Theorem topnval 17482

Description: Value of the topology extractor function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
topnval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
topnval.2	⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
topnval	⊢ (𝐽 ↾t 𝐵) = (TopOpen‘𝑊)

Proof of Theorem topnval

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (TopSet‘𝑤) = (TopSet‘𝑊))
2		topnval.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopSet‘𝑊)
3	1, 2	eqtr4di 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (TopSet‘𝑤) = 𝐽)
4		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (Base‘𝑤) = (Base‘𝑊))
5		topnval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
6	4, 5	eqtr4di 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (Base‘𝑤) = 𝐵)
7	3, 6	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((TopSet‘𝑤) ↾t (Base‘𝑤)) = (𝐽 ↾t 𝐵))
8		df-topn 17471	. . . 4 ⊢ TopOpen = (𝑤 ∈ V ↦ ((TopSet‘𝑤) ↾t (Base‘𝑤)))
9		ovex 7443	. . . 4 ⊢ (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 6989	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (TopOpen‘𝑊) = (𝐽 ↾t 𝐵))
11	10	eqcomd 2769	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → (𝐽 ↾t 𝐵) = (TopOpen‘𝑊))
12		0rest 17477	. . 3 ⊢ (∅ ↾t 𝐵) = ∅
13		fvprc 6873	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (TopSet‘𝑊) = ∅)
14	2, 13	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐽 = ∅)
15	14	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐽 ↾t 𝐵) = (∅ ↾t 𝐵))
16		fvprc 6873	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (TopOpen‘𝑊) = ∅)
17	12, 15, 16	3eqtr4a 2824	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐽 ↾t 𝐵) = (TopOpen‘𝑊))
18	11, 17	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐽 ↾t 𝐵) = (TopOpen‘𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ∅c0 4286  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  TopSetcts 17311   ↾_t crest 17468  TopOpenctopn 17469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-rest 17470  df-topn 17471

This theorem is referenced by:  topnid  17483  topnpropd  17484  efmndtopn  18937  oppgtopn  19418  symgtopn  19471  mgptopn  20219  resstopn  23343  prdstopn  23785  tuslem  24423  xrge0tsms  24992  om1opn  25195  xrge0tsmsd  33393  xrge0tmdALT  34336