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Theorem tendodi2 40169
Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
Assertion
Ref Expression
tendodi2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∘ 𝑉) = ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉)))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑑,𝑇   𝑓,π‘Š,𝑠,𝑑
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑑,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑑,𝑓,𝑠)   π‘ˆ(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑑,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑑,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendodi2
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simpr1 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
3 simpr2 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
4 tendopl.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 tendopl.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 tendopl.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 tendopl.p . . . . 5 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
84, 5, 6, 7tendoplcl 40165 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ (π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∈ 𝐸)
91, 2, 3, 8syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∈ 𝐸)
10 simpr3 1193 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
114, 6tendococl 40156 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
121, 9, 10, 11syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
134, 6tendococl 40156 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
141, 2, 10, 13syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
154, 6tendococl 40156 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
161, 3, 10, 15syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
174, 5, 6, 7tendoplcl 40165 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆ ∘ 𝑉) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸)
181, 14, 16, 17syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸)
19 simpll 764 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
20 simplr1 1212 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
21 simplr2 1213 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
2219, 20, 21, 8syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∈ 𝐸)
23 simplr3 1214 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
24 simpr 484 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
254, 5, 6tendocoval 40150 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)β€˜(π‘‰β€˜π‘”)))
2619, 22, 23, 24, 25syl121anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)β€˜(π‘‰β€˜π‘”)))
27 simplll 772 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ HL)
28 simpllr 773 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
294, 5, 6tendocoval 40150 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = (π‘†β€˜(π‘‰β€˜π‘”)))
3027, 28, 20, 23, 24, 29syl221anc 1378 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = (π‘†β€˜(π‘‰β€˜π‘”)))
314, 5, 6tendocoval 40150 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆ ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = (π‘ˆβ€˜(π‘‰β€˜π‘”)))
3227, 28, 21, 23, 24, 31syl221anc 1378 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆ ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = (π‘ˆβ€˜(π‘‰β€˜π‘”)))
3330, 32coeq12d 5858 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((𝑆 ∘ 𝑉)β€˜π‘”) ∘ ((π‘ˆ ∘ 𝑉)β€˜π‘”)) = ((π‘†β€˜(π‘‰β€˜π‘”)) ∘ (π‘ˆβ€˜(π‘‰β€˜π‘”))))
3419, 20, 23, 13syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
3519, 21, 23, 15syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
367, 5tendopl2 40161 . . . . . 6 (((𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆ ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉))β€˜π‘”) = (((𝑆 ∘ 𝑉)β€˜π‘”) ∘ ((π‘ˆ ∘ 𝑉)β€˜π‘”)))
3734, 35, 24, 36syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉))β€˜π‘”) = (((𝑆 ∘ 𝑉)β€˜π‘”) ∘ ((π‘ˆ ∘ 𝑉)β€˜π‘”)))
384, 5, 6tendocl 40151 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‰β€˜π‘”) ∈ 𝑇)
3919, 23, 24, 38syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‰β€˜π‘”) ∈ 𝑇)
407, 5tendopl2 40161 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (π‘‰β€˜π‘”) ∈ 𝑇) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)β€˜(π‘‰β€˜π‘”)) = ((π‘†β€˜(π‘‰β€˜π‘”)) ∘ (π‘ˆβ€˜(π‘‰β€˜π‘”))))
4120, 21, 39, 40syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)β€˜(π‘‰β€˜π‘”)) = ((π‘†β€˜(π‘‰β€˜π‘”)) ∘ (π‘ˆβ€˜(π‘‰β€˜π‘”))))
4233, 37, 413eqtr4rd 2777 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)β€˜(π‘‰β€˜π‘”)) = (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉))β€˜π‘”))
4326, 42eqtrd 2766 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉))β€˜π‘”))
4443ralrimiva 3140 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ βˆ€π‘” ∈ 𝑇 (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉))β€˜π‘”))
454, 5, 6tendoeq1 40148 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘” ∈ 𝑇 (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉))β€˜π‘”)) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∘ 𝑉) = ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉)))
461, 12, 18, 44, 45syl121anc 1372 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∘ 𝑉) = ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  TEndoctendo 40136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8259  df-map 8824  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tendo 40139
This theorem is referenced by:  erngdvlem3  40374  erngdvlem3-rN  40382
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