Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoplass Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendoplass 39643
Description: The endomorphism sum operation is associative. (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
Assertion
Ref Expression
tendoplass (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)𝑃𝑉) = (𝑆𝑃(π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑑,𝑇   𝑓,π‘Š,𝑠,𝑑
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑑,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑑,𝑓,𝑠)   π‘ˆ(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑑,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑑,𝑓,𝑠)
Proof of Theorem tendoplass
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simpr1 1195 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
3 simpr2 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
4 tendopl.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 tendopl.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 tendopl.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 tendopl.p . . . . 5 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
84, 5, 6, 7tendoplcl 39641 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ (π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∈ 𝐸)
91, 2, 3, 8syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∈ 𝐸)
10 simpr3 1197 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
114, 5, 6, 7tendoplcl 39641 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
121, 9, 10, 11syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)𝑃𝑉) ∈ 𝐸)
134, 5, 6, 7tendoplcl 39641 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) ∈ 𝐸)
141, 3, 10, 13syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) ∈ 𝐸)
154, 5, 6, 7tendoplcl 39641 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) ∈ 𝐸) β†’ (𝑆𝑃(π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)) ∈ 𝐸)
161, 2, 14, 15syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑆𝑃(π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)) ∈ 𝐸)
17 coass 6262 . . . . 5 (((π‘†β€˜π‘”) ∘ (π‘ˆβ€˜π‘”)) ∘ (π‘‰β€˜π‘”)) = ((π‘†β€˜π‘”) ∘ ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”)))
18 simplr1 1216 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
19 simplr2 1217 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
20 simpr 486 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
217, 5tendopl2 39637 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)β€˜π‘”) = ((π‘†β€˜π‘”) ∘ (π‘ˆβ€˜π‘”)))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)β€˜π‘”) = ((π‘†β€˜π‘”) ∘ (π‘ˆβ€˜π‘”)))
2322coeq1d 5860 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)β€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”)) = (((π‘†β€˜π‘”) ∘ (π‘ˆβ€˜π‘”)) ∘ (π‘‰β€˜π‘”)))
24 simplr3 1218 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
257, 5tendopl2 39637 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜π‘”) = ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”)))
2619, 24, 20, 25syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜π‘”) = ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”)))
2726coeq2d 5861 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘†β€˜π‘”) ∘ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜π‘”)) = ((π‘†β€˜π‘”) ∘ ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”))))
2817, 23, 273eqtr4a 2799 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)β€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”)) = ((π‘†β€˜π‘”) ∘ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜π‘”)))
299adantr 482 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∈ 𝐸)
307, 5tendopl2 39637 . . . . 5 (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)𝑃𝑉)β€˜π‘”) = (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)β€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”)))
3129, 24, 20, 30syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)𝑃𝑉)β€˜π‘”) = (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)β€˜π‘”) ∘ (π‘‰β€˜π‘”)))
3214adantr 482 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) ∈ 𝐸)
337, 5tendopl2 39637 . . . . 5 ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆπ‘ƒπ‘‰) ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆𝑃(π‘ˆπ‘ƒπ‘‰))β€˜π‘”) = ((π‘†β€˜π‘”) ∘ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜π‘”)))
3418, 32, 20, 33syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆𝑃(π‘ˆπ‘ƒπ‘‰))β€˜π‘”) = ((π‘†β€˜π‘”) ∘ ((π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)β€˜π‘”)))
3528, 31, 343eqtr4d 2783 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)𝑃𝑉)β€˜π‘”) = ((𝑆𝑃(π‘ˆπ‘ƒπ‘‰))β€˜π‘”))
3635ralrimiva 3147 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ βˆ€π‘” ∈ 𝑇 (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)𝑃𝑉)β€˜π‘”) = ((𝑆𝑃(π‘ˆπ‘ƒπ‘‰))β€˜π‘”))
374, 5, 6tendoeq1 39624 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)𝑃𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆𝑃(π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)) ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘” ∈ 𝑇 (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)𝑃𝑉)β€˜π‘”) = ((𝑆𝑃(π‘ˆπ‘ƒπ‘‰))β€˜π‘”)) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)𝑃𝑉) = (𝑆𝑃(π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)))
381, 12, 16, 36, 37syl121anc 1376 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)𝑃𝑉) = (𝑆𝑃(π‘ˆπ‘ƒπ‘‰)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408  HLchlt 38209  LHypclh 38844  LTrncltrn 38961  TEndoctendo 39612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-riotaBAD 37812
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-undef 8255  df-map 8819  df-proset 18245  df-poset 18263  df-plt 18280  df-lub 18296  df-glb 18297  df-join 18298  df-meet 18299  df-p0 18375  df-p1 18376  df-lat 18382  df-clat 18449  df-oposet 38035  df-ol 38037  df-oml 38038  df-covers 38125  df-ats 38126  df-atl 38157  df-cvlat 38181  df-hlat 38210  df-llines 38358  df-lplanes 38359  df-lvols 38360  df-lines 38361  df-psubsp 38363  df-pmap 38364  df-padd 38656  df-lhyp 38848  df-laut 38849  df-ldil 38964  df-ltrn 38965  df-trl 39019  df-tendo 39615
This theorem is referenced by:  erngdvlem1  39848  erngdvlem1-rN  39856
  Copyright terms: Public domain W3C validator