MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topnval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem topnval 17321
Description: Value of the topology extractor function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
topnval.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
topnval.2 𝐽 = (TopSetβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
topnval (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (TopOpenβ€˜π‘Š)

Proof of Theorem topnval
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6843 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ (TopSetβ€˜π‘€) = (TopSetβ€˜π‘Š))
2 topnval.2 . . . . . 6 𝐽 = (TopSetβ€˜π‘Š)
31, 2eqtr4di 2791 . . . . 5 (𝑀 = π‘Š β†’ (TopSetβ€˜π‘€) = 𝐽)
4 fveq2 6843 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘Š))
5 topnval.1 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
64, 5eqtr4di 2791 . . . . 5 (𝑀 = π‘Š β†’ (Baseβ€˜π‘€) = 𝐡)
73, 6oveq12d 7376 . . . 4 (𝑀 = π‘Š β†’ ((TopSetβ€˜π‘€) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) = (𝐽 β†Ύt 𝐡))
8 df-topn 17310 . . . 4 TopOpen = (𝑀 ∈ V ↦ ((TopSetβ€˜π‘€) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)))
9 ovex 7391 . . . 4 (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 6949 . . 3 (π‘Š ∈ V β†’ (TopOpenβ€˜π‘Š) = (𝐽 β†Ύt 𝐡))
1110eqcomd 2739 . 2 (π‘Š ∈ V β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (TopOpenβ€˜π‘Š))
12 0rest 17316 . . 3 (βˆ… β†Ύt 𝐡) = βˆ…
13 fvprc 6835 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (TopSetβ€˜π‘Š) = βˆ…)
142, 13eqtrid 2785 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝐽 = βˆ…)
1514oveq1d 7373 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (βˆ… β†Ύt 𝐡))
16 fvprc 6835 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (TopOpenβ€˜π‘Š) = βˆ…)
1712, 15, 163eqtr4a 2799 . 2 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (TopOpenβ€˜π‘Š))
1811, 17pm2.61i 182 1 (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (TopOpenβ€˜π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444  βˆ…c0 4283  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  TopSetcts 17144   β†Ύt crest 17307  TopOpenctopn 17308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-rest 17309  df-topn 17310
This theorem is referenced by:  topnid  17322  topnpropd  17323  efmndtopn  18698  oppgtopn  19139  symgtopn  19193  mgptopn  19913  resstopn  22553  prdstopn  22995  tuslem  23634  tuslemOLD  23635  xrge0tsms  24213  om1opn  24415  xrge0tsmsd  31948  xrge0tmdALT  32584
  Copyright terms: Public domain W3C validator