MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topnval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem topnval 17386
Description: Value of the topology extractor function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
topnval.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
topnval.2 𝐽 = (TopSetβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
topnval (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (TopOpenβ€˜π‘Š)

Proof of Theorem topnval
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6884 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ (TopSetβ€˜π‘€) = (TopSetβ€˜π‘Š))
2 topnval.2 . . . . . 6 𝐽 = (TopSetβ€˜π‘Š)
31, 2eqtr4di 2784 . . . . 5 (𝑀 = π‘Š β†’ (TopSetβ€˜π‘€) = 𝐽)
4 fveq2 6884 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘Š))
5 topnval.1 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
64, 5eqtr4di 2784 . . . . 5 (𝑀 = π‘Š β†’ (Baseβ€˜π‘€) = 𝐡)
73, 6oveq12d 7422 . . . 4 (𝑀 = π‘Š β†’ ((TopSetβ€˜π‘€) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) = (𝐽 β†Ύt 𝐡))
8 df-topn 17375 . . . 4 TopOpen = (𝑀 ∈ V ↦ ((TopSetβ€˜π‘€) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)))
9 ovex 7437 . . . 4 (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 6991 . . 3 (π‘Š ∈ V β†’ (TopOpenβ€˜π‘Š) = (𝐽 β†Ύt 𝐡))
1110eqcomd 2732 . 2 (π‘Š ∈ V β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (TopOpenβ€˜π‘Š))
12 0rest 17381 . . 3 (βˆ… β†Ύt 𝐡) = βˆ…
13 fvprc 6876 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (TopSetβ€˜π‘Š) = βˆ…)
142, 13eqtrid 2778 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝐽 = βˆ…)
1514oveq1d 7419 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (βˆ… β†Ύt 𝐡))
16 fvprc 6876 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (TopOpenβ€˜π‘Š) = βˆ…)
1712, 15, 163eqtr4a 2792 . 2 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (TopOpenβ€˜π‘Š))
1811, 17pm2.61i 182 1 (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (TopOpenβ€˜π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  βˆ…c0 4317  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  TopSetcts 17209   β†Ύt crest 17372  TopOpenctopn 17373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-rest 17374  df-topn 17375
This theorem is referenced by:  topnid  17387  topnpropd  17388  efmndtopn  18805  oppgtopn  19269  symgtopn  19323  mgptopn  20048  resstopn  23040  prdstopn  23482  tuslem  24121  tuslemOLD  24122  xrge0tsms  24700  om1opn  24913  xrge0tsmsd  32712  xrge0tmdALT  33455
  Copyright terms: Public domain W3C validator