Theorem tngtopn 23814

Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngtset.2	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
tngtset.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tngtopn	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑇))

Proof of Theorem tngtopn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngbas.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2		tngtset.2	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
3		tngtset.3	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	1, 2, 3	tngtset 23813	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐽 = (TopSet‘𝑇))
5		df-mopn 20593	. . . . . . . . 9 ⊢ MetOpen = (𝑥 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑥)))
6	5	dmmptss 6144	. . . . . . . 8 ⊢ dom MetOpen ⊆ ∪ ran ∞Met
7	6	sseli 3917	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ dom MetOpen → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
8		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
9	1, 8	tngds 23811	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑊 → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
10	9, 2	eqtr4di 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑊 → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = 𝐷)
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = 𝐷)
12	11	dmeqd 5814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → dom (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = dom 𝐷)
13		dmcoss 5880	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ dom (-g‘𝐺)
14		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
15		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
16		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
17	14, 15, 16, 8	grpsubfval 18623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-g‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)))
18		ovex 7308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∈ V
19	17, 18	dmmpo 7911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom (-g‘𝐺) = ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))
20	13, 19	sseqtri 3957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))
21	12, 20	eqsstrrdi 3976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
23		dmss 5811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)) → dom dom 𝐷 ⊆ dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom dom 𝐷 ⊆ dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
25		dmxpid 5839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐺)
26	24, 25	sseqtrdi 3971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom dom 𝐷 ⊆ (Base‘𝐺))
27		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
28		xmetunirn 23490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
29	27, 28	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
30		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
31	30	mopnuni 23594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 = ∪ (MetOpen‘𝐷))
32	29, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom dom 𝐷 = ∪ (MetOpen‘𝐷))
33	1, 14	tngbas 23798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑊 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
34	33	ad2antlr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
35	26, 32, 34	3sstr3d 3967	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → ∪ (MetOpen‘𝐷) ⊆ (Base‘𝑇))
36		sspwuni 5029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇) ↔ ∪ (MetOpen‘𝐷) ⊆ (Base‘𝑇))
37	35, 36	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
38	37	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)))
39	7, 38	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)))
40		ndmfv 6804	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) = ∅)
41		0ss 4330	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)
42	40, 41	eqsstrdi 3975	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
43	39, 42	pm2.61d1 180	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
44	3, 43	eqsstrid 3969	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐽 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
45	4, 44	eqsstrrd 3960	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (TopSet‘𝑇) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
46		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
47		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝑇) = (TopSet‘𝑇)
48	46, 47	topnid 17146	. . 3 ⊢ ((TopSet‘𝑇) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇) → (TopSet‘𝑇) = (TopOpen‘𝑇))
49	45, 48	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → (TopSet‘𝑇) = (TopOpen‘𝑇))
50	4, 49	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533  ∪ cuni 4839   × cxp 5587  dom cdm 5589  ran crn 5590   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  TopSetcts 16968  distcds 16971  TopOpenctopn 17132  topGenctg 17148  inv_gcminusg 18578  -_gcsg 18579  ∞Metcxmet 20582  ballcbl 20584  MetOpencmopn 20587   toNrmGrp ctng 23734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-tset 16981  df-ds 16984  df-rest 17133  df-topn 17134  df-topgen 17154  df-sbg 18582  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-tng 23740

This theorem is referenced by:  tngngp2  23816  tcphtopn  24390