Theorem circtopn 30778

Description: The topology of the unit circle is generated by open intervals of the polar coordinate. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
circtopn.i	⊢ 𝐼 = (0[,](2 · π))
circtopn.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
circtopn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))
circtopn.c	⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})

Assertion

Ref	Expression
circtopn	⊢ (𝐽 qTop 𝐹) = (TopOpen‘(𝐹 “s ℝfld))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem circtopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwuni 4745	. . 3 ⊢ (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 ∪ (𝐽 qTop 𝐹)
2		circtopn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 23089	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2857	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5		circtopn.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))
6		circtopn.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})
7	5, 6	efifo 24848	. . . . 5 ⊢ 𝐹:ℝ–onto→𝐶
8		uniretop 23090	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
9	2	unieqi 4718	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
10	8, 9	eqtr4i 2800	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
11	10	qtopuni 22030	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:ℝ–onto→𝐶) → 𝐶 = ∪ (𝐽 qTop 𝐹))
12	4, 7, 11	mp2an 680	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ∪ (𝐽 qTop 𝐹)
13	12	pweqi 4421	. . 3 ⊢ 𝒫 𝐶 = 𝒫 ∪ (𝐽 qTop 𝐹)
14	1, 13	sseqtr4i 3889	. 2 ⊢ (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝐶
15		eqidd 2774	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝐹 “s ℝfld) = (𝐹 “s ℝfld))
16		rebase 20468	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℝ = (Base‘ℝfld))
18	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℝ–onto→𝐶)
19		recms 23702	. . . . . 6 ⊢ ℝfld ∈ CMetSp
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℝfld ∈ CMetSp)
21	15, 17, 18, 20	imasbas 16640	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐶 = (Base‘(𝐹 “s ℝfld)))
22	21	mptru 1515	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘(𝐹 “s ℝfld))
23		retopn 23701	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (TopOpen‘ℝfld)
24	2, 23	eqtri 2797	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℝfld)
25		eqid 2773	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘(𝐹 “s ℝfld)) = (TopSet‘(𝐹 “s ℝfld))
26	15, 17, 18, 20, 24, 25	imastset 16650	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (TopSet‘(𝐹 “s ℝfld)) = (𝐽 qTop 𝐹))
27	26	mptru 1515	. . . 4 ⊢ (TopSet‘(𝐹 “s ℝfld)) = (𝐽 qTop 𝐹)
28	27	eqcomi 2782	. . 3 ⊢ (𝐽 qTop 𝐹) = (TopSet‘(𝐹 “s ℝfld))
29	22, 28	topnid 16564	. 2 ⊢ ((𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝐶 → (𝐽 qTop 𝐹) = (TopOpen‘(𝐹 “s ℝfld)))
30	14, 29	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐽 qTop 𝐹) = (TopOpen‘(𝐹 “s ℝfld))

Syntax hints:   = wceq 1508  ⊤wtru 1509   ∈ wcel 2051   ⊆ wss 3824  𝒫 cpw 4417  {csn 4436  ∪ cuni 4709   ↦ cmpt 5005  ^◡ccnv 5403  ran crn 5405   “ cima 5407  –onto→wfo 6184  ‘cfv 6186  (class class class)co 6975  ℝcr 10333  0cc0 10334  1c1 10335  ici 10336   · cmul 10339  2c2 11494  (,)cioo 12553  [,]cicc 12556  abscabs 14453  expce 15274  πcpi 15279  Basecbs 16338  TopSetcts 16426  TopOpenctopn 16550  topGenctg 16566   qTop cqtop 16631   “_s cimas 16632  ℝ_fldcrefld 20466  Topctop 21221  CMetSpccms 23654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-inf2 8897  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411  ax-pre-sup 10412  ax-addf 10413  ax-mulf 10414

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-iin 4792  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-of 7226  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-supp 7633  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-2o 7905  df-oadd 7908  df-er 8088  df-map 8207  df-pm 8208  df-ixp 8259  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-fsupp 8628  df-fi 8669  df-sup 8700  df-inf 8701  df-oi 8768  df-card 9161  df-cda 9387  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-4 11504  df-5 11505  df-6 11506  df-7 11507  df-8 11508  df-9 11509  df-n0 11707  df-z 11793  df-dec 11911  df-uz 12058  df-q 12162  df-rp 12204  df-xneg 12323  df-xadd 12324  df-xmul 12325  df-ioo 12557  df-ioc 12558  df-ico 12559  df-icc 12560  df-fz 12708  df-fzo 12849  df-fl 12976  df-mod 13052  df-seq 13184  df-exp 13244  df-fac 13448  df-bc 13477  df-hash 13505  df-shft 14286  df-cj 14318  df-re 14319  df-im 14320  df-sqrt 14454  df-abs 14455  df-limsup 14688  df-clim 14705  df-rlim 14706  df-sum 14903  df-ef 15280  df-sin 15282  df-cos 15283  df-pi 15285  df-struct 16340  df-ndx 16341  df-slot 16342  df-base 16344  df-sets 16345  df-ress 16346  df-plusg 16433  df-mulr 16434  df-starv 16435  df-sca 16436  df-vsca 16437  df-ip 16438  df-tset 16439  df-ple 16440  df-ds 16442  df-unif 16443  df-hom 16444  df-cco 16445  df-rest 16551  df-topn 16552  df-0g 16570  df-gsum 16571  df-topgen 16572  df-pt 16573  df-prds 16576  df-xrs 16630  df-qtop 16635  df-imas 16636  df-xps 16638  df-mre 16728  df-mrc 16729  df-acs 16731  df-mgm 17723  df-sgrp 17765  df-mnd 17776  df-submnd 17817  df-mulg 18025  df-cntz 18231  df-cmn 18681  df-psmet 20255  df-xmet 20256  df-met 20257  df-bl 20258  df-mopn 20259  df-fbas 20260  df-fg 20261  df-cnfld 20264  df-refld 20467  df-top 21222  df-topon 21239  df-topsp 21261  df-bases 21274  df-cld 21347  df-ntr 21348  df-cls 21349  df-nei 21426  df-lp 21464  df-perf 21465  df-cn 21555  df-cnp 21556  df-haus 21643  df-cmp 21715  df-tx 21890  df-hmeo 22083  df-fil 22174  df-fm 22266  df-flim 22267  df-flf 22268  df-fcls 22269  df-xms 22649  df-ms 22650  df-tms 22651  df-cncf 23205  df-cfil 23577  df-cmet 23579  df-cms 23657  df-limc 24183  df-dv 24184

This theorem is referenced by: (None)