MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmptc 23036
Description: A constant function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptid.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmptc.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
cnmptc.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
cnmptc (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑃

Proof of Theorem cnmptc
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 5698 . 2 (𝑋 Γ— {𝑃}) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝑃)
2 cnmptid.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 cnmptc.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
4 cnmptc.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ π‘Œ)
5 cnconst2 22657 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 Γ— {𝑃}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
62, 3, 4, 5syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— {𝑃}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
71, 6eqeltrrid 2839 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝑃) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2107  {csn 4590   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-cn 22601  df-cnp 22602
This theorem is referenced by:  cnmpt2c  23044  xkoinjcn  23061  txconn  23063  imasnopn  23064  imasncld  23065  imasncls  23066  istgp2  23465  tmdmulg  23466  tmdgsum  23469  tmdlactcn  23476  clsnsg  23484  tgpt0  23493  tlmtgp  23570  nmcn  24230  fsumcn  24256  expcn  24258  divccn  24259  cncfmptc  24298  cdivcncf  24307  iirevcn  24316  iihalf1cn  24318  iihalf2cn  24320  icchmeo  24327  evth  24345  evth2  24346  pcocn  24403  pcopt  24408  pcopt2  24409  pcoass  24410  csscld  24636  clsocv  24637  dvcnvlem  25363  plycn  25645  psercn2  25805  resqrtcn  26125  sqrtcn  26126  atansopn  26305  efrlim  26342  ipasslem7  29827  occllem  30294  rmulccn  32573  cxpcncf1  33272  txsconnlem  33898  cvxpconn  33900  cvmlift2lem2  33962  cvmlift2lem3  33963  cvmliftphtlem  33975  sinccvglem  34324  knoppcnlem10  35018  areacirclem2  36217  fprodcn  43931
  Copyright terms: Public domain W3C validator