Theorem tngtopn 24594

Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngtset.2	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
tngtset.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tngtopn	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑇))

Proof of Theorem tngtopn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngbas.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2		tngtset.2	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
3		tngtset.3	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	1, 2, 3	tngtset 24593	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐽 = (TopSet‘𝑇))
5		df-mopn 21316	. . . . . . . . 9 ⊢ MetOpen = (𝑥 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑥)))
6	5	dmmptss 6235	. . . . . . . 8 ⊢ dom MetOpen ⊆ ∪ ran ∞Met
7	6	sseli 3959	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ dom MetOpen → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
8		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
9	1, 8	tngds 24592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑊 → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
10	9, 2	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑊 → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = 𝐷)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = 𝐷)
12	11	dmeqd 5890	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → dom (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = dom 𝐷)
13		dmcoss 5959	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ dom (-g‘𝐺)
14		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
15		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
16		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
17	14, 15, 16, 8	grpsubfval 18971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-g‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)))
18		ovex 7443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ V
19	17, 18	dmmpo 8075	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom (-g‘𝐺) = ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))
20	13, 19	sseqtri 4012	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))
21	12, 20	eqsstrrdi 4009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
23		dmss 5887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)) → dom dom 𝐷 ⊆ dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom dom 𝐷 ⊆ dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
25		dmxpid 5915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐺)
26	24, 25	sseqtrdi 4004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom dom 𝐷 ⊆ (Base‘𝐺))
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
28		xmetunirn 24281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
29	27, 28	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
30		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
31	30	mopnuni 24385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 = ∪ (MetOpen‘𝐷))
32	29, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom dom 𝐷 = ∪ (MetOpen‘𝐷))
33	1, 14	tngbas 24585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑊 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
34	33	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
35	26, 32, 34	3sstr3d 4018	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → ∪ (MetOpen‘𝐷) ⊆ (Base‘𝑇))
36		sspwuni 5081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇) ↔ ∪ (MetOpen‘𝐷) ⊆ (Base‘𝑇))
37	35, 36	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
38	37	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)))
39	7, 38	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)))
40		ndmfv 6916	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) = ∅)
41		0ss 4380	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)
42	40, 41	eqsstrdi 4008	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
43	39, 42	pm2.61d1 180	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
44	3, 43	eqsstrid 4002	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐽 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
45	4, 44	eqsstrrd 3999	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (TopSet‘𝑇) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
46		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
47		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝑇) = (TopSet‘𝑇)
48	46, 47	topnid 17454	. . 3 ⊢ ((TopSet‘𝑇) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇) → (TopSet‘𝑇) = (TopOpen‘𝑇))
49	45, 48	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (TopSet‘𝑇) = (TopOpen‘𝑇))
50	4, 49	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  𝒫 cpw 4580  ∪ cuni 4888   × cxp 5657  dom cdm 5659  ran crn 5660   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  TopSetcts 17282  distcds 17285  TopOpenctopn 17440  topGenctg 17456  inv_gcminusg 18922  -_gcsg 18923  ∞Metcxmet 21305  ballcbl 21307  MetOpencmopn 21310   toNrmGrp ctng 24522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-tset 17295  df-ds 17298  df-rest 17441  df-topn 17442  df-topgen 17462  df-sbg 18926  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-top 22837  df-topon 22854  df-bases 22889  df-tng 24528

This theorem is referenced by:  tngngp2  24596  tcphtopn  25183