 18273  df-plt 18290  df-lub 18306  df-glb 18307  df-join 18308  df-meet 18309  df-p0 18385  df-p1 18386  df-lat 18392  df-clat 18459  df-oposet 38362  df-ol 38364  df-oml 38365  df-covers 38452  df-ats 38453  df-atl 38484  df-cvlat 38508  df-hlat 38537  df-llines 38685  df-lplanes 38686  df-lvols 38687  df-lines 38688  df-psubsp 38690  df-pmap 38691  df-padd 38983  df-lhyp 39175  df-laut 39176  df-ldil 39291  df-ltrn 39292  df-trl 39346  df-tendo 39942
This theorem is referenced by:  tendo0plr  39979  tendoipl2  39985  erngdvlem2N  40176  erngdvlem2-rN  40184  dvhvaddcomN  40283
  Copyright terms: Public domain W3C validator