Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendodi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendodi2 37366
Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
Assertion
Ref Expression
tendodi2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) = ((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendodi2
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 475 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpr1 1174 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → 𝑆𝐸)
3 simpr2 1175 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → 𝑈𝐸)
4 tendopl.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 tendopl.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6 tendopl.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7 tendopl.p . . . . 5 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
84, 5, 6, 7tendoplcl 37362 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑈𝐸) → (𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸)
91, 2, 3, 8syl3anc 1351 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸)
10 simpr3 1176 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → 𝑉𝐸)
114, 6tendococl 37353 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸𝑉𝐸) → ((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
121, 9, 10, 11syl3anc 1351 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
134, 6tendococl 37353 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑉𝐸) → (𝑆𝑉) ∈ 𝐸)
141, 2, 10, 13syl3anc 1351 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆𝑉) ∈ 𝐸)
154, 6tendococl 37353 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑈𝑉) ∈ 𝐸)
161, 3, 10, 15syl3anc 1351 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑈𝑉) ∈ 𝐸)
174, 5, 6, 7tendoplcl 37362 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (𝑈𝑉) ∈ 𝐸) → ((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉)) ∈ 𝐸)
181, 14, 16, 17syl3anc 1351 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉)) ∈ 𝐸)
19 simpll 754 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
20 simplr1 1195 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑆𝐸)
21 simplr2 1196 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑈𝐸)
2219, 20, 21, 8syl3anc 1351 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸)
23 simplr3 1197 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑉𝐸)
24 simpr 477 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑔𝑇)
254, 5, 6tendocoval 37347 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉)‘𝑔) = ((𝑆𝑃𝑈)‘(𝑉𝑔)))
2619, 22, 23, 24, 25syl121anc 1355 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉)‘𝑔) = ((𝑆𝑃𝑈)‘(𝑉𝑔)))
27 simplll 762 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
28 simpllr 763 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑊𝐻)
294, 5, 6tendocoval 37347 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑉)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑉𝑔)))
3027, 28, 20, 23, 24, 29syl221anc 1361 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑉)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑉𝑔)))
314, 5, 6tendocoval 37347 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑈𝑉)‘𝑔) = (𝑈‘(𝑉𝑔)))
3227, 28, 21, 23, 24, 31syl221anc 1361 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑈𝑉)‘𝑔) = (𝑈‘(𝑉𝑔)))
3330, 32coeq12d 5586 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑉)‘𝑔) ∘ ((𝑈𝑉)‘𝑔)) = ((𝑆‘(𝑉𝑔)) ∘ (𝑈‘(𝑉𝑔))))
3419, 20, 23, 13syl3anc 1351 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑉) ∈ 𝐸)
3519, 21, 23, 15syl3anc 1351 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑈𝑉) ∈ 𝐸)
367, 5tendopl2 37358 . . . . . 6 (((𝑆𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (𝑈𝑉) ∈ 𝐸𝑔𝑇) → (((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑉)‘𝑔) ∘ ((𝑈𝑉)‘𝑔)))
3734, 35, 24, 36syl3anc 1351 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑉)‘𝑔) ∘ ((𝑈𝑉)‘𝑔)))
384, 5, 6tendocl 37348 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝑔𝑇) → (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)
3919, 23, 24, 38syl3anc 1351 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)
407, 5tendopl2 37358 . . . . . 6 ((𝑆𝐸𝑈𝐸 ∧ (𝑉𝑔) ∈ 𝑇) → ((𝑆𝑃𝑈)‘(𝑉𝑔)) = ((𝑆‘(𝑉𝑔)) ∘ (𝑈‘(𝑉𝑔))))
4120, 21, 39, 40syl3anc 1351 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑃𝑈)‘(𝑉𝑔)) = ((𝑆‘(𝑉𝑔)) ∘ (𝑈‘(𝑉𝑔))))
4233, 37, 413eqtr4rd 2825 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑃𝑈)‘(𝑉𝑔)) = (((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉))‘𝑔))
4326, 42eqtrd 2814 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉)‘𝑔) = (((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉))‘𝑔))
4443ralrimiva 3132 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ∀𝑔𝑇 (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉)‘𝑔) = (((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉))‘𝑔))
454, 5, 6tendoeq1 37345 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉)) ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑔𝑇 (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉)‘𝑔) = (((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉))‘𝑔)) → ((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) = ((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉)))
461, 12, 18, 44, 45syl121anc 1355 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) = ((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3088  cmpt 5009  ccom 5412  cfv 6190  (class class class)co 6978  cmpo 6980  HLchlt 35931  LHypclh 36565  LTrncltrn 36682  TEndoctendo 37333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-riotaBAD 35534
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-id 5313  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-undef 7744  df-map 8210  df-proset 17399  df-poset 17417  df-plt 17429  df-lub 17445  df-glb 17446  df-join 17447  df-meet 17448  df-p0 17510  df-p1 17511  df-lat 17517  df-clat 17579  df-oposet 35757  df-ol 35759  df-oml 35760  df-covers 35847  df-ats 35848  df-atl 35879  df-cvlat 35903  df-hlat 35932  df-llines 36079  df-lplanes 36080  df-lvols 36081  df-lines 36082  df-psubsp 36084  df-pmap 36085  df-padd 36377  df-lhyp 36569  df-laut 36570  df-ldil 36685  df-ltrn 36686  df-trl 36740  df-tendo 37336
This theorem is referenced by:  erngdvlem3  37571  erngdvlem3-rN  37579
  Copyright terms: Public domain W3C validator