Theorem cnmptc 23990

Description: A constant function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptid.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmptc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
cnmptc.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
cnmptc	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥,𝐾   𝑥,𝑃

Proof of Theorem cnmptc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5713	. 2 ⊢ (𝑋 × {𝑃}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑃)
2		cnmptid.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		cnmptc.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
4		cnmptc.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑌)
5		cnconst2 23610	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑌) → (𝑋 × {𝑃}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝑃}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
7	1, 6	eqeltrrid 2865	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  {csn 4584   ↦ cmpt 5185   × cxp 5649  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  TopOnctopon 23237   Cn ccn 23551

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-map 8857  df-topgen 17623  df-top 23221  df-topon 23238  df-cn 23554  df-cnp 23555

This theorem is used by:  cnmpt2c  23998  xkoinjcn  24015  txconn  24017  imasnopn  24018  imasncld  24019  imasncls  24020  istgp2  24419  tmdmulg  24420  tmdgsum  24423  tmdlactcn  24430  clsnsg  24438  tgpt0  24447  tlmtgp  24524  nmcn  25173  fsumcn  25200  expcn  25202  divccn  25203  cncfmptc  25242  cdivcncf  25251  iirevcn  25260  iihalf1cn  25262  iihalf2cn  25264  icchmeo  25271  evth  25289  evth2  25290  pcocn  25347  pcopt  25352  pcopt2  25353  pcoass  25354  csscld  25579  clsocv  25580  dvcnvlem  26305  plycn  26589  psercn2  26759  resqrtcn  27086  sqrtcn  27087  atansopn  27269  efrlim  27306  ipasslem7  31447  occllem  31914  rmulccn  34610  cxpcncf1  35274  txsconnlem  36123  cvxpconn  36125  cvmlift2lem2  36187  cvmlift2lem3  36188  cvmliftphtlem  36200  sinccvglem  36555  knoppcnlem10  37492  areacirclem2  38764  fprodcn  46748