MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topnval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem topnval 17423
Description: Value of the topology extractor function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
topnval.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
topnval.2 𝐽 = (TopSetβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
topnval (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (TopOpenβ€˜π‘Š)

Proof of Theorem topnval
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6902 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ (TopSetβ€˜π‘€) = (TopSetβ€˜π‘Š))
2 topnval.2 . . . . . 6 𝐽 = (TopSetβ€˜π‘Š)
31, 2eqtr4di 2786 . . . . 5 (𝑀 = π‘Š β†’ (TopSetβ€˜π‘€) = 𝐽)
4 fveq2 6902 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘Š))
5 topnval.1 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
64, 5eqtr4di 2786 . . . . 5 (𝑀 = π‘Š β†’ (Baseβ€˜π‘€) = 𝐡)
73, 6oveq12d 7444 . . . 4 (𝑀 = π‘Š β†’ ((TopSetβ€˜π‘€) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) = (𝐽 β†Ύt 𝐡))
8 df-topn 17412 . . . 4 TopOpen = (𝑀 ∈ V ↦ ((TopSetβ€˜π‘€) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)))
9 ovex 7459 . . . 4 (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 7010 . . 3 (π‘Š ∈ V β†’ (TopOpenβ€˜π‘Š) = (𝐽 β†Ύt 𝐡))
1110eqcomd 2734 . 2 (π‘Š ∈ V β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (TopOpenβ€˜π‘Š))
12 0rest 17418 . . 3 (βˆ… β†Ύt 𝐡) = βˆ…
13 fvprc 6894 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (TopSetβ€˜π‘Š) = βˆ…)
142, 13eqtrid 2780 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ 𝐽 = βˆ…)
1514oveq1d 7441 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (βˆ… β†Ύt 𝐡))
16 fvprc 6894 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (TopOpenβ€˜π‘Š) = βˆ…)
1712, 15, 163eqtr4a 2794 . 2 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (TopOpenβ€˜π‘Š))
1811, 17pm2.61i 182 1 (𝐽 β†Ύt 𝐡) = (TopOpenβ€˜π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  βˆ…c0 4326  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  TopSetcts 17246   β†Ύt crest 17409  TopOpenctopn 17410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-rest 17411  df-topn 17412
This theorem is referenced by:  topnid  17424  topnpropd  17425  efmndtopn  18842  oppgtopn  19314  symgtopn  19368  mgptopn  20093  resstopn  23110  prdstopn  23552  tuslem  24191  tuslemOLD  24192  xrge0tsms  24770  om1opn  24983  xrge0tsmsd  32792  xrge0tmdALT  33580
  Copyright terms: Public domain W3C validator