Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoeq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoeq2 37361
Description: Condition determining equality of two trace-preserving endomorphisms, showing it is unnecessary to consider the identity translation. In tendocan 37411, we show that we only need to consider a single non-identity translation. (Contributed by NM, 21-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoeq2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoeq2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoeq2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoeq2.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendoeq2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ ∀𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))) → 𝑈 = 𝑉)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem tendoeq2
StepHypRef Expression
1 tendoeq2.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 tendoeq2.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendoeq2.e . . . . . . . 8 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3tendoid 37360 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
54adantrr 704 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
61, 2, 3tendoid 37360 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸) → (𝑉‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
76adantrl 703 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑉‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
85, 7eqtr4d 2817 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = (𝑉‘( I ↾ 𝐵)))
9 fveq2 6499 . . . . . 6 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑈‘( I ↾ 𝐵)))
10 fveq2 6499 . . . . . 6 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑉𝑓) = (𝑉‘( I ↾ 𝐵)))
119, 10eqeq12d 2793 . . . . 5 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → ((𝑈𝑓) = (𝑉𝑓) ↔ (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = (𝑉‘( I ↾ 𝐵))))
128, 11syl5ibrcom 239 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)))
1312ralrimivw 3133 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ∀𝑓𝑇 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)))
14 r19.26 3120 . . . . 5 (∀𝑓𝑇 ((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))) ↔ (∀𝑓𝑇 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ ∀𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))))
15 jaob 944 . . . . . . 7 (((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) ∨ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ↔ ((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))))
16 exmidne 2977 . . . . . . . 8 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) ∨ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
17 pm5.5 354 . . . . . . . 8 ((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) ∨ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) ∨ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ↔ (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) ∨ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ↔ (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))
1915, 18bitr3i 269 . . . . . 6 (((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))) ↔ (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))
2019ralbii 3115 . . . . 5 (∀𝑓𝑇 ((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))) ↔ ∀𝑓𝑇 (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))
2114, 20bitr3i 269 . . . 4 ((∀𝑓𝑇 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ ∀𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))) ↔ ∀𝑓𝑇 (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))
22 tendoeq2.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
232, 22, 3tendoeq1 37351 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ ∀𝑓𝑇 (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) → 𝑈 = 𝑉)
24233expia 1101 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (∀𝑓𝑇 (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓) → 𝑈 = 𝑉))
2521, 24syl5bi 234 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ((∀𝑓𝑇 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ ∀𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))) → 𝑈 = 𝑉))
2613, 25mpand 682 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (∀𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) → 𝑈 = 𝑉))
27263impia 1097 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ ∀𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))) → 𝑈 = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  wral 3088   I cid 5311  cres 5409  cfv 6188  Basecbs 16339  HLchlt 35937  LHypclh 36571  LTrncltrn 36688  TEndoctendo 37339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-map 8208  df-proset 17396  df-poset 17414  df-plt 17426  df-lub 17442  df-glb 17443  df-join 17444  df-meet 17445  df-p0 17507  df-p1 17508  df-lat 17514  df-clat 17576  df-oposet 35763  df-ol 35765  df-oml 35766  df-covers 35853  df-ats 35854  df-atl 35885  df-cvlat 35909  df-hlat 35938  df-lhyp 36575  df-laut 36576  df-ldil 36691  df-ltrn 36692  df-trl 36746  df-tendo 37342
This theorem is referenced by:  tendocan  37411
  Copyright terms: Public domain W3C validator