Theorem cnmptc 23691

Description: A constant function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptid.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmptc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
cnmptc.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
cnmptc	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥,𝐾   𝑥,𝑃

Proof of Theorem cnmptc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5762	. 2 ⊢ (𝑋 × {𝑃}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑃)
2		cnmptid.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		cnmptc.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
4		cnmptc.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑌)
5		cnconst2 23312	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑌) → (𝑋 × {𝑃}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝑃}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
7	1, 6	eqeltrrid 2849	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  {csn 4648   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  TopOnctopon 22937   Cn ccn 23253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-map 8886  df-topgen 17503  df-top 22921  df-topon 22938  df-cn 23256  df-cnp 23257

This theorem is referenced by:  cnmpt2c  23699  xkoinjcn  23716  txconn  23718  imasnopn  23719  imasncld  23720  imasncls  23721  istgp2  24120  tmdmulg  24121  tmdgsum  24124  tmdlactcn  24131  clsnsg  24139  tgpt0  24148  tlmtgp  24225  nmcn  24885  fsumcn  24913  expcn  24915  divccn  24916  expcnOLD  24917  divccnOLD  24918  cncfmptc  24957  cdivcncf  24966  iirevcn  24976  iihalf1cn  24978  iihalf1cnOLD  24979  iihalf2cn  24981  iihalf2cnOLD  24982  icchmeo  24990  icchmeoOLD  24991  evth  25010  evth2  25011  pcocn  25069  pcopt  25074  pcopt2  25075  pcoass  25076  csscld  25302  clsocv  25303  dvcnvlem  26034  plycn  26320  plycnOLD  26321  psercn2  26484  psercn2OLD  26485  resqrtcn  26810  sqrtcn  26811  atansopn  26993  efrlim  27030  efrlimOLD  27031  ipasslem7  30868  occllem  31335  rmulccn  33874  cxpcncf1  34572  txsconnlem  35208  cvxpconn  35210  cvmlift2lem2  35272  cvmlift2lem3  35273  cvmliftphtlem  35285  sinccvglem  35640  knoppcnlem10  36468  areacirclem2  37669  fprodcn  45521