Theorem setsmstopn 24672

Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsms.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
setsmstopn	⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))

Proof of Theorem setsmstopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsms.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
2		setsms.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
3		setsms.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
4		setsms.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
5	1, 2, 3, 4	setsmstset 24671	. 2 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopSet‘𝐾))
6		df-mopn 21555	. . . . . . . 8 ⊢ MetOpen = (𝑥 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑥)))
7	6	dmmptss 6247	. . . . . . 7 ⊢ dom MetOpen ⊆ ∪ ran ∞Met
8	7	sseli 3936	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ dom MetOpen → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
9		xmetunirn 24531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
10	9	bilani 510	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
11		eqid 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
12	11	mopnuni 24635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 = ∪ (MetOpen‘𝐷))
13	10, 12	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom dom 𝐷 = ∪ (MetOpen‘𝐷))
14	2	dmeqd 5900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 = dom ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
15		dmres 6016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀))
16	14, 15	eqtrdi 2817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 = ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀)))
17		inss1 4192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀)) ⊆ (𝑋 × 𝑋)
18	16, 17	eqsstrdi 3984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
19		dmss 5897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dom 𝐷 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → dom dom 𝐷 ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐷 ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
21		dmxpid 5925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
22	20, 21	sseqtrdi 3980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐷 ⊆ 𝑋)
23	22	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom dom 𝐷 ⊆ 𝑋)
24	13, 23	eqsstrrd 3975	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → ∪ (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝑋)
25		sspwuni 5071	. . . . . . . 8 ⊢ ((MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝑋)
26	24, 25	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
27	26	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋))
28	8, 27	syl5 35	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋))
29		ndmfv 6920	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) = ∅)
30		0ss 4360	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ 𝒫 𝑋
31	29, 30	eqsstrdi 3984	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
32	28, 31	pm2.61d1 182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
33	1, 2, 3	setsmsbas 24669	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝐾))
34	33	pweqd 4584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 = 𝒫 (Base‘𝐾))
35	32, 5, 34	3sstr3d 3994	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝐾) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐾))
36		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
37		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
38	36, 37	topnid 17513	. . 3 ⊢ ((TopSet‘𝐾) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐾) → (TopSet‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾))
39	35, 38	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾))
40	5, 39	eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  𝒫 cpw 4567  ⟨cop 4600  ∪ cuni 4877   × cxp 5664  dom cdm 5666  ran crn 5667   ↾ cres 5668  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   sSet csts 17248  ndxcnx 17278  Basecbs 17294  TopSetcts 17341  distcds 17344  TopOpenctopn 17499  topGenctg 17515  ∞Metcxmet 21544  ballcbl 21546  MetOpencmopn 21549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-tset 17354  df-rest 17500  df-topn 17501  df-topgen 17521  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-top 23088  df-topon 23105  df-bases 23140

This theorem is used by:  setsxms  24673  tmslem  24676