Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoplass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoplass 40482
Description: The endomorphism sum operation is associative. (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
Assertion
Ref Expression
tendoplass (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ((𝑆𝑃𝑈)𝑃𝑉) = (𝑆𝑃(𝑈𝑃𝑉)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoplass
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpr1 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → 𝑆𝐸)
3 simpr2 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → 𝑈𝐸)
4 tendopl.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 tendopl.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6 tendopl.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7 tendopl.p . . . . 5 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
84, 5, 6, 7tendoplcl 40480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑈𝐸) → (𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸)
91, 2, 3, 8syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸)
10 simpr3 1193 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → 𝑉𝐸)
114, 5, 6, 7tendoplcl 40480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸𝑉𝐸) → ((𝑆𝑃𝑈)𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
121, 9, 10, 11syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ((𝑆𝑃𝑈)𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
134, 5, 6, 7tendoplcl 40480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
141, 3, 10, 13syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
154, 5, 6, 7tendoplcl 40480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸) → (𝑆𝑃(𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸)
161, 2, 14, 15syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆𝑃(𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸)
17 coass 6276 . . . . 5 (((𝑆𝑔) ∘ (𝑈𝑔)) ∘ (𝑉𝑔)) = ((𝑆𝑔) ∘ ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)))
18 simplr1 1212 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑆𝐸)
19 simplr2 1213 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑈𝐸)
20 simpr 483 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑔𝑇)
217, 5tendopl2 40476 . . . . . . 7 ((𝑆𝐸𝑈𝐸𝑔𝑇) → ((𝑆𝑃𝑈)‘𝑔) = ((𝑆𝑔) ∘ (𝑈𝑔)))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑃𝑈)‘𝑔) = ((𝑆𝑔) ∘ (𝑈𝑔)))
2322coeq1d 5868 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑃𝑈)‘𝑔) ∘ (𝑉𝑔)) = (((𝑆𝑔) ∘ (𝑈𝑔)) ∘ (𝑉𝑔)))
24 simplr3 1214 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑉𝐸)
257, 5tendopl2 40476 . . . . . . 7 ((𝑈𝐸𝑉𝐸𝑔𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)))
2619, 24, 20, 25syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔)))
2726coeq2d 5869 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑔) ∘ ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)) = ((𝑆𝑔) ∘ ((𝑈𝑔) ∘ (𝑉𝑔))))
2817, 23, 273eqtr4a 2792 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑃𝑈)‘𝑔) ∘ (𝑉𝑔)) = ((𝑆𝑔) ∘ ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
299adantr 479 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸)
307, 5tendopl2 40476 . . . . 5 (((𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸𝑉𝐸𝑔𝑇) → (((𝑆𝑃𝑈)𝑃𝑉)‘𝑔) = (((𝑆𝑃𝑈)‘𝑔) ∘ (𝑉𝑔)))
3129, 24, 20, 30syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑃𝑈)𝑃𝑉)‘𝑔) = (((𝑆𝑃𝑈)‘𝑔) ∘ (𝑉𝑔)))
3214adantr 479 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
337, 5tendopl2 40476 . . . . 5 ((𝑆𝐸 ∧ (𝑈𝑃𝑉) ∈ 𝐸𝑔𝑇) → ((𝑆𝑃(𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = ((𝑆𝑔) ∘ ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
3418, 32, 20, 33syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑃(𝑈𝑃𝑉))‘𝑔) = ((𝑆𝑔) ∘ ((𝑈𝑃𝑉)‘𝑔)))
3528, 31, 343eqtr4d 2776 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑃𝑈)𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑆𝑃(𝑈𝑃𝑉))‘𝑔))
3635ralrimiva 3136 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ∀𝑔𝑇 (((𝑆𝑃𝑈)𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑆𝑃(𝑈𝑃𝑉))‘𝑔))
374, 5, 6tendoeq1 40463 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((𝑆𝑃𝑈)𝑃𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆𝑃(𝑈𝑃𝑉)) ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑔𝑇 (((𝑆𝑃𝑈)𝑃𝑉)‘𝑔) = ((𝑆𝑃(𝑈𝑃𝑉))‘𝑔)) → ((𝑆𝑃𝑈)𝑃𝑉) = (𝑆𝑃(𝑈𝑃𝑉)))
381, 12, 16, 36, 37syl121anc 1372 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ((𝑆𝑃𝑈)𝑃𝑉) = (𝑆𝑃(𝑈𝑃𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  cmpt 5236  ccom 5686  cfv 6554  (class class class)co 7424  cmpo 7426  HLchlt 39048  LHypclh 39683  LTrncltrn 39800  TEndoctendo 40451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-riotaBAD 38651
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-undef 8288  df-map 8857  df-proset 18320  df-poset 18338  df-plt 18355  df-lub 18371  df-glb 18372  df-join 18373  df-meet 18374  df-p0 18450  df-p1 18451  df-lat 18457  df-clat 18524  df-oposet 38874  df-ol 38876  df-oml 38877  df-covers 38964  df-ats 38965  df-atl 38996  df-cvlat 39020  df-hlat 39049  df-llines 39197  df-lplanes 39198  df-lvols 39199  df-lines 39200  df-psubsp 39202  df-pmap 39203  df-padd 39495  df-lhyp 39687  df-laut 39688  df-ldil 39803  df-ltrn 39804  df-trl 39858  df-tendo 40454
This theorem is referenced by:  erngdvlem1  40687  erngdvlem1-rN  40695
  Copyright terms: Public domain W3C validator