Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0pl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendo0pl 40175
Description: Property of the additive identity endormorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendo0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendo0.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendo0.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendo0.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendo0.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
tendo0pl.p 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
Assertion
Ref Expression
tendo0pl (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (𝑂𝑃𝑆) = 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑇,𝑓   𝑑,𝑠,𝐸   𝑇,𝑠,𝑑,𝑓   𝑓,π‘Š,𝑠,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑑,𝑠)   𝑃(𝑑,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑑,𝑓,𝑠)   𝑂(𝑑,𝑓,𝑠)
Proof of Theorem tendo0pl
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 tendo0.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 tendo0.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 tendo0.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 tendo0.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 tendo0.o . . . . 5 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
72, 3, 4, 5, 6tendo0cl 40174 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑂 ∈ 𝐸)
87adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ 𝑂 ∈ 𝐸)
9 simpr 484 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
10 tendo0pl.p . . . 4 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
113, 4, 5, 10tendoplcl 40165 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑂 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (𝑂𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
121, 8, 9, 11syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (𝑂𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
13 simpll 764 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
1413, 7syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑂 ∈ 𝐸)
15 simplr 766 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
16 simpr 484 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
1710, 4tendopl2 40161 . . . . 5 ((𝑂 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑂𝑃𝑆)β€˜π‘”) = ((π‘‚β€˜π‘”) ∘ (π‘†β€˜π‘”)))
1814, 15, 16, 17syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑂𝑃𝑆)β€˜π‘”) = ((π‘‚β€˜π‘”) ∘ (π‘†β€˜π‘”)))
196, 2tendo02 40171 . . . . . 6 (𝑔 ∈ 𝑇 β†’ (π‘‚β€˜π‘”) = ( I β†Ύ 𝐡))
2019adantl 481 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‚β€˜π‘”) = ( I β†Ύ 𝐡))
2120coeq1d 5855 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘‚β€˜π‘”) ∘ (π‘†β€˜π‘”)) = (( I β†Ύ 𝐡) ∘ (π‘†β€˜π‘”)))
223, 4, 5tendocl 40151 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜π‘”) ∈ 𝑇)
23223expa 1115 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜π‘”) ∈ 𝑇)
242, 3, 4ltrn1o 39508 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜π‘”) ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜π‘”):𝐡–1-1-onto→𝐡)
2513, 23, 24syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜π‘”):𝐡–1-1-onto→𝐡)
26 f1of 6827 . . . . 5 ((π‘†β€˜π‘”):𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ (π‘†β€˜π‘”):𝐡⟢𝐡)
27 fcoi2 6760 . . . . 5 ((π‘†β€˜π‘”):𝐡⟢𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ (π‘†β€˜π‘”)) = (π‘†β€˜π‘”))
2825, 26, 273syl 18 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ (π‘†β€˜π‘”)) = (π‘†β€˜π‘”))
2918, 21, 283eqtrd 2770 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑂𝑃𝑆)β€˜π‘”) = (π‘†β€˜π‘”))
3029ralrimiva 3140 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ βˆ€π‘” ∈ 𝑇 ((𝑂𝑃𝑆)β€˜π‘”) = (π‘†β€˜π‘”))
313, 4, 5tendoeq1 40148 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑂𝑃𝑆) ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘” ∈ 𝑇 ((𝑂𝑃𝑆)β€˜π‘”) = (π‘†β€˜π‘”)) β†’ (𝑂𝑃𝑆) = 𝑆)
321, 12, 9, 30, 31syl121anc 1372 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (𝑂𝑃𝑆) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   ↦ cmpt 5224   I cid 5566   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Basecbs 17153  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  TEndoctendo 40136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8259  df-map 8824  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tendo 40139
This theorem is referenced by:  tendo0plr  40176  erngdvlem1  40372  erngdvlem4  40375  erng0g  40378  erngdvlem1-rN  40380  erngdvlem4-rN  40383  dvh0g  40495  dvhopN  40500  diblss  40554  diblsmopel  40555
  Copyright terms: Public domain W3C validator