MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmstopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsmstopn 24490
Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x (𝜑𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d (𝜑𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsms.m (𝜑𝑀𝑉)
Assertion
Ref Expression
setsmstopn (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))

Proof of Theorem setsmstopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setsms.x . . 3 (𝜑𝑋 = (Base‘𝑀))
2 setsms.d . . 3 (𝜑𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
3 setsms.k . . 3 (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
4 setsms.m . . 3 (𝜑𝑀𝑉)
51, 2, 3, 4setsmstset 24489 . 2 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopSet‘𝐾))
6 df-mopn 21360 . . . . . . . 8 MetOpen = (𝑥 ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑥)))
76dmmptss 6261 . . . . . . 7 dom MetOpen ⊆ ran ∞Met
87sseli 3979 . . . . . 6 (𝐷 ∈ dom MetOpen → 𝐷 ran ∞Met)
9 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → 𝐷 ran ∞Met)
10 xmetunirn 24347 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
119, 10sylib 218 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
12 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
1312mopnuni 24451 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 = (MetOpen‘𝐷))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → dom dom 𝐷 = (MetOpen‘𝐷))
152dmeqd 5916 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝐷 = dom ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
16 dmres 6030 . . . . . . . . . . . . . 14 dom ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀))
1715, 16eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom 𝐷 = ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀)))
18 inss1 4237 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀)) ⊆ (𝑋 × 𝑋)
1917, 18eqsstrdi 4028 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝐷 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
20 dmss 5913 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝐷 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → dom dom 𝐷 ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom dom 𝐷 ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
22 dmxpid 5941 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
2321, 22sseqtrdi 4024 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom dom 𝐷𝑋)
2423adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → dom dom 𝐷𝑋)
2514, 24eqsstrrd 4019 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝑋)
26 sspwuni 5100 . . . . . . . 8 ((MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋 (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝑋)
2725, 26sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
2827ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 ran ∞Met → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋))
298, 28syl5 34 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋))
30 ndmfv 6941 . . . . . 6 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) = ∅)
31 0ss 4400 . . . . . 6 ∅ ⊆ 𝒫 𝑋
3230, 31eqsstrdi 4028 . . . . 5 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
3329, 32pm2.61d1 180 . . . 4 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
341, 2, 3setsmsbas 24485 . . . . 5 (𝜑𝑋 = (Base‘𝐾))
3534pweqd 4617 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝑋 = 𝒫 (Base‘𝐾))
3633, 5, 353sstr3d 4038 . . 3 (𝜑 → (TopSet‘𝐾) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐾))
37 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
38 eqid 2737 . . . 4 (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
3937, 38topnid 17480 . . 3 ((TopSet‘𝐾) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐾) → (TopSet‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾))
4036, 39syl 17 . 2 (𝜑 → (TopSet‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾))
415, 40eqtrd 2777 1 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600  cop 4632   cuni 4907   × cxp 5683  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431   sSet csts 17200  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  TopSetcts 17303  distcds 17306  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  ∞Metcxmet 21349  ballcbl 21351  MetOpencmopn 21354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-tset 17316  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953
This theorem is referenced by:  setsxms  24491  tmslem  24494  tmslemOLD  24495
  Copyright terms: Public domain W3C validator