Theorem tngtopn 24818

Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngtset.2	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
tngtset.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tngtopn	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑇))

Proof of Theorem tngtopn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngbas.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2		tngtset.2	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
3		tngtset.3	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	1, 2, 3	tngtset 24817	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐽 = (TopSet‘𝑇))
5		df-mopn 21529	. . . . . . . . 9 ⊢ MetOpen = (𝑥 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑥)))
6	5	dmmptss 6241	. . . . . . . 8 ⊢ dom MetOpen ⊆ ∪ ran ∞Met
7	6	sseli 3932	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ dom MetOpen → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
8		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
9	1, 8	tngds 24816	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑊 → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
10	9, 2	eqtr4di 2815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑊 → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = 𝐷)
11	10	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = 𝐷)
12	11	dmeqd 5894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → dom (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = dom 𝐷)
13		dmcoss 5964	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ dom (-g‘𝐺)
14		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
15		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
16		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
17	14, 15, 16, 8	grpsubfval 19056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-g‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)))
18		ovex 7445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ V
19	17, 18	dmmpo 8066	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom (-g‘𝐺) = ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))
20	13, 19	sseqtri 3984	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))
21	12, 20	eqsstrrdi 3981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
22	21	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
23		dmss 5891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)) → dom dom 𝐷 ⊆ dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
24	22, 23	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom dom 𝐷 ⊆ dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
25		dmxpid 5919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐺)
26	24, 25	sseqtrdi 3976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom dom 𝐷 ⊆ (Base‘𝐺))
27		xmetunirn 24505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
28	27	bilani 509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
29		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
30	29	mopnuni 24609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 = ∪ (MetOpen‘𝐷))
31	28, 30	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom dom 𝐷 = ∪ (MetOpen‘𝐷))
32	1, 14	tngbas 24809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑊 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
33	32	ad2antlr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
34	26, 31, 33	3sstr3d 3990	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → ∪ (MetOpen‘𝐷) ⊆ (Base‘𝑇))
35		sspwuni 5065	. . . . . . . . 9 ⊢ ((MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇) ↔ ∪ (MetOpen‘𝐷) ⊆ (Base‘𝑇))
36	34, 35	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
37	36	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)))
38	7, 37	syl5 35	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)))
39		ndmfv 6913	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) = ∅)
40		0ss 4356	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)
41	39, 40	eqsstrdi 3980	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
42	38, 41	pm2.61d1 182	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
43	3, 42	eqsstrid 3974	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐽 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
44	4, 43	eqsstrrd 3971	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (TopSet‘𝑇) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
45		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
46		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝑇) = (TopSet‘𝑇)
47	45, 46	topnid 17494	. . 3 ⊢ ((TopSet‘𝑇) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇) → (TopSet‘𝑇) = (TopOpen‘𝑇))
48	44, 47	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (TopSet‘𝑇) = (TopOpen‘𝑇))
49	4, 48	eqtrd 2797	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑇))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4561  ∪ cuni 4871   × cxp 5658  dom cdm 5660  ran crn 5661   ∘ ccom 5664  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  TopSetcts 17322  distcds 17325  TopOpenctopn 17480  topGenctg 17496  inv_gcminusg 19007  -_gcsg 19008  ∞Metcxmet 21518  ballcbl 21520  MetOpencmopn 21523   toNrmGrp ctng 24746

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-tset 17335  df-ds 17338  df-rest 17481  df-topn 17482  df-topgen 17502  df-sbg 19011  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-top 23062  df-topon 23079  df-bases 23114  df-tng 24752

This theorem is used by:  tngngp2  24820  tcphtopn  25396