Theorem tendo0pl 40778

Description: Property of the additive identity endormorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendo0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendo0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendo0.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
tendo0pl.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))

Assertion

Ref	Expression
tendo0pl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓   𝑡,𝑠,𝐸   𝑇,𝑠,𝑡,𝑓   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑡,𝑠)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑂(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendo0pl

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		tendo0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		tendo0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		tendo0.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		tendo0.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		tendo0.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
7	2, 3, 4, 5, 6	tendo0cl 40777	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ 𝐸)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → 𝑂 ∈ 𝐸)
9		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → 𝑆 ∈ 𝐸)
10		tendo0pl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
11	3, 4, 5, 10	tendoplcl 40768	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑂 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
12	1, 8, 9, 11	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
13		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
14	13, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑂 ∈ 𝐸)
15		simplr 768	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ 𝐸)
16		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑔 ∈ 𝑇)
17	10, 4	tendopl2 40764	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = ((𝑂‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)))
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = ((𝑂‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)))
19	6, 2	tendo02 40774	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑇 → (𝑂‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑂‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
21	20	coeq1d 5815	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑂‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑆‘𝑔)))
22	3, 4, 5	tendocl 40754	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
23	22	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
24	2, 3, 4	ltrn1o 40111	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔):𝐵–1-1-onto→𝐵)
25	13, 23, 24	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔):𝐵–1-1-onto→𝐵)
26		f1of 6782	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑔):𝐵–1-1-onto→𝐵 → (𝑆‘𝑔):𝐵⟶𝐵)
27		fcoi2 6717	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑔):𝐵⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑆‘𝑔)) = (𝑆‘𝑔))
28	25, 26, 27	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑆‘𝑔)) = (𝑆‘𝑔))
29	18, 21, 28	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑆‘𝑔))
30	29	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ∀𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑆‘𝑔))
31	3, 4, 5	tendoeq1 40751	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑂𝑃𝑆) ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝑇 ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑆‘𝑔)) → (𝑂𝑃𝑆) = 𝑆)
32	1, 12, 9, 30, 31	syl121anc 1377	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ↦ cmpt 5183   I cid 5525   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6495  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  Basecbs 17155  HLchlt 39336  LHypclh 39971  LTrncltrn 40088  TEndoctendo 40739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-riotaBAD 38939

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-undef 8229  df-map 8778  df-proset 18235  df-poset 18254  df-plt 18269  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-p0 18364  df-p1 18365  df-lat 18373  df-clat 18440  df-oposet 39162  df-ol 39164  df-oml 39165  df-covers 39252  df-ats 39253  df-atl 39284  df-cvlat 39308  df-hlat 39337  df-llines 39485  df-lplanes 39486  df-lvols 39487  df-lines 39488  df-psubsp 39490  df-pmap 39491  df-padd 39783  df-lhyp 39975  df-laut 39976  df-ldil 40091  df-ltrn 40092  df-trl 40146  df-tendo 40742

This theorem is referenced by:  tendo0plr  40779  erngdvlem1  40975  erngdvlem4  40978  erng0g  40981  erngdvlem1-rN  40983  erngdvlem4-rN  40986  dvh0g  41098  dvhopN  41103  diblss  41157  diblsmopel  41158