MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngtopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngtopn 24166
Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngtset.2 𝐷 = (distβ€˜π‘‡)
tngtset.3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
tngtopn ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘‡))

Proof of Theorem tngtopn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngbas.t . . 3 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2 tngtset.2 . . 3 𝐷 = (distβ€˜π‘‡)
3 tngtset.3 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
41, 2, 3tngtset 24165 . 2 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ 𝐽 = (TopSetβ€˜π‘‡))
5 df-mopn 20939 . . . . . . . . 9 MetOpen = (π‘₯ ∈ βˆͺ ran ∞Met ↦ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘₯)))
65dmmptss 6240 . . . . . . . 8 dom MetOpen βŠ† βˆͺ ran ∞Met
76sseli 3978 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met)
8 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
91, 8tngds 24163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ π‘Š β†’ (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = (distβ€˜π‘‡))
109, 2eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ π‘Š β†’ (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = 𝐷)
1110adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = 𝐷)
1211dmeqd 5905 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ dom (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = dom 𝐷)
13 dmcoss 5970 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) βŠ† dom (-gβ€˜πΊ)
14 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
15 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
16 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
1714, 15, 16, 8grpsubfval 18867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-gβ€˜πΊ) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))
18 ovex 7441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) ∈ V
1917, 18dmmpo 8056 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (-gβ€˜πΊ) = ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))
2013, 19sseqtri 4018 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))
2112, 20eqsstrrdi 4037 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ dom 𝐷 βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ dom 𝐷 βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
23 dmss 5902 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝐷 βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) β†’ dom dom 𝐷 βŠ† dom ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ dom dom 𝐷 βŠ† dom ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
25 dmxpid 5929 . . . . . . . . . . 11 dom ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) = (Baseβ€˜πΊ)
2624, 25sseqtrdi 4032 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ dom dom 𝐷 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
27 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met)
28 xmetunirn 23842 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜dom dom 𝐷))
2927, 28sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜dom dom 𝐷))
30 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
3130mopnuni 23946 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜dom dom 𝐷) β†’ dom dom 𝐷 = βˆͺ (MetOpenβ€˜π·))
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ dom dom 𝐷 = βˆͺ (MetOpenβ€˜π·))
331, 14tngbas 24150 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ π‘Š β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘‡))
3433ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘‡))
3526, 32, 343sstr3d 4028 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ βˆͺ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
36 sspwuni 5103 . . . . . . . . 9 ((MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡) ↔ βˆͺ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
3735, 36sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡))
3837ex 413 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ (𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡)))
397, 38syl5 34 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ (𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡)))
40 ndmfv 6926 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ (MetOpenβ€˜π·) = βˆ…)
41 0ss 4396 . . . . . . 7 βˆ… βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡)
4240, 41eqsstrdi 4036 . . . . . 6 (Β¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡))
4339, 42pm2.61d1 180 . . . . 5 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡))
443, 43eqsstrid 4030 . . . 4 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ 𝐽 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡))
454, 44eqsstrrd 4021 . . 3 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ (TopSetβ€˜π‘‡) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡))
46 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
47 eqid 2732 . . . 4 (TopSetβ€˜π‘‡) = (TopSetβ€˜π‘‡)
4846, 47topnid 17380 . . 3 ((TopSetβ€˜π‘‡) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡) β†’ (TopSetβ€˜π‘‡) = (TopOpenβ€˜π‘‡))
4945, 48syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ (TopSetβ€˜π‘‡) = (TopOpenβ€˜π‘‡))
504, 49eqtrd 2772 1 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  TopSetcts 17202  distcds 17205  TopOpenctopn 17366  topGenctg 17382  invgcminusg 18819  -gcsg 18820  βˆžMetcxmet 20928  ballcbl 20930  MetOpencmopn 20933   toNrmGrp ctng 24086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-tset 17215  df-ds 17218  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-sbg 18823  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-tng 24092
This theorem is referenced by:  tngngp2  24168  tcphtopn  24742
  Copyright terms: Public domain W3C validator