Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoplcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoplcom 38036
 Description: The endomorphism sum operation is commutative. (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
Assertion
Ref Expression
tendoplcom (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑉𝑃𝑈))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoplcom
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 tendopl.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendopl.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 tendopl.e . . 3 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
5 tendopl.p . . 3 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
62, 3, 4, 5tendoplcl 38035 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
72, 3, 4, 5tendoplcl 38035 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝑈𝐸) → (𝑉𝑃𝑈) ∈ 𝐸)
873com23 1123 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑉𝑃𝑈) ∈ 𝐸)
9 simpl1 1188 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 simpl2 1189 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑈𝐸)
11 simpr 488 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑔𝑇)
122, 3, 4tendocl 38021 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑔𝑇) → (𝑈𝑔) ∈ 𝑇)
139, 10, 11, 12syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑈𝑔) ∈ 𝑇)
14 simpl3 1190 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑉𝐸)
152, 3, 4tendocl 38021 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝑔𝑇) → (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)
169, 14, 11, 15syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)
172, 3ltrncom 37992 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝑔) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉𝑔) ∈ 𝑇) → ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)) = ((𝑉𝑔) ∘ (𝑈𝑔)))
189, 13, 16, 17syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)) = ((𝑉𝑔) ∘ (𝑈𝑔)))
195, 3tendopl2 38031 . . . . 5 ((𝑈𝐸𝑉𝐸𝑔𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)))
2010, 14, 11, 19syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)))
215, 3tendopl2 38031 . . . . 5 ((𝑉𝐸𝑈𝐸𝑔𝑇) → ((𝑉𝑃𝑈)‘𝑔) = ((𝑉𝑔) ∘ (𝑈𝑔)))
2214, 10, 11, 21syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑉𝑃𝑈)‘𝑔) = ((𝑉𝑔) ∘ (𝑈𝑔)))
2318, 20, 223eqtr4d 2867 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑉𝑃𝑈)‘𝑔))
2423ralrimiva 3174 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → ∀𝑔𝑇 ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑉𝑃𝑈)‘𝑔))
252, 3, 4tendoeq1 38018 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (𝑉𝑃𝑈) ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑔𝑇 ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑉𝑃𝑈)‘𝑔)) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑉𝑃𝑈))
261, 6, 8, 24, 25syl121anc 1372 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) = (𝑉𝑃𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∀wral 3130   ↦ cmpt 5122   ∘ ccom 5536  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ∈ cmpo 7142  HLchlt 36604  LHypclh 37238  LTrncltrn 37355  TEndoctendo 38006 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-riotaBAD 36207 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-undef 7926  df-map 8395  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-p1 17641  df-lat 17647  df-clat 17709  df-oposet 36430  df-ol 36432  df-oml 36433  df-covers 36520  df-ats 36521  df-atl 36552  df-cvlat 36576  df-hlat 36605  df-llines 36752  df-lplanes 36753  df-lvols 36754  df-lines 36755  df-psubsp 36757  df-pmap 36758  df-padd 37050  df-lhyp 37242  df-laut 37243  df-ldil 37358  df-ltrn 37359  df-trl 37413  df-tendo 38009 This theorem is referenced by:  tendo0plr  38046  tendoipl2  38052  erngdvlem2N  38243  erngdvlem2-rN  38251  dvhvaddcomN  38350
 Copyright terms: Public domain W3C validator