Theorem tendo0pl 41415

Description: Property of the additive identity endormorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendo0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendo0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendo0.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
tendo0pl.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))

Assertion

Ref	Expression
tendo0pl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓   𝑡,𝑠,𝐸   𝑇,𝑠,𝑡,𝑓   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑡,𝑠)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑂(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendo0pl

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		tendo0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		tendo0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		tendo0.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		tendo0.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		tendo0.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
7	2, 3, 4, 5, 6	tendo0cl 41414	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ 𝐸)
8	7	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → 𝑂 ∈ 𝐸)
9		simpr 488	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → 𝑆 ∈ 𝐸)
10		tendo0pl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
11	3, 4, 5, 10	tendoplcl 41405	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑂 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
12	1, 8, 9, 11	syl3anc 1390	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
13		simpll 776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
14	13, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑂 ∈ 𝐸)
15		simplr 778	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ 𝐸)
16		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑔 ∈ 𝑇)
17	10, 4	tendopl2 41401	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = ((𝑂‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)))
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = ((𝑂‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)))
19	6, 2	tendo02 41411	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑇 → (𝑂‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
20	19	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑂‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
21	20	coeq1d 5833	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑂‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑆‘𝑔)))
22	3, 4, 5	tendocl 41391	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
23	22	3expa 1131	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
24	2, 3, 4	ltrn1o 40748	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔):𝐵–1-1-onto→𝐵)
25	13, 23, 24	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔):𝐵–1-1-onto→𝐵)
26		f1of 6806	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑔):𝐵–1-1-onto→𝐵 → (𝑆‘𝑔):𝐵⟶𝐵)
27		fcoi2 6739	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑔):𝐵⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑆‘𝑔)) = (𝑆‘𝑔))
28	25, 26, 27	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑆‘𝑔)) = (𝑆‘𝑔))
29	18, 21, 28	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑆‘𝑔))
30	29	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ∀𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑆‘𝑔))
31	3, 4, 5	tendoeq1 41388	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑂𝑃𝑆) ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑆‘𝑔)) → (𝑂𝑃𝑆) = 𝑆)
32	1, 12, 9, 30, 31	syl121anc 1394	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076   ↦ cmpt 5181   I cid 5541   ↾ cres 5649   ∘ ccom 5651  ⟶wf 6517  –1-1-onto→wf1o 6520  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∈ cmpo 7398  Basecbs 17245  HLchlt 39974  LHypclh 40608  LTrncltrn 40725  TEndoctendo 41376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-riotaBAD 39577

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-undef 8253  df-map 8810  df-proset 18326  df-poset 18345  df-plt 18360  df-lub 18376  df-glb 18377  df-join 18378  df-meet 18379  df-p0 18455  df-p1 18456  df-lat 18464  df-clat 18531  df-oposet 39800  df-ol 39802  df-oml 39803  df-covers 39890  df-ats 39891  df-atl 39922  df-cvlat 39946  df-hlat 39975  df-llines 40122  df-lplanes 40123  df-lvols 40124  df-lines 40125  df-psubsp 40127  df-pmap 40128  df-padd 40420  df-lhyp 40612  df-laut 40613  df-ldil 40728  df-ltrn 40729  df-trl 40783  df-tendo 41379

This theorem is referenced by:  tendo0plr  41416  erngdvlem1  41612  erngdvlem4  41615  erng0g  41618  erngdvlem1-rN  41620  erngdvlem4-rN  41623  dvh0g  41735  dvhopN  41740  diblss  41794  diblsmopel  41795