MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmstopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsmstopn 24307
Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x (𝜑𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d (𝜑𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsms.m (𝜑𝑀𝑉)
Assertion
Ref Expression
setsmstopn (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))

Proof of Theorem setsmstopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setsms.x . . 3 (𝜑𝑋 = (Base‘𝑀))
2 setsms.d . . 3 (𝜑𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
3 setsms.k . . 3 (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
4 setsms.m . . 3 (𝜑𝑀𝑉)
51, 2, 3, 4setsmstset 24306 . 2 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopSet‘𝐾))
6 df-mopn 21223 . . . . . . . 8 MetOpen = (𝑥 ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑥)))
76dmmptss 6230 . . . . . . 7 dom MetOpen ⊆ ran ∞Met
87sseli 3970 . . . . . 6 (𝐷 ∈ dom MetOpen → 𝐷 ran ∞Met)
9 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → 𝐷 ran ∞Met)
10 xmetunirn 24164 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
119, 10sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
12 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
1312mopnuni 24268 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 = (MetOpen‘𝐷))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → dom dom 𝐷 = (MetOpen‘𝐷))
152dmeqd 5895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝐷 = dom ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
16 dmres 5993 . . . . . . . . . . . . . 14 dom ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀))
1715, 16eqtrdi 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom 𝐷 = ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀)))
18 inss1 4220 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀)) ⊆ (𝑋 × 𝑋)
1917, 18eqsstrdi 4028 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝐷 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
20 dmss 5892 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝐷 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → dom dom 𝐷 ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom dom 𝐷 ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
22 dmxpid 5919 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
2321, 22sseqtrdi 4024 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom dom 𝐷𝑋)
2423adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → dom dom 𝐷𝑋)
2514, 24eqsstrrd 4013 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝑋)
26 sspwuni 5093 . . . . . . . 8 ((MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋 (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝑋)
2725, 26sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
2827ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 ran ∞Met → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋))
298, 28syl5 34 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋))
30 ndmfv 6916 . . . . . 6 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) = ∅)
31 0ss 4388 . . . . . 6 ∅ ⊆ 𝒫 𝑋
3230, 31eqsstrdi 4028 . . . . 5 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
3329, 32pm2.61d1 180 . . . 4 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
341, 2, 3setsmsbas 24302 . . . . 5 (𝜑𝑋 = (Base‘𝐾))
3534pweqd 4611 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝑋 = 𝒫 (Base‘𝐾))
3633, 5, 353sstr3d 4020 . . 3 (𝜑 → (TopSet‘𝐾) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐾))
37 eqid 2724 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
38 eqid 2724 . . . 4 (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
3937, 38topnid 17379 . . 3 ((TopSet‘𝐾) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐾) → (TopSet‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾))
4036, 39syl 17 . 2 (𝜑 → (TopSet‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾))
415, 40eqtrd 2764 1 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3939  wss 3940  c0 4314  𝒫 cpw 4594  cop 4626   cuni 4899   × cxp 5664  dom cdm 5666  ran crn 5667  cres 5668  cfv 6533  (class class class)co 7401   sSet csts 17094  ndxcnx 17124  Basecbs 17142  TopSetcts 17201  distcds 17204  TopOpenctopn 17365  topGenctg 17381  ∞Metcxmet 21212  ballcbl 21214  MetOpencmopn 21217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-tset 17214  df-rest 17366  df-topn 17367  df-topgen 17387  df-psmet 21219  df-xmet 21220  df-bl 21222  df-mopn 21223  df-top 22717  df-topon 22734  df-bases 22770
This theorem is referenced by:  setsxms  24308  tmslem  24311  tmslemOLD  24312
  Copyright terms: Public domain W3C validator