MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngtopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngtopn 24167
Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngtset.2 𝐷 = (distβ€˜π‘‡)
tngtset.3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
tngtopn ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘‡))

Proof of Theorem tngtopn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngbas.t . . 3 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2 tngtset.2 . . 3 𝐷 = (distβ€˜π‘‡)
3 tngtset.3 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
41, 2, 3tngtset 24166 . 2 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ 𝐽 = (TopSetβ€˜π‘‡))
5 df-mopn 20940 . . . . . . . . 9 MetOpen = (π‘₯ ∈ βˆͺ ran ∞Met ↦ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘₯)))
65dmmptss 6241 . . . . . . . 8 dom MetOpen βŠ† βˆͺ ran ∞Met
76sseli 3979 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met)
8 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
91, 8tngds 24164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ π‘Š β†’ (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = (distβ€˜π‘‡))
109, 2eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ π‘Š β†’ (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = 𝐷)
1110adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = 𝐷)
1211dmeqd 5906 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ dom (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = dom 𝐷)
13 dmcoss 5971 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) βŠ† dom (-gβ€˜πΊ)
14 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
15 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
1714, 15, 16, 8grpsubfval 18868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-gβ€˜πΊ) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))
18 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) ∈ V
1917, 18dmmpo 8057 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (-gβ€˜πΊ) = ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))
2013, 19sseqtri 4019 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))
2112, 20eqsstrrdi 4038 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ dom 𝐷 βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
2221adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ dom 𝐷 βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
23 dmss 5903 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝐷 βŠ† ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) β†’ dom dom 𝐷 βŠ† dom ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ dom dom 𝐷 βŠ† dom ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))
25 dmxpid 5930 . . . . . . . . . . 11 dom ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)) = (Baseβ€˜πΊ)
2624, 25sseqtrdi 4033 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ dom dom 𝐷 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
27 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met)
28 xmetunirn 23843 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜dom dom 𝐷))
2927, 28sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜dom dom 𝐷))
30 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
3130mopnuni 23947 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜dom dom 𝐷) β†’ dom dom 𝐷 = βˆͺ (MetOpenβ€˜π·))
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ dom dom 𝐷 = βˆͺ (MetOpenβ€˜π·))
331, 14tngbas 24151 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ π‘Š β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘‡))
3433ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘‡))
3526, 32, 343sstr3d 4029 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ βˆͺ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
36 sspwuni 5104 . . . . . . . . 9 ((MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡) ↔ βˆͺ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
3735, 36sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡))
3837ex 414 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ (𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡)))
397, 38syl5 34 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ (𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡)))
40 ndmfv 6927 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ (MetOpenβ€˜π·) = βˆ…)
41 0ss 4397 . . . . . . 7 βˆ… βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡)
4240, 41eqsstrdi 4037 . . . . . 6 (Β¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡))
4339, 42pm2.61d1 180 . . . . 5 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡))
443, 43eqsstrid 4031 . . . 4 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ 𝐽 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡))
454, 44eqsstrrd 4022 . . 3 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ (TopSetβ€˜π‘‡) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡))
46 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
47 eqid 2733 . . . 4 (TopSetβ€˜π‘‡) = (TopSetβ€˜π‘‡)
4846, 47topnid 17381 . . 3 ((TopSetβ€˜π‘‡) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘‡) β†’ (TopSetβ€˜π‘‡) = (TopOpenβ€˜π‘‡))
4945, 48syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ (TopSetβ€˜π‘‡) = (TopOpenβ€˜π‘‡))
504, 49eqtrd 2773 1 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ π‘Š) β†’ 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  TopSetcts 17203  distcds 17206  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  invgcminusg 18820  -gcsg 18821  βˆžMetcxmet 20929  ballcbl 20931  MetOpencmopn 20934   toNrmGrp ctng 24087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-tset 17216  df-ds 17219  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-sbg 18824  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-tng 24093
This theorem is referenced by:  tngngp2  24169  tcphtopn  24743
  Copyright terms: Public domain W3C validator