Theorem tngtopn 24536

Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngtset.2	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
tngtset.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tngtopn	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑇))

Proof of Theorem tngtopn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngbas.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2		tngtset.2	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
3		tngtset.3	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	1, 2, 3	tngtset 24535	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐽 = (TopSet‘𝑇))
5		df-mopn 21257	. . . . . . . . 9 ⊢ MetOpen = (𝑥 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑥)))
6	5	dmmptss 6190	. . . . . . . 8 ⊢ dom MetOpen ⊆ ∪ ran ∞Met
7	6	sseli 3931	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ dom MetOpen → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
8		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
9	1, 8	tngds 24534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑊 → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
10	9, 2	eqtr4di 2782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑊 → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = 𝐷)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = 𝐷)
12	11	dmeqd 5848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → dom (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = dom 𝐷)
13		dmcoss 5916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ dom (-g‘𝐺)
14		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
15		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
16		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
17	14, 15, 16, 8	grpsubfval 18862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-g‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)))
18		ovex 7382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ V
19	17, 18	dmmpo 8006	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom (-g‘𝐺) = ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))
20	13, 19	sseqtri 3984	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))
21	12, 20	eqsstrrdi 3981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
23		dmss 5845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)) → dom dom 𝐷 ⊆ dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom dom 𝐷 ⊆ dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
25		dmxpid 5872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐺)
26	24, 25	sseqtrdi 3976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom dom 𝐷 ⊆ (Base‘𝐺))
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
28		xmetunirn 24223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
29	27, 28	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
30		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
31	30	mopnuni 24327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 = ∪ (MetOpen‘𝐷))
32	29, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom dom 𝐷 = ∪ (MetOpen‘𝐷))
33	1, 14	tngbas 24527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑊 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
34	33	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
35	26, 32, 34	3sstr3d 3990	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → ∪ (MetOpen‘𝐷) ⊆ (Base‘𝑇))
36		sspwuni 5049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇) ↔ ∪ (MetOpen‘𝐷) ⊆ (Base‘𝑇))
37	35, 36	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
38	37	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)))
39	7, 38	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)))
40		ndmfv 6855	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) = ∅)
41		0ss 4351	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)
42	40, 41	eqsstrdi 3980	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
43	39, 42	pm2.61d1 180	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
44	3, 43	eqsstrid 3974	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐽 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
45	4, 44	eqsstrrd 3971	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (TopSet‘𝑇) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
46		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
47		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝑇) = (TopSet‘𝑇)
48	46, 47	topnid 17339	. . 3 ⊢ ((TopSet‘𝑇) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇) → (TopSet‘𝑇) = (TopOpen‘𝑇))
49	45, 48	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (TopSet‘𝑇) = (TopOpen‘𝑇))
50	4, 49	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551  ∪ cuni 4858   × cxp 5617  dom cdm 5619  ran crn 5620   ∘ ccom 5623  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  TopSetcts 17167  distcds 17170  TopOpenctopn 17325  topGenctg 17341  inv_gcminusg 18813  -_gcsg 18814  ∞Metcxmet 21246  ballcbl 21248  MetOpencmopn 21251   toNrmGrp ctng 24464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-tset 17180  df-ds 17183  df-rest 17326  df-topn 17327  df-topgen 17347  df-sbg 18817  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831  df-tng 24470

This theorem is referenced by:  tngngp2  24538  tcphtopn  25124