MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmstopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsmstopn 23856
Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x (πœ‘ β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘€))
setsms.d (πœ‘ β†’ 𝐷 = ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
setsms.k (πœ‘ β†’ 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜π·)⟩))
setsms.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
setsmstopn (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜π·) = (TopOpenβ€˜πΎ))

Proof of Theorem setsmstopn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setsms.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘€))
2 setsms.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 = ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
3 setsms.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜π·)⟩))
4 setsms.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
51, 2, 3, 4setsmstset 23855 . 2 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜π·) = (TopSetβ€˜πΎ))
6 df-mopn 20815 . . . . . . . 8 MetOpen = (π‘₯ ∈ βˆͺ ran ∞Met ↦ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘₯)))
76dmmptss 6197 . . . . . . 7 dom MetOpen βŠ† βˆͺ ran ∞Met
87sseli 3944 . . . . . 6 (𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met)
9 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met)
10 xmetunirn 23713 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜dom dom 𝐷))
119, 10sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜dom dom 𝐷))
12 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
1312mopnuni 23817 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜dom dom 𝐷) β†’ dom dom 𝐷 = βˆͺ (MetOpenβ€˜π·))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ dom dom 𝐷 = βˆͺ (MetOpenβ€˜π·))
152dmeqd 5865 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom 𝐷 = dom ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
16 dmres 5963 . . . . . . . . . . . . . 14 dom ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = ((𝑋 Γ— 𝑋) ∩ dom (distβ€˜π‘€))
1715, 16eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ dom 𝐷 = ((𝑋 Γ— 𝑋) ∩ dom (distβ€˜π‘€)))
18 inss1 4192 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 Γ— 𝑋) ∩ dom (distβ€˜π‘€)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)
1917, 18eqsstrdi 4002 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ dom 𝐷 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
20 dmss 5862 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝐷 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ dom dom 𝐷 βŠ† dom (𝑋 Γ— 𝑋))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐷 βŠ† dom (𝑋 Γ— 𝑋))
22 dmxpid 5889 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑋 Γ— 𝑋) = 𝑋
2321, 22sseqtrdi 3998 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐷 βŠ† 𝑋)
2423adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ dom dom 𝐷 βŠ† 𝑋)
2514, 24eqsstrrd 3987 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ βˆͺ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝑋)
26 sspwuni 5064 . . . . . . . 8 ((MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝑋)
2725, 26sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 𝑋)
2827ex 414 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 𝑋))
298, 28syl5 34 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 𝑋))
30 ndmfv 6881 . . . . . 6 (Β¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ (MetOpenβ€˜π·) = βˆ…)
31 0ss 4360 . . . . . 6 βˆ… βŠ† 𝒫 𝑋
3230, 31eqsstrdi 4002 . . . . 5 (Β¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 𝑋)
3329, 32pm2.61d1 180 . . . 4 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 𝑋)
341, 2, 3setsmsbas 23851 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜πΎ))
3534pweqd 4581 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝒫 𝑋 = 𝒫 (Baseβ€˜πΎ))
3633, 5, 353sstr3d 3994 . . 3 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜πΎ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΎ))
37 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
38 eqid 2733 . . . 4 (TopSetβ€˜πΎ) = (TopSetβ€˜πΎ)
3937, 38topnid 17325 . . 3 ((TopSetβ€˜πΎ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΎ) β†’ (TopSetβ€˜πΎ) = (TopOpenβ€˜πΎ))
4036, 39syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜πΎ) = (TopOpenβ€˜πΎ))
415, 40eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜π·) = (TopOpenβ€˜πΎ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  βŸ¨cop 4596  βˆͺ cuni 4869   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   sSet csts 17043  ndxcnx 17073  Basecbs 17091  TopSetcts 17147  distcds 17150  TopOpenctopn 17311  topGenctg 17327  βˆžMetcxmet 20804  ballcbl 20806  MetOpencmopn 20809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-tset 17160  df-rest 17312  df-topn 17313  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319
This theorem is referenced by:  setsxms  23857  tmslem  23860  tmslemOLD  23861
  Copyright terms: Public domain W3C validator