Theorem imastopn 23579

Description: The topology of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imastps.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imastps.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imastps.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imastopn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
imastopn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
imastopn.o	⊢ 𝑂 = (TopOpen‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imastopn	⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem imastopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imastps.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imastps.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imastps.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
4		imastopn.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
5		imastopn.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
6		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (TopSet‘𝑈) = (TopSet‘𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	imastset 17477	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = (𝐽 qTop 𝐹))
8	5	fvexi 6899	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 ∈ V
9		fofn 6801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹 Fn 𝑉)
10	3, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑉)
11		fvex 6898	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
12	2, 11	eqeltrdi 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
13		fnex 7214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
14	10, 12, 13	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
15		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
16	15	qtopval 23554	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐽 qTop 𝐹) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ∣ ((◡𝐹 “ 𝑥) ∩ ∪ 𝐽) ∈ 𝐽})
17	8, 14, 16	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 qTop 𝐹) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ∣ ((◡𝐹 “ 𝑥) ∩ ∪ 𝐽) ∈ 𝐽})
18	7, 17	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ∣ ((◡𝐹 “ 𝑥) ∩ ∪ 𝐽) ∈ 𝐽})
19		ssrab2 4072	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ∣ ((◡𝐹 “ 𝑥) ∩ ∪ 𝐽) ∈ 𝐽} ⊆ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽)
20		imassrn 6064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 “ ∪ 𝐽) ⊆ ran 𝐹
21		forn 6802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
22	3, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
23	1, 2, 3, 4	imasbas 17467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑈))
24	22, 23	eqtrd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑈))
25	20, 24	sseqtrid 4029	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ ∪ 𝐽) ⊆ (Base‘𝑈))
26	25	sspwd 4610	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
27	19, 26	sstrid 3988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ∣ ((◡𝐹 “ 𝑥) ∩ ∪ 𝐽) ∈ 𝐽} ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
28	18, 27	eqsstrd 4015	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
29		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
30	29, 6	topnid 17390	. . . 4 ⊢ ((TopSet‘𝑈) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈) → (TopSet‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈))
31	28, 30	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈))
32		imastopn.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (TopOpen‘𝑈)
33	31, 32	eqtr4di 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = 𝑂)
34	33, 7	eqtr3d 2768	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝐽 qTop 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943  𝒫 cpw 4597  ∪ cuni 4902  ^◡ccnv 5668  ran crn 5670   “ cima 5672   Fn wfn 6532  –onto→wfo 6535  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  TopSetcts 17212  TopOpenctopn 17376   qTop cqtop 17458   “_s cimas 17459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-rest 17377  df-topn 17378  df-qtop 17462  df-imas 17463

This theorem is referenced by:  imastps  23580  xpstopnlem2  23670  qustgpopn  23979  qustgplem  23980  qustgphaus  23982  imasf1oxms  24353