Theorem setsmstopn 24422

Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsms.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
setsmstopn	⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))

Proof of Theorem setsmstopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsms.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
2		setsms.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
3		setsms.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
4		setsms.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
5	1, 2, 3, 4	setsmstset 24421	. 2 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopSet‘𝐾))
6		df-mopn 21305	. . . . . . . 8 ⊢ MetOpen = (𝑥 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑥)))
7	6	dmmptss 6199	. . . . . . 7 ⊢ dom MetOpen ⊆ ∪ ran ∞Met
8	7	sseli 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ dom MetOpen → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
9		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
10		xmetunirn 24281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
11	9, 10	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
12		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
13	12	mopnuni 24385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 = ∪ (MetOpen‘𝐷))
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom dom 𝐷 = ∪ (MetOpen‘𝐷))
15	2	dmeqd 5854	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 = dom ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
16		dmres 5971	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀))
17	15, 16	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 = ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀)))
18		inss1 4189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀)) ⊆ (𝑋 × 𝑋)
19	17, 18	eqsstrdi 3978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
20		dmss 5851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dom 𝐷 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → dom dom 𝐷 ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐷 ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
22		dmxpid 5879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
23	21, 22	sseqtrdi 3974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐷 ⊆ 𝑋)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom dom 𝐷 ⊆ 𝑋)
25	14, 24	eqsstrrd 3969	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → ∪ (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝑋)
26		sspwuni 5055	. . . . . . . 8 ⊢ ((MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝑋)
27	25, 26	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
28	27	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋))
29	8, 28	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋))
30		ndmfv 6866	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) = ∅)
31		0ss 4352	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ 𝒫 𝑋
32	30, 31	eqsstrdi 3978	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
33	29, 32	pm2.61d1 180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
34	1, 2, 3	setsmsbas 24419	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝐾))
35	34	pweqd 4571	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 = 𝒫 (Base‘𝐾))
36	33, 5, 35	3sstr3d 3988	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝐾) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐾))
37		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
38		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
39	37, 38	topnid 17355	. . 3 ⊢ ((TopSet‘𝐾) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐾) → (TopSet‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾))
40	36, 39	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾))
41	5, 40	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  ⟨cop 4586  ∪ cuni 4863   × cxp 5622  dom cdm 5624  ran crn 5625   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   sSet csts 17090  ndxcnx 17120  Basecbs 17136  TopSetcts 17183  distcds 17186  TopOpenctopn 17341  topGenctg 17357  ∞Metcxmet 21294  ballcbl 21296  MetOpencmopn 21299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-tset 17196  df-rest 17342  df-topn 17343  df-topgen 17363  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-top 22838  df-topon 22855  df-bases 22890

This theorem is referenced by:  setsxms  24423  tmslem  24426