MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngtopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngtopn 22667
Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngtset.2 𝐷 = (dist‘𝑇)
tngtset.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
tngtopn ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑇))

Proof of Theorem tngtopn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngbas.t . . 3 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2 tngtset.2 . . 3 𝐷 = (dist‘𝑇)
3 tngtset.3 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
41, 2, 3tngtset 22666 . 2 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐽 = (TopSet‘𝑇))
5 df-mopn 19950 . . . . . . . . 9 MetOpen = (𝑥 ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑥)))
65dmmptss 5773 . . . . . . . 8 dom MetOpen ⊆ ran ∞Met
76sseli 3748 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ dom MetOpen → 𝐷 ran ∞Met)
8 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-g𝐺) = (-g𝐺)
91, 8tngds 22665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁𝑊 → (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = (dist‘𝑇))
109, 2syl6eqr 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁𝑊 → (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = 𝐷)
1110adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = 𝐷)
1211dmeqd 5462 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → dom (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = dom 𝐷)
13 dmcoss 5521 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (𝑁 ∘ (-g𝐺)) ⊆ dom (-g𝐺)
14 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
15 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+g𝐺) = (+g𝐺)
16 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (invg𝐺) = (invg𝐺)
1714, 15, 16, 8grpsubfval 17665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-g𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑦)))
18 ovex 6821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑦)) ∈ V
1917, 18dmmpt2 7388 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (-g𝐺) = ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))
2013, 19sseqtri 3786 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝑁 ∘ (-g𝐺)) ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))
2112, 20syl6eqssr 3805 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
2221adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
23 dmss 5459 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)) → dom dom 𝐷 ⊆ dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → dom dom 𝐷 ⊆ dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
25 dmxpid 5481 . . . . . . . . . . 11 dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐺)
2624, 25syl6sseq 3800 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → dom dom 𝐷 ⊆ (Base‘𝐺))
27 simpr 471 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → 𝐷 ran ∞Met)
28 xmetunirn 22355 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
2927, 28sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
30 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
3130mopnuni 22459 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 = (MetOpen‘𝐷))
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → dom dom 𝐷 = (MetOpen‘𝐷))
331, 14tngbas 22658 . . . . . . . . . . 11 (𝑁𝑊 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
3433ad2antlr 706 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
3526, 32, 343sstr3d 3796 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ (Base‘𝑇))
36 sspwuni 4745 . . . . . . . . 9 ((MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇) ↔ (MetOpen‘𝐷) ⊆ (Base‘𝑇))
3735, 36sylibr 224 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
3837ex 397 . . . . . . 7 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (𝐷 ran ∞Met → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)))
397, 38syl5 34 . . . . . 6 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)))
40 ndmfv 6357 . . . . . . 7 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) = ∅)
41 0ss 4116 . . . . . . 7 ∅ ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)
4240, 41syl6eqss 3804 . . . . . 6 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
4339, 42pm2.61d1 172 . . . . 5 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
443, 43syl5eqss 3798 . . . 4 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐽 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
454, 44eqsstr3d 3789 . . 3 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (TopSet‘𝑇) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
46 eqid 2771 . . . 4 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
47 eqid 2771 . . . 4 (TopSet‘𝑇) = (TopSet‘𝑇)
4846, 47topnid 16297 . . 3 ((TopSet‘𝑇) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇) → (TopSet‘𝑇) = (TopOpen‘𝑇))
4945, 48syl 17 . 2 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (TopSet‘𝑇) = (TopOpen‘𝑇))
504, 49eqtrd 2805 1 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  c0 4063  𝒫 cpw 4297   cuni 4574   × cxp 5247  dom cdm 5249  ran crn 5250  ccom 5253  cfv 6029  (class class class)co 6791  Basecbs 16057  +gcplusg 16142  TopSetcts 16148  distcds 16151  TopOpenctopn 16283  topGenctg 16299  invgcminusg 17624  -gcsg 17625  ∞Metcxmt 19939  ballcbl 19941  MetOpencmopn 19944   toNrmGrp ctng 22596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-map 8009  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-sup 8502  df-inf 8503  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-tset 16161  df-ds 16165  df-rest 16284  df-topn 16285  df-topgen 16305  df-sbg 17628  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-top 20912  df-topon 20929  df-bases 20964  df-tng 22602
This theorem is referenced by:  tngngp2  22669  tchtopn  23237
  Copyright terms: Public domain W3C validator