Theorem tendodi2 37366

Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendopl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))

Assertion

Ref	Expression
tendodi2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → ((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) = ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendodi2

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 475	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simpr1 1174	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → 𝑆 ∈ 𝐸)
3		simpr2 1175	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
4		tendopl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		tendopl.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6		tendopl.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7		tendopl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
8	4, 5, 6, 7	tendoplcl 37362	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸)
9	1, 2, 3, 8	syl3anc 1351	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸)
10		simpr3 1176	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → 𝑉 ∈ 𝐸)
11	4, 6	tendococl 37353	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → ((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
12	1, 9, 10, 11	syl3anc 1351	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → ((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
13	4, 6	tendococl 37353	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
14	1, 2, 10, 13	syl3anc 1351	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
15	4, 6	tendococl 37353	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑈 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
16	1, 3, 10, 15	syl3anc 1351	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
17	4, 5, 6, 7	tendoplcl 37362	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (𝑈 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸) → ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸)
18	1, 14, 16, 17	syl3anc 1351	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸)
19		simpll 754	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
20		simplr1 1195	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ 𝐸)
21		simplr2 1196	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ 𝐸)
22	19, 20, 21, 8	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸)
23		simplr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑉 ∈ 𝐸)
24		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑔 ∈ 𝑇)
25	4, 5, 6	tendocoval 37347	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉)‘𝑔) = ((𝑆𝑃𝑈)‘(𝑉‘𝑔)))
26	19, 22, 23, 24, 25	syl121anc 1355	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉)‘𝑔) = ((𝑆𝑃𝑈)‘(𝑉‘𝑔)))
27		simplll 762	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
28		simpllr 763	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑊 ∈ 𝐻)
29	4, 5, 6	tendocoval 37347	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑉‘𝑔)))
30	27, 28, 20, 23, 24, 29	syl221anc 1361	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑉‘𝑔)))
31	4, 5, 6	tendocoval 37347	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔) = (𝑈‘(𝑉‘𝑔)))
32	27, 28, 21, 23, 24, 31	syl221anc 1361	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔) = (𝑈‘(𝑉‘𝑔)))
33	30, 32	coeq12d 5586	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔) ∘ ((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔)) = ((𝑆‘(𝑉‘𝑔)) ∘ (𝑈‘(𝑉‘𝑔))))
34	19, 20, 23, 13	syl3anc 1351	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
35	19, 21, 23, 15	syl3anc 1351	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑈 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
36	7, 5	tendopl2 37358	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (𝑈 ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉))‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔) ∘ ((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔)))
37	34, 35, 24, 36	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉))‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑉)‘𝑔) ∘ ((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝑔)))
38	4, 5, 6	tendocl 37348	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)
39	19, 23, 24, 38	syl3anc 1351	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇)
40	7, 5	tendopl2 37358	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑉‘𝑔) ∈ 𝑇) → ((𝑆𝑃𝑈)‘(𝑉‘𝑔)) = ((𝑆‘(𝑉‘𝑔)) ∘ (𝑈‘(𝑉‘𝑔))))
41	20, 21, 39, 40	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆𝑃𝑈)‘(𝑉‘𝑔)) = ((𝑆‘(𝑉‘𝑔)) ∘ (𝑈‘(𝑉‘𝑔))))
42	33, 37, 41	3eqtr4rd 2825	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑆𝑃𝑈)‘(𝑉‘𝑔)) = (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉))‘𝑔))
43	26, 42	eqtrd 2814	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉)‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉))‘𝑔))
44	43	ralrimiva 3132	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → ∀𝑔 ∈ 𝑇 (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉)‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉))‘𝑔))
45	4, 5, 6	tendoeq1 37345	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉)) ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝑇 (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉)‘𝑔) = (((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉))‘𝑔)) → ((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) = ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉)))
46	1, 12, 18, 44, 45	syl121anc 1355	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → ((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) = ((𝑆 ∘ 𝑉)𝑃(𝑈 ∘ 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∀wral 3088   ↦ cmpt 5009   ∘ ccom 5412  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978   ∈ cmpo 6980  HLchlt 35931  LHypclh 36565  LTrncltrn 36682  TEndoctendo 37333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-riotaBAD 35534

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-id 5313  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-undef 7744  df-map 8210  df-proset 17399  df-poset 17417  df-plt 17429  df-lub 17445  df-glb 17446  df-join 17447  df-meet 17448  df-p0 17510  df-p1 17511  df-lat 17517  df-clat 17579  df-oposet 35757  df-ol 35759  df-oml 35760  df-covers 35847  df-ats 35848  df-atl 35879  df-cvlat 35903  df-hlat 35932  df-llines 36079  df-lplanes 36080  df-lvols 36081  df-lines 36082  df-psubsp 36084  df-pmap 36085  df-padd 36377  df-lhyp 36569  df-laut 36570  df-ldil 36685  df-ltrn 36686  df-trl 36740  df-tendo 37336

This theorem is referenced by:  erngdvlem3  37571  erngdvlem3-rN  37579