Theorem cnmptc 23627

Description: A constant function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptid.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmptc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
cnmptc.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
cnmptc	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥,𝐾   𝑥,𝑃

Proof of Theorem cnmptc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5693	. 2 ⊢ (𝑋 × {𝑃}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑃)
2		cnmptid.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		cnmptc.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
4		cnmptc.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑌)
5		cnconst2 23248	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑌) → (𝑋 × {𝑃}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝑃}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
7	1, 6	eqeltrrid 2841	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  {csn 4567   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  TopOnctopon 22875   Cn ccn 23189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-map 8775  df-topgen 17406  df-top 22859  df-topon 22876  df-cn 23192  df-cnp 23193

This theorem is referenced by:  cnmpt2c  23635  xkoinjcn  23652  txconn  23654  imasnopn  23655  imasncld  23656  imasncls  23657  istgp2  24056  tmdmulg  24057  tmdgsum  24060  tmdlactcn  24067  clsnsg  24075  tgpt0  24084  tlmtgp  24161  nmcn  24810  fsumcn  24837  expcn  24839  divccn  24840  cncfmptc  24879  cdivcncf  24888  iirevcn  24897  iihalf1cn  24899  iihalf2cn  24901  icchmeo  24908  evth  24926  evth2  24927  pcocn  24984  pcopt  24989  pcopt2  24990  pcoass  24991  csscld  25216  clsocv  25217  dvcnvlem  25943  plycn  26226  psercn2  26388  resqrtcn  26713  sqrtcn  26714  atansopn  26896  efrlim  26933  ipasslem7  30907  occllem  31374  rmulccn  34072  cxpcncf1  34739  txsconnlem  35422  cvxpconn  35424  cvmlift2lem2  35486  cvmlift2lem3  35487  cvmliftphtlem  35499  sinccvglem  35854  knoppcnlem10  36762  areacirclem2  38030  fprodcn  46030