Theorem setsmstopn 24827

Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsms.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
setsmstopn	⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))

Proof of Theorem setsmstopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsms.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
2		setsms.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
3		setsms.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
4		setsms.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
5	1, 2, 3, 4	setsmstset 24826	. 2 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopSet‘𝐾))
6		df-mopn 21704	. . . . . . . 8 ⊢ MetOpen = (𝑥 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑥)))
7	6	dmmptss 6255	. . . . . . 7 ⊢ dom MetOpen ⊆ ∪ ran ∞Met
8	7	sseli 3909	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ dom MetOpen → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
9		xmetunirn 24686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
10	9	bilani 510	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
11		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
12	11	mopnuni 24790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 = ∪ (MetOpen‘𝐷))
13	10, 12	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom dom 𝐷 = ∪ (MetOpen‘𝐷))
14	2	dmeqd 5894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 = dom ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
15		dmres 6015	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀))
16	14, 15	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 = ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀)))
17		inss1 4136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀)) ⊆ (𝑋 × 𝑋)
18	16, 17	eqsstrdi 3957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
19		dmss 5891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dom 𝐷 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → dom dom 𝐷 ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐷 ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
21		dmxpid 5919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
22	20, 21	sseqtrdi 3953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐷 ⊆ 𝑋)
23	22	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom dom 𝐷 ⊆ 𝑋)
24	13, 23	eqsstrrd 3948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → ∪ (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝑋)
25		sspwuni 5063	. . . . . . . 8 ⊢ ((MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝑋)
26	24, 25	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
27	26	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋))
28	8, 27	syl5 35	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋))
29		ndmfv 6940	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) = ∅)
30		0ss 4353	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ 𝒫 𝑋
31	29, 30	eqsstrdi 3957	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
32	28, 31	pm2.61d1 182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
33	1, 2, 3	setsmsbas 24824	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝐾))
34	33	pweqd 4577	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 = 𝒫 (Base‘𝐾))
35	32, 5, 34	3sstr3d 3967	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝐾) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐾))
36		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
37		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
38	36, 37	topnid 17635	. . 3 ⊢ ((TopSet‘𝐾) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐾) → (TopSet‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾))
39	35, 38	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾))
40	5, 39	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  ⟨cop 4838  ∪ cuni 4870   × cxp 5653  dom cdm 5655  ran crn 5656   ↾ cres 5657  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   sSet csts 17370  ndxcnx 17400  Basecbs 17416  TopSetcts 17463  distcds 17466  TopOpenctopn 17621  topGenctg 17637  ∞Metcxmet 21693  ballcbl 21695  MetOpencmopn 21698

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-tset 17476  df-rest 17622  df-topn 17623  df-topgen 17643  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-top 23242  df-topon 23259  df-bases 23294

This theorem is used by:  setsxms  24828  tmslem  24831