Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoeq2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendoeq2 39634
Description: Condition determining equality of two trace-preserving endomorphisms, showing it is unnecessary to consider the identity translation. In tendocan 39684, we show that we only need to consider a single non-identity translation. (Contributed by NM, 21-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoeq2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendoeq2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendoeq2.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoeq2.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tendoeq2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“))) β†’ π‘ˆ = 𝑉)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,π‘Š   π‘ˆ,𝑓   𝑓,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐡(𝑓)
Proof of Theorem tendoeq2
StepHypRef Expression
1 tendoeq2.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 tendoeq2.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 tendoeq2.e . . . . . . . 8 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3tendoid 39633 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆβ€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
54adantrr 716 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘ˆβ€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
61, 2, 3tendoid 39633 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (π‘‰β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
76adantrl 715 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘‰β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
85, 7eqtr4d 2776 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘ˆβ€˜( I β†Ύ 𝐡)) = (π‘‰β€˜( I β†Ύ 𝐡)))
9 fveq2 6889 . . . . . 6 (𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘ˆβ€˜( I β†Ύ 𝐡)))
10 fveq2 6889 . . . . . 6 (𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (π‘‰β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜( I β†Ύ 𝐡)))
119, 10eqeq12d 2749 . . . . 5 (𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“) ↔ (π‘ˆβ€˜( I β†Ύ 𝐡)) = (π‘‰β€˜( I β†Ύ 𝐡))))
128, 11syl5ibrcom 246 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)))
1312ralrimivw 3151 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)))
14 r19.26 3112 . . . . 5 (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“))) ↔ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“))))
15 jaob 961 . . . . . . 7 (((𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) ∨ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) ↔ ((𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“))))
16 exmidne 2951 . . . . . . . 8 (𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) ∨ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
17 pm5.5 362 . . . . . . . 8 ((𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) ∨ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (((𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) ∨ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) ↔ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (((𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) ∨ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) ↔ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“))
1915, 18bitr3i 277 . . . . . 6 (((𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“))) ↔ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“))
2019ralbii 3094 . . . . 5 (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 ((𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“))) ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“))
2114, 20bitr3i 277 . . . 4 ((βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“))) ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“))
22 tendoeq2.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
232, 22, 3tendoeq1 39624 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ π‘ˆ = 𝑉)
24233expia 1122 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“) β†’ π‘ˆ = 𝑉))
2521, 24biimtrid 241 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ ((βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“))) β†’ π‘ˆ = 𝑉))
2613, 25mpand 694 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ π‘ˆ = 𝑉))
27263impia 1118 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑇 (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“))) β†’ π‘ˆ = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   I cid 5573   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6541  Basecbs 17141  HLchlt 38209  LHypclh 38844  LTrncltrn 38961  TEndoctendo 39612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-map 8819  df-proset 18245  df-poset 18263  df-plt 18280  df-lub 18296  df-glb 18297  df-join 18298  df-meet 18299  df-p0 18375  df-p1 18376  df-lat 18382  df-clat 18449  df-oposet 38035  df-ol 38037  df-oml 38038  df-covers 38125  df-ats 38126  df-atl 38157  df-cvlat 38181  df-hlat 38210  df-lhyp 38848  df-laut 38849  df-ldil 38964  df-ltrn 38965  df-trl 39019  df-tendo 39615
This theorem is referenced by:  tendocan  39684
  Copyright terms: Public domain W3C validator