Theorem tendodi2 39644

Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendopl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))

Assertion

Ref	Expression
tendodi2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → ((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) = ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendodi2

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simpr1 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → 𝑆 ∈ 𝐸)
3		simpr2 1195	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
4		tendopl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		tendopl.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6		tendopl.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7		tendopl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
8	4, 5, 6, 7	tendoplcl 39640	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸)
9	1, 2, 3, 8	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸)
10		simpr3 1196	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → 𝑉 ∈ 𝐸)
11	4, 6	tendococl 39631	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → ((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
12	1, 9, 10, 11	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → ((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
13	4, 6	tendococl 39631	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
14	1, 2, 10, 13	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
15	4, 6	tendococl 39631	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
16	1, 3, 10, 15	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
17	4, 5, 6, 7	tendoplcl 39640	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (𝑈 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸) → ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸)
18	1, 14, 16, 17	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸)
19		simpll 765	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
20		simplr1 1215	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ 𝐸)
21		simplr2 1216	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ 𝐸)
22	19, 20, 21, 8	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸)
23		simplr3 1217	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑉 ∈ 𝐸)
24		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑔 ∈ 𝑇)
25	4, 5, 6	tendocoval 39625	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉)‘𝑔) = ((𝑆𝑃𝑈)‘(𝑉‘𝑔)))
26	19, 22, 23, 24, 25	syl121anc 1375	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉)‘𝑔) = ((𝑆𝑃𝑈)‘(𝑉‘𝑔)))
27		simplll 773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
28		simpllr 774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑊 ∈ 𝐻)
29	4, 5, 6	tendocoval 39625	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑉‘𝑔)))
30	27, 28, 20, 23, 24, 29	syl221anc 1381	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑉‘𝑔)))
31	4, 5, 6	tendocoval 39625	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔) = (𝑈‘(𝑉‘𝑔)))
32	27, 28, 21, 23, 24, 31	syl221anc 1381	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔) = (𝑈‘(𝑉‘𝑔)))
33	30, 32	coeq12d 5862	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔) ∘ ((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔)) = ((𝑆‘(𝑉‘𝑔)) ∘ (𝑈‘(𝑉‘𝑔))))
34	19, 20, 23, 13	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
35	19, 21, 23, 15	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑈 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
36	7, 5	tendopl2 39636	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (𝑈 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉))‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔) ∘ ((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔)))
37	34, 35, 24, 36	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉))‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔) ∘ ((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔)))
38	4, 5, 6	tendocl 39626	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)
39	19, 23, 24, 38	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)
40	7, 5	tendopl2 39636	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇) → ((𝑆𝑃𝑈)‘(𝑉‘𝑔)) = ((𝑆‘(𝑉‘𝑔)) ∘ (𝑈‘(𝑉‘𝑔))))
41	20, 21, 39, 40	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆𝑃𝑈)‘(𝑉‘𝑔)) = ((𝑆‘(𝑉‘𝑔)) ∘ (𝑈‘(𝑉‘𝑔))))
42	33, 37, 41	3eqtr4rd 2783	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆𝑃𝑈)‘(𝑉‘𝑔)) = (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉))‘𝑔))
43	26, 42	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉)‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉))‘𝑔))
44	43	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → ∀𝑔 ∈ 𝑇 (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉)‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉))‘𝑔))
45	4, 5, 6	tendoeq1 39623	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝑇 (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉)‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉))‘𝑔)) → ((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) = ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉)))
46	1, 12, 18, 44, 45	syl121anc 1375	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → ((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) = ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ↦ cmpt 5230   ∘ ccom 5679  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  HLchlt 38208  LHypclh 38843  LTrncltrn 38960  TEndoctendo 39611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-riotaBAD 37811

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8254  df-map 8818  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018  df-tendo 39614

This theorem is referenced by:  erngdvlem3  39849  erngdvlem3-rN  39857