Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoeq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoeq2 38525
Description: Condition determining equality of two trace-preserving endomorphisms, showing it is unnecessary to consider the identity translation. In tendocan 38575, we show that we only need to consider a single non-identity translation. (Contributed by NM, 21-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoeq2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoeq2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoeq2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoeq2.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendoeq2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ ∀𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))) → 𝑈 = 𝑉)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem tendoeq2
StepHypRef Expression
1 tendoeq2.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 tendoeq2.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendoeq2.e . . . . . . . 8 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3tendoid 38524 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
54adantrr 717 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
61, 2, 3tendoid 38524 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸) → (𝑉‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
76adantrl 716 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑉‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
85, 7eqtr4d 2780 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = (𝑉‘( I ↾ 𝐵)))
9 fveq2 6717 . . . . . 6 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑈‘( I ↾ 𝐵)))
10 fveq2 6717 . . . . . 6 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑉𝑓) = (𝑉‘( I ↾ 𝐵)))
119, 10eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → ((𝑈𝑓) = (𝑉𝑓) ↔ (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = (𝑉‘( I ↾ 𝐵))))
128, 11syl5ibrcom 250 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)))
1312ralrimivw 3106 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ∀𝑓𝑇 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)))
14 r19.26 3092 . . . . 5 (∀𝑓𝑇 ((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))) ↔ (∀𝑓𝑇 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ ∀𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))))
15 jaob 962 . . . . . . 7 (((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) ∨ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ↔ ((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))))
16 exmidne 2950 . . . . . . . 8 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) ∨ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
17 pm5.5 365 . . . . . . . 8 ((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) ∨ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) ∨ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ↔ (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) ∨ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ↔ (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))
1915, 18bitr3i 280 . . . . . 6 (((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))) ↔ (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))
2019ralbii 3088 . . . . 5 (∀𝑓𝑇 ((𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))) ↔ ∀𝑓𝑇 (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))
2114, 20bitr3i 280 . . . 4 ((∀𝑓𝑇 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ ∀𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))) ↔ ∀𝑓𝑇 (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))
22 tendoeq2.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
232, 22, 3tendoeq1 38515 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ ∀𝑓𝑇 (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) → 𝑈 = 𝑉)
24233expia 1123 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (∀𝑓𝑇 (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓) → 𝑈 = 𝑉))
2521, 24syl5bi 245 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ((∀𝑓𝑇 (𝑓 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ ∀𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))) → 𝑈 = 𝑉))
2613, 25mpand 695 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (∀𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓)) → 𝑈 = 𝑉))
27263impia 1119 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ ∀𝑓𝑇 (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑈𝑓) = (𝑉𝑓))) → 𝑈 = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061   I cid 5454  cres 5553  cfv 6380  Basecbs 16760  HLchlt 37101  LHypclh 37735  LTrncltrn 37852  TEndoctendo 38503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-map 8510  df-proset 17802  df-poset 17820  df-plt 17836  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-p0 17931  df-p1 17932  df-lat 17938  df-clat 18005  df-oposet 36927  df-ol 36929  df-oml 36930  df-covers 37017  df-ats 37018  df-atl 37049  df-cvlat 37073  df-hlat 37102  df-lhyp 37739  df-laut 37740  df-ldil 37855  df-ltrn 37856  df-trl 37910  df-tendo 38506
This theorem is referenced by:  tendocan  38575
  Copyright terms: Public domain W3C validator