Theorem setsmstopn 24777

Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsms.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
setsmstopn	⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))

Proof of Theorem setsmstopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsms.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
2		setsms.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
3		setsms.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
4		setsms.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
5	1, 2, 3, 4	setsmstset 24776	. 2 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopSet‘𝐾))
6		df-mopn 21654	. . . . . . . 8 ⊢ MetOpen = (𝑥 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑥)))
7	6	dmmptss 6235	. . . . . . 7 ⊢ dom MetOpen ⊆ ∪ ran ∞Met
8	7	sseli 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ dom MetOpen → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
9		xmetunirn 24636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
10	9	bilani 510	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
11		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
12	11	mopnuni 24740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 = ∪ (MetOpen‘𝐷))
13	10, 12	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom dom 𝐷 = ∪ (MetOpen‘𝐷))
14	2	dmeqd 5887	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 = dom ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
15		dmres 6003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀))
16	14, 15	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 = ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀)))
17		inss1 4182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀)) ⊆ (𝑋 × 𝑋)
18	16, 17	eqsstrdi 3975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
19		dmss 5884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dom 𝐷 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → dom dom 𝐷 ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐷 ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
21		dmxpid 5912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
22	20, 21	sseqtrdi 3971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom dom 𝐷 ⊆ 𝑋)
23	22	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → dom dom 𝐷 ⊆ 𝑋)
24	13, 23	eqsstrrd 3966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → ∪ (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝑋)
25		sspwuni 5060	. . . . . . . 8 ⊢ ((MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝑋)
26	24, 25	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
27	26	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋))
28	8, 27	syl5 35	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋))
29		ndmfv 6909	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) = ∅)
30		0ss 4350	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ 𝒫 𝑋
31	29, 30	eqsstrdi 3975	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
32	28, 31	pm2.61d1 182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
33	1, 2, 3	setsmsbas 24774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝐾))
34	33	pweqd 4574	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 = 𝒫 (Base‘𝐾))
35	32, 5, 34	3sstr3d 3985	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝐾) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐾))
36		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
37		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
38	36, 37	topnid 17586	. . 3 ⊢ ((TopSet‘𝐾) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐾) → (TopSet‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾))
39	35, 38	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾))
40	5, 39	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  ⟨cop 4590  ∪ cuni 4867   × cxp 5649  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   sSet csts 17321  ndxcnx 17351  Basecbs 17367  TopSetcts 17414  distcds 17417  TopOpenctopn 17572  topGenctg 17588  ∞Metcxmet 21643  ballcbl 21645  MetOpencmopn 21648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-tset 17427  df-rest 17573  df-topn 17574  df-topgen 17594  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-top 23192  df-topon 23209  df-bases 23244

This theorem is used by:  setsxms  24778  tmslem  24781