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Theorem tendodi2 39251
Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
Assertion
Ref Expression
tendodi2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∘ 𝑉) = ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉)))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑑,𝑇   𝑓,π‘Š,𝑠,𝑑
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑑,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑑,𝑓,𝑠)   π‘ˆ(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑑,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑑,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendodi2
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simpr1 1195 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
3 simpr2 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
4 tendopl.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 tendopl.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 tendopl.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 tendopl.p . . . . 5 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
84, 5, 6, 7tendoplcl 39247 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ (π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∈ 𝐸)
91, 2, 3, 8syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∈ 𝐸)
10 simpr3 1197 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
114, 6tendococl 39238 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
121, 9, 10, 11syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
134, 6tendococl 39238 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
141, 2, 10, 13syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
154, 6tendococl 39238 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
161, 3, 10, 15syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
174, 5, 6, 7tendoplcl 39247 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆ ∘ 𝑉) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸)
181, 14, 16, 17syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸)
19 simpll 766 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
20 simplr1 1216 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
21 simplr2 1217 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
2219, 20, 21, 8syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∈ 𝐸)
23 simplr3 1218 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
24 simpr 486 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
254, 5, 6tendocoval 39232 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)β€˜(π‘‰β€˜π‘”)))
2619, 22, 23, 24, 25syl121anc 1376 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)β€˜(π‘‰β€˜π‘”)))
27 simplll 774 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ HL)
28 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
294, 5, 6tendocoval 39232 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = (π‘†β€˜(π‘‰β€˜π‘”)))
3027, 28, 20, 23, 24, 29syl221anc 1382 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = (π‘†β€˜(π‘‰β€˜π‘”)))
314, 5, 6tendocoval 39232 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆ ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = (π‘ˆβ€˜(π‘‰β€˜π‘”)))
3227, 28, 21, 23, 24, 31syl221anc 1382 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆ ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = (π‘ˆβ€˜(π‘‰β€˜π‘”)))
3330, 32coeq12d 5821 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((𝑆 ∘ 𝑉)β€˜π‘”) ∘ ((π‘ˆ ∘ 𝑉)β€˜π‘”)) = ((π‘†β€˜(π‘‰β€˜π‘”)) ∘ (π‘ˆβ€˜(π‘‰β€˜π‘”))))
3419, 20, 23, 13syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
3519, 21, 23, 15syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
367, 5tendopl2 39243 . . . . . 6 (((𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (π‘ˆ ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉))β€˜π‘”) = (((𝑆 ∘ 𝑉)β€˜π‘”) ∘ ((π‘ˆ ∘ 𝑉)β€˜π‘”)))
3734, 35, 24, 36syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉))β€˜π‘”) = (((𝑆 ∘ 𝑉)β€˜π‘”) ∘ ((π‘ˆ ∘ 𝑉)β€˜π‘”)))
384, 5, 6tendocl 39233 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‰β€˜π‘”) ∈ 𝑇)
3919, 23, 24, 38syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‰β€˜π‘”) ∈ 𝑇)
407, 5tendopl2 39243 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (π‘‰β€˜π‘”) ∈ 𝑇) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)β€˜(π‘‰β€˜π‘”)) = ((π‘†β€˜(π‘‰β€˜π‘”)) ∘ (π‘ˆβ€˜(π‘‰β€˜π‘”))))
4120, 21, 39, 40syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)β€˜(π‘‰β€˜π‘”)) = ((π‘†β€˜(π‘‰β€˜π‘”)) ∘ (π‘ˆβ€˜(π‘‰β€˜π‘”))))
4233, 37, 413eqtr4rd 2788 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ)β€˜(π‘‰β€˜π‘”)) = (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉))β€˜π‘”))
4326, 42eqtrd 2777 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉))β€˜π‘”))
4443ralrimiva 3144 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ βˆ€π‘” ∈ 𝑇 (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉))β€˜π‘”))
454, 5, 6tendoeq1 39230 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘” ∈ 𝑇 (((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∘ 𝑉)β€˜π‘”) = (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉))β€˜π‘”)) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∘ 𝑉) = ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉)))
461, 12, 18, 44, 45syl121anc 1376 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ ((π‘†π‘ƒπ‘ˆ) ∘ 𝑉) = ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(π‘ˆ ∘ 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  TEndoctendo 39218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-lplanes 37965  df-lvols 37966  df-lines 37967  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625  df-tendo 39221
This theorem is referenced by:  erngdvlem3  39456  erngdvlem3-rN  39464
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