MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmstopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsmstopn 24336
Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x (πœ‘ β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘€))
setsms.d (πœ‘ β†’ 𝐷 = ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
setsms.k (πœ‘ β†’ 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜π·)⟩))
setsms.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
setsmstopn (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜π·) = (TopOpenβ€˜πΎ))

Proof of Theorem setsmstopn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setsms.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘€))
2 setsms.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 = ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
3 setsms.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜π·)⟩))
4 setsms.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
51, 2, 3, 4setsmstset 24335 . 2 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜π·) = (TopSetβ€˜πΎ))
6 df-mopn 21231 . . . . . . . 8 MetOpen = (π‘₯ ∈ βˆͺ ran ∞Met ↦ (topGenβ€˜ran (ballβ€˜π‘₯)))
76dmmptss 6233 . . . . . . 7 dom MetOpen βŠ† βˆͺ ran ∞Met
87sseli 3973 . . . . . 6 (𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met)
9 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met)
10 xmetunirn 24193 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜dom dom 𝐷))
119, 10sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜dom dom 𝐷))
12 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
1312mopnuni 24297 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜dom dom 𝐷) β†’ dom dom 𝐷 = βˆͺ (MetOpenβ€˜π·))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ dom dom 𝐷 = βˆͺ (MetOpenβ€˜π·))
152dmeqd 5898 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom 𝐷 = dom ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
16 dmres 5996 . . . . . . . . . . . . . 14 dom ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = ((𝑋 Γ— 𝑋) ∩ dom (distβ€˜π‘€))
1715, 16eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ dom 𝐷 = ((𝑋 Γ— 𝑋) ∩ dom (distβ€˜π‘€)))
18 inss1 4223 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 Γ— 𝑋) ∩ dom (distβ€˜π‘€)) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)
1917, 18eqsstrdi 4031 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ dom 𝐷 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
20 dmss 5895 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝐷 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ dom dom 𝐷 βŠ† dom (𝑋 Γ— 𝑋))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐷 βŠ† dom (𝑋 Γ— 𝑋))
22 dmxpid 5922 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑋 Γ— 𝑋) = 𝑋
2321, 22sseqtrdi 4027 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐷 βŠ† 𝑋)
2423adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ dom dom 𝐷 βŠ† 𝑋)
2514, 24eqsstrrd 4016 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ βˆͺ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝑋)
26 sspwuni 5096 . . . . . . . 8 ((MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝑋)
2725, 26sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met) β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 𝑋)
2827ex 412 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 𝑋))
298, 28syl5 34 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 𝑋))
30 ndmfv 6919 . . . . . 6 (Β¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ (MetOpenβ€˜π·) = βˆ…)
31 0ss 4391 . . . . . 6 βˆ… βŠ† 𝒫 𝑋
3230, 31eqsstrdi 4031 . . . . 5 (Β¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 𝑋)
3329, 32pm2.61d1 180 . . . 4 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜π·) βŠ† 𝒫 𝑋)
341, 2, 3setsmsbas 24331 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜πΎ))
3534pweqd 4614 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝒫 𝑋 = 𝒫 (Baseβ€˜πΎ))
3633, 5, 353sstr3d 4023 . . 3 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜πΎ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΎ))
37 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
38 eqid 2726 . . . 4 (TopSetβ€˜πΎ) = (TopSetβ€˜πΎ)
3937, 38topnid 17387 . . 3 ((TopSetβ€˜πΎ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΎ) β†’ (TopSetβ€˜πΎ) = (TopOpenβ€˜πΎ))
4036, 39syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜πΎ) = (TopOpenβ€˜πΎ))
415, 40eqtrd 2766 1 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜π·) = (TopOpenβ€˜πΎ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  π’« cpw 4597  βŸ¨cop 4629  βˆͺ cuni 4902   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   sSet csts 17102  ndxcnx 17132  Basecbs 17150  TopSetcts 17209  distcds 17212  TopOpenctopn 17373  topGenctg 17389  βˆžMetcxmet 21220  ballcbl 21222  MetOpencmopn 21225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-tset 17222  df-rest 17374  df-topn 17375  df-topgen 17395  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-top 22746  df-topon 22763  df-bases 22799
This theorem is referenced by:  setsxms  24337  tmslem  24340  tmslemOLD  24341
  Copyright terms: Public domain W3C validator