MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmstopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsmstopn 24406
Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x (πœ‘ β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘€))
setsms.d (πœ‘ β†’ 𝐷 = ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
setsms.k (πœ‘ β†’ 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜π·)⟩))
setsms.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
setsmstopn (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜π·) = (TopOpenβ€˜πΎ))

Proof of Theorem setsmstopn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setsms.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘€))
2 setsms.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 = ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
3 setsms.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜π·)⟩))
4 setsms.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
51, 2, 3, 4setsmstset 24405 . 2 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜π·) = (TopSetβ€˜πΎ))
6 df-mopn 21282 . . . . . . . 8 MetOpen = (π‘₯ ∈ βˆͺ ran ∞Met ↦ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘₯)))
76dmmptss 6250 . . . . . . 7 dom MetOpen βŠ† βˆͺ ran ∞Met
87sseli 3978 . . . . . 6 (𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met)
9 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met)
10 xmetunirn 24263 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜dom dom 𝐷))
119, 10sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜dom dom 𝐷))
12 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
1312mopnuni 24367 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜dom dom 𝐷) β†’ dom dom 𝐷 = βˆͺ (MetOpenβ€˜π·))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ dom dom 𝐷 = βˆͺ (MetOpenβ€˜π·))
152dmeqd 5912 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom 𝐷 = dom ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
16 dmres 6021 . . . . . . . . . . . . . 14 dom ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = ((𝑋 Γ— 𝑋) ∩ dom (distβ€˜π‘€))
1715, 16eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ dom 𝐷 = ((𝑋 Γ— 𝑋) ∩ dom (distβ€˜π‘€)))
18 inss1 4231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 Γ— 𝑋) ∩ dom (distβ€˜π‘€)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)
1917, 18eqsstrdi 4036 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ dom 𝐷 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
20 dmss 5909 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝐷 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ dom dom 𝐷 βŠ† dom (𝑋 Γ— 𝑋))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐷 βŠ† dom (𝑋 Γ— 𝑋))
22 dmxpid 5936 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑋 Γ— 𝑋) = 𝑋
2321, 22sseqtrdi 4032 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐷 βŠ† 𝑋)
2423adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ dom dom 𝐷 βŠ† 𝑋)
2514, 24eqsstrrd 4021 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ βˆͺ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝑋)
26 sspwuni 5107 . . . . . . . 8 ((MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝑋)
2725, 26sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 𝑋)
2827ex 411 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 𝑋))
298, 28syl5 34 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 𝑋))
30 ndmfv 6937 . . . . . 6 (Β¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ (MetOpenβ€˜π·) = βˆ…)
31 0ss 4400 . . . . . 6 βˆ… βŠ† 𝒫 𝑋
3230, 31eqsstrdi 4036 . . . . 5 (Β¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 𝑋)
3329, 32pm2.61d1 180 . . . 4 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 𝑋)
341, 2, 3setsmsbas 24401 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜πΎ))
3534pweqd 4623 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝒫 𝑋 = 𝒫 (Baseβ€˜πΎ))
3633, 5, 353sstr3d 4028 . . 3 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜πΎ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΎ))
37 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
38 eqid 2728 . . . 4 (TopSetβ€˜πΎ) = (TopSetβ€˜πΎ)
3937, 38topnid 17424 . . 3 ((TopSetβ€˜πΎ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΎ) β†’ (TopSetβ€˜πΎ) = (TopOpenβ€˜πΎ))
4036, 39syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜πΎ) = (TopOpenβ€˜πΎ))
415, 40eqtrd 2768 1 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜π·) = (TopOpenβ€˜πΎ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  π’« cpw 4606  βŸ¨cop 4638  βˆͺ cuni 4912   Γ— cxp 5680  dom cdm 5682  ran crn 5683   β†Ύ cres 5684  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   sSet csts 17139  ndxcnx 17169  Basecbs 17187  TopSetcts 17246  distcds 17249  TopOpenctopn 17410  topGenctg 17426  βˆžMetcxmet 21271  ballcbl 21273  MetOpencmopn 21276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-tset 17259  df-rest 17411  df-topn 17412  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869
This theorem is referenced by:  setsxms  24407  tmslem  24410  tmslemOLD  24411
  Copyright terms: Public domain W3C validator