Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0pl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendo0pl 38046
Description: Property of the additive identity endormorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendo0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendo0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendo0.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
tendo0pl.p 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
Assertion
Ref Expression
tendo0pl (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) = 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓   𝑡,𝑠,𝐸   𝑇,𝑠,𝑡,𝑓   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑡,𝑠)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑂(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendo0pl
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 tendo0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 tendo0.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 tendo0.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 tendo0.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6 tendo0.o . . . . 5 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
72, 3, 4, 5, 6tendo0cl 38045 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
87adantr 484 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → 𝑂𝐸)
9 simpr 488 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → 𝑆𝐸)
10 tendo0pl.p . . . 4 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
113, 4, 5, 10tendoplcl 38036 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑂𝐸𝑆𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
121, 8, 9, 11syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
13 simpll 766 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
1413, 7syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑂𝐸)
15 simplr 768 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑆𝐸)
16 simpr 488 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑔𝑇)
1710, 4tendopl2 38032 . . . . 5 ((𝑂𝐸𝑆𝐸𝑔𝑇) → ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = ((𝑂𝑔) ∘ (𝑆𝑔)))
1814, 15, 16, 17syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = ((𝑂𝑔) ∘ (𝑆𝑔)))
196, 2tendo02 38042 . . . . . 6 (𝑔𝑇 → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
2019adantl 485 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
2120coeq1d 5709 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑂𝑔) ∘ (𝑆𝑔)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑆𝑔)))
223, 4, 5tendocl 38022 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑔𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
23223expa 1115 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
242, 3, 4ltrn1o 37379 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝑔) ∈ 𝑇) → (𝑆𝑔):𝐵1-1-onto𝐵)
2513, 23, 24syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑔):𝐵1-1-onto𝐵)
26 f1of 6597 . . . . 5 ((𝑆𝑔):𝐵1-1-onto𝐵 → (𝑆𝑔):𝐵𝐵)
27 fcoi2 6534 . . . . 5 ((𝑆𝑔):𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑆𝑔)) = (𝑆𝑔))
2825, 26, 273syl 18 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑆𝑔)) = (𝑆𝑔))
2918, 21, 283eqtrd 2861 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔))
3029ralrimiva 3174 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → ∀𝑔𝑇 ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔))
313, 4, 5tendoeq1 38019 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑂𝑃𝑆) ∈ 𝐸𝑆𝐸) ∧ ∀𝑔𝑇 ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔)) → (𝑂𝑃𝑆) = 𝑆)
321, 12, 9, 30, 31syl121anc 1372 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wral 3130  cmpt 5122   I cid 5436  cres 5534  ccom 5536  wf 6330  1-1-ontowf1o 6333  cfv 6334  (class class class)co 7140  cmpo 7142  Basecbs 16474  HLchlt 36605  LHypclh 37239  LTrncltrn 37356  TEndoctendo 38007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-riotaBAD 36208
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-undef 7926  df-map 8395  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-p1 17641  df-lat 17647  df-clat 17709  df-oposet 36431  df-ol 36433  df-oml 36434  df-covers 36521  df-ats 36522  df-atl 36553  df-cvlat 36577  df-hlat 36606  df-llines 36753  df-lplanes 36754  df-lvols 36755  df-lines 36756  df-psubsp 36758  df-pmap 36759  df-padd 37051  df-lhyp 37243  df-laut 37244  df-ldil 37359  df-ltrn 37360  df-trl 37414  df-tendo 38010
This theorem is referenced by:  tendo0plr  38047  erngdvlem1  38243  erngdvlem4  38246  erng0g  38249  erngdvlem1-rN  38251  erngdvlem4-rN  38254  dvh0g  38366  dvhopN  38371  diblss  38425  diblsmopel  38426
  Copyright terms: Public domain W3C validator