Theorem tendo0pl 41585

Description: Property of the additive identity endormorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendo0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendo0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendo0.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
tendo0pl.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))

Assertion

Ref	Expression
tendo0pl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓   𝑡,𝑠,𝐸   𝑇,𝑠,𝑡,𝑓   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑡,𝑠)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑂(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendo0pl

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		tendo0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		tendo0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		tendo0.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		tendo0.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		tendo0.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
7	2, 3, 4, 5, 6	tendo0cl 41584	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ 𝐸)
8	7	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → 𝑂 ∈ 𝐸)
9		simpr 489	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → 𝑆 ∈ 𝐸)
10		tendo0pl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
11	3, 4, 5, 10	tendoplcl 41575	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑂 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
12	1, 8, 9, 11	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
13		simpll 778	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
14	13, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑂 ∈ 𝐸)
15		simplr 780	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ 𝐸)
16		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑔 ∈ 𝑇)
17	10, 4	tendopl2 41571	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = ((𝑂‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)))
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = ((𝑂‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)))
19	6, 2	tendo02 41581	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑇 → (𝑂‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
20	19	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑂‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
21	20	coeq1d 5847	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑂‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑆‘𝑔)))
22	3, 4, 5	tendocl 41561	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
23	22	3expa 1136	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
24	2, 3, 4	ltrn1o 40918	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔):𝐵–1-1-onto→𝐵)
25	13, 23, 24	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔):𝐵–1-1-onto→𝐵)
26		f1of 6820	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑔):𝐵–1-1-onto→𝐵 → (𝑆‘𝑔):𝐵⟶𝐵)
27		fcoi2 6753	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑔):𝐵⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑆‘𝑔)) = (𝑆‘𝑔))
28	25, 26, 27	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑆‘𝑔)) = (𝑆‘𝑔))
29	18, 21, 28	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑆‘𝑔))
30	29	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ∀𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑆‘𝑔))
31	3, 4, 5	tendoeq1 41558	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑂𝑃𝑆) ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑆‘𝑔)) → (𝑂𝑃𝑆) = 𝑆)
32	1, 12, 9, 30, 31	syl121anc 1402	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ↦ cmpt 5192   I cid 5555   ↾ cres 5663   ∘ ccom 5665  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  Basecbs 17264  HLchlt 40144  LHypclh 40778  LTrncltrn 40895  TEndoctendo 41546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-riotaBAD 39747

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-undef 8265  df-map 8822  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-p1 18475  df-lat 18483  df-clat 18550  df-oposet 39970  df-ol 39972  df-oml 39973  df-covers 40060  df-ats 40061  df-atl 40092  df-cvlat 40116  df-hlat 40145  df-llines 40292  df-lplanes 40293  df-lvols 40294  df-lines 40295  df-psubsp 40297  df-pmap 40298  df-padd 40590  df-lhyp 40782  df-laut 40783  df-ldil 40898  df-ltrn 40899  df-trl 40953  df-tendo 41549

This theorem is referenced by:  tendo0plr  41586  erngdvlem1  41782  erngdvlem4  41785  erng0g  41788  erngdvlem1-rN  41790  erngdvlem4-rN  41793  dvh0g  41905  dvhopN  41910  diblss  41964  diblsmopel  41965