MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngtopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngtopn 23259
Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngtset.2 𝐷 = (dist‘𝑇)
tngtset.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
tngtopn ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑇))

Proof of Theorem tngtopn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngbas.t . . 3 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
2 tngtset.2 . . 3 𝐷 = (dist‘𝑇)
3 tngtset.3 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
41, 2, 3tngtset 23258 . 2 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐽 = (TopSet‘𝑇))
5 df-mopn 20090 . . . . . . . . 9 MetOpen = (𝑥 ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑥)))
65dmmptss 6066 . . . . . . . 8 dom MetOpen ⊆ ran ∞Met
76sseli 3914 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ dom MetOpen → 𝐷 ran ∞Met)
8 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-g𝐺) = (-g𝐺)
91, 8tngds 23257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁𝑊 → (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = (dist‘𝑇))
109, 2eqtr4di 2854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁𝑊 → (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = 𝐷)
1110adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = 𝐷)
1211dmeqd 5742 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → dom (𝑁 ∘ (-g𝐺)) = dom 𝐷)
13 dmcoss 5811 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (𝑁 ∘ (-g𝐺)) ⊆ dom (-g𝐺)
14 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
15 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+g𝐺) = (+g𝐺)
16 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (invg𝐺) = (invg𝐺)
1714, 15, 16, 8grpsubfval 18142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-g𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑦)))
18 ovex 7172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑦)) ∈ V
1917, 18dmmpo 7755 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (-g𝐺) = ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))
2013, 19sseqtri 3954 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝑁 ∘ (-g𝐺)) ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))
2112, 20eqsstrrdi 3973 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
2221adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
23 dmss 5739 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝐷 ⊆ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)) → dom dom 𝐷 ⊆ dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → dom dom 𝐷 ⊆ dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
25 dmxpid 5768 . . . . . . . . . . 11 dom ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐺)
2624, 25sseqtrdi 3968 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → dom dom 𝐷 ⊆ (Base‘𝐺))
27 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → 𝐷 ran ∞Met)
28 xmetunirn 22947 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
2927, 28sylib 221 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
30 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
3130mopnuni 23051 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 = (MetOpen‘𝐷))
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → dom dom 𝐷 = (MetOpen‘𝐷))
331, 14tngbas 23250 . . . . . . . . . . 11 (𝑁𝑊 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
3433ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
3526, 32, 343sstr3d 3964 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ (Base‘𝑇))
36 sspwuni 4988 . . . . . . . . 9 ((MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇) ↔ (MetOpen‘𝐷) ⊆ (Base‘𝑇))
3735, 36sylibr 237 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑉𝑁𝑊) ∧ 𝐷 ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
3837ex 416 . . . . . . 7 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (𝐷 ran ∞Met → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)))
397, 38syl5 34 . . . . . 6 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)))
40 ndmfv 6679 . . . . . . 7 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) = ∅)
41 0ss 4307 . . . . . . 7 ∅ ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇)
4240, 41eqsstrdi 3972 . . . . . 6 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
4339, 42pm2.61d1 183 . . . . 5 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
443, 43eqsstrid 3966 . . . 4 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐽 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
454, 44eqsstrrd 3957 . . 3 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (TopSet‘𝑇) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇))
46 eqid 2801 . . . 4 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
47 eqid 2801 . . . 4 (TopSet‘𝑇) = (TopSet‘𝑇)
4846, 47topnid 16704 . . 3 ((TopSet‘𝑇) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑇) → (TopSet‘𝑇) = (TopOpen‘𝑇))
4945, 48syl 17 . 2 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → (TopSet‘𝑇) = (TopOpen‘𝑇))
504, 49eqtrd 2836 1 ((𝐺𝑉𝑁𝑊) → 𝐽 = (TopOpen‘𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wss 3884  c0 4246  𝒫 cpw 4500   cuni 4803   × cxp 5521  dom cdm 5523  ran crn 5524  ccom 5527  cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  TopSetcts 16566  distcds 16569  TopOpenctopn 16690  topGenctg 16706  invgcminusg 18099  -gcsg 18100  ∞Metcxmet 20079  ballcbl 20081  MetOpencmopn 20084   toNrmGrp ctng 23188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-tset 16579  df-ds 16582  df-rest 16691  df-topn 16692  df-topgen 16712  df-sbg 18103  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-tng 23194
This theorem is referenced by:  tngngp2  23261  tcphtopn  23833
  Copyright terms: Public domain W3C validator