MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmstopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsmstopn 23015
Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x (𝜑𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d (𝜑𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsms.m (𝜑𝑀𝑉)
Assertion
Ref Expression
setsmstopn (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))

Proof of Theorem setsmstopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setsms.x . . 3 (𝜑𝑋 = (Base‘𝑀))
2 setsms.d . . 3 (𝜑𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
3 setsms.k . . 3 (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
4 setsms.m . . 3 (𝜑𝑀𝑉)
51, 2, 3, 4setsmstset 23014 . 2 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopSet‘𝐾))
6 df-mopn 20469 . . . . . . . 8 MetOpen = (𝑥 ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑥)))
76dmmptss 6088 . . . . . . 7 dom MetOpen ⊆ ran ∞Met
87sseli 3960 . . . . . 6 (𝐷 ∈ dom MetOpen → 𝐷 ran ∞Met)
9 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → 𝐷 ran ∞Met)
10 xmetunirn 22874 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
119, 10sylib 219 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
12 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
1312mopnuni 22978 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 = (MetOpen‘𝐷))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → dom dom 𝐷 = (MetOpen‘𝐷))
152dmeqd 5767 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝐷 = dom ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
16 dmres 5868 . . . . . . . . . . . . . 14 dom ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀))
1715, 16syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom 𝐷 = ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀)))
18 inss1 4202 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀)) ⊆ (𝑋 × 𝑋)
1917, 18eqsstrdi 4018 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝐷 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
20 dmss 5764 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝐷 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → dom dom 𝐷 ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom dom 𝐷 ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
22 dmxpid 5793 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
2321, 22sseqtrdi 4014 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom dom 𝐷𝑋)
2423adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → dom dom 𝐷𝑋)
2514, 24eqsstrrd 4003 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝑋)
26 sspwuni 5013 . . . . . . . 8 ((MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋 (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝑋)
2725, 26sylibr 235 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
2827ex 413 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 ran ∞Met → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋))
298, 28syl5 34 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋))
30 ndmfv 6693 . . . . . 6 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) = ∅)
31 0ss 4347 . . . . . 6 ∅ ⊆ 𝒫 𝑋
3230, 31eqsstrdi 4018 . . . . 5 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
3329, 32pm2.61d1 181 . . . 4 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
341, 2, 3setsmsbas 23012 . . . . 5 (𝜑𝑋 = (Base‘𝐾))
3534pweqd 4540 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝑋 = 𝒫 (Base‘𝐾))
3633, 5, 353sstr3d 4010 . . 3 (𝜑 → (TopSet‘𝐾) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐾))
37 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
38 eqid 2818 . . . 4 (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
3937, 38topnid 16697 . . 3 ((TopSet‘𝐾) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐾) → (TopSet‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾))
4036, 39syl 17 . 2 (𝜑 → (TopSet‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾))
415, 40eqtrd 2853 1 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cin 3932  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535  cop 4563   cuni 4830   × cxp 5546  dom cdm 5548  ran crn 5549  cres 5550  cfv 6348  (class class class)co 7145  ndxcnx 16468   sSet csts 16469  Basecbs 16471  TopSetcts 16559  distcds 16562  TopOpenctopn 16683  topGenctg 16699  ∞Metcxmet 20458  ballcbl 20460  MetOpencmopn 20463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-tset 16572  df-rest 16684  df-topn 16685  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482
This theorem is referenced by:  setsxms  23016  tmslem  23019
  Copyright terms: Public domain W3C validator