MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngtopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngtopn 24037
Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngtset.2 𝐷 = (distβ€˜π‘‡)
tngtset.3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
tngtopn ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘‡))

Proof of Theorem tngtopn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngbas.t . . 3 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2 tngtset.2 . . 3 𝐷 = (distβ€˜π‘‡)
3 tngtset.3 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
41, 2, 3tngtset 24036 . 2 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ 𝐽 = (TopSetβ€˜π‘‡))
5 df-mopn 20815 . . . . . . . . 9 MetOpen = (π‘₯ ∈ βˆͺ ran ∞Met ↦ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘₯)))
65dmmptss 6197 . . . . . . . 8 dom MetOpen βŠ† βˆͺ ran ∞Met
76sseli 3944 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met)
8 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
91, 8tngds 24034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ π‘Š β†’ (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = (distβ€˜π‘‡))
109, 2eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ π‘Š β†’ (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = 𝐷)
1110adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = 𝐷)
1211dmeqd 5865 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ dom (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = dom 𝐷)
13 dmcoss 5930 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) βŠ† dom (-gβ€˜πΊ)
14 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
15 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
1714, 15, 16, 8grpsubfval 18802 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-gβ€˜πΊ) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))
18 ovex 7394 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) ∈ V
1917, 18dmmpo 8007 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (-gβ€˜πΊ) = ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))
2013, 19sseqtri 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))
2112, 20eqsstrrdi 4003 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ dom 𝐷 βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
2221adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ dom 𝐷 βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
23 dmss 5862 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝐷 βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) β†’ dom dom 𝐷 βŠ† dom ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ dom dom 𝐷 βŠ† dom ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
25 dmxpid 5889 . . . . . . . . . . 11 dom ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) = (Baseβ€˜πΊ)
2624, 25sseqtrdi 3998 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ dom dom 𝐷 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
27 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met)
28 xmetunirn 23713 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜dom dom 𝐷))
2927, 28sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜dom dom 𝐷))
30 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
3130mopnuni 23817 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜dom dom 𝐷) β†’ dom dom 𝐷 = βˆͺ (MetOpenβ€˜π·))
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ dom dom 𝐷 = βˆͺ (MetOpenβ€˜π·))
331, 14tngbas 24021 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ π‘Š β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘‡))
3433ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘‡))
3526, 32, 343sstr3d 3994 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ βˆͺ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
36 sspwuni 5064 . . . . . . . . 9 ((MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡) ↔ βˆͺ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
3735, 36sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡))
3837ex 414 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ (𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡)))
397, 38syl5 34 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ (𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡)))
40 ndmfv 6881 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ (MetOpenβ€˜π·) = βˆ…)
41 0ss 4360 . . . . . . 7 βˆ… βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡)
4240, 41eqsstrdi 4002 . . . . . 6 (Β¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡))
4339, 42pm2.61d1 180 . . . . 5 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡))
443, 43eqsstrid 3996 . . . 4 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ 𝐽 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡))
454, 44eqsstrrd 3987 . . 3 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ (TopSetβ€˜π‘‡) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡))
46 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
47 eqid 2733 . . . 4 (TopSetβ€˜π‘‡) = (TopSetβ€˜π‘‡)
4846, 47topnid 17325 . . 3 ((TopSetβ€˜π‘‡) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡) β†’ (TopSetβ€˜π‘‡) = (TopOpenβ€˜π‘‡))
4945, 48syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ (TopSetβ€˜π‘‡) = (TopOpenβ€˜π‘‡))
504, 49eqtrd 2773 1 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  βˆͺ cuni 4869   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637  ran crn 5638   ∘ ccom 5641  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  TopSetcts 17147  distcds 17150  TopOpenctopn 17311  topGenctg 17327  invgcminusg 18757  -gcsg 18758  βˆžMetcxmet 20804  ballcbl 20806  MetOpencmopn 20809   toNrmGrp ctng 23957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-tset 17160  df-ds 17163  df-rest 17312  df-topn 17313  df-topgen 17333  df-sbg 18761  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-tng 23963
This theorem is referenced by:  tngngp2  24039  tcphtopn  24613
  Copyright terms: Public domain W3C validator