MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imastopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imastopn 23642
Description: The topology of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imastps.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imastps.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imastps.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
imastopn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘Š)
imastopn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
imastopn.o 𝑂 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
imastopn (πœ‘ β†’ 𝑂 = (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem imastopn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imastps.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
2 imastps.v . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
3 imastps.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
4 imastopn.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘Š)
5 imastopn.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
6 eqid 2725 . . . . . . 7 (TopSetβ€˜π‘ˆ) = (TopSetβ€˜π‘ˆ)
71, 2, 3, 4, 5, 6imastset 17503 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘ˆ) = (𝐽 qTop 𝐹))
85fvexi 6906 . . . . . . 7 𝐽 ∈ V
9 fofn 6808 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
103, 9syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
11 fvex 6905 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
122, 11eqeltrdi 2833 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
13 fnex 7225 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ V)
1410, 12, 13syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
15 eqid 2725 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1615qtopval 23617 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) = {π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) ∣ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝐽) ∈ 𝐽})
178, 14, 16sylancr 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐽 qTop 𝐹) = {π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) ∣ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝐽) ∈ 𝐽})
187, 17eqtrd 2765 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘ˆ) = {π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) ∣ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝐽) ∈ 𝐽})
19 ssrab2 4069 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) ∣ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝐽) ∈ 𝐽} βŠ† 𝒫 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽)
20 imassrn 6069 . . . . . . . 8 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) βŠ† ran 𝐹
21 forn 6809 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
223, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
231, 2, 3, 4imasbas 17493 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
2422, 23eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
2520, 24sseqtrid 4025 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
2625sspwd 4611 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝒫 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘ˆ))
2719, 26sstrid 3984 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) ∣ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝐽) ∈ 𝐽} βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘ˆ))
2818, 27eqsstrd 4011 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘ˆ))
29 eqid 2725 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
3029, 6topnid 17416 . . . 4 ((TopSetβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘ˆ) β†’ (TopSetβ€˜π‘ˆ) = (TopOpenβ€˜π‘ˆ))
3128, 30syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘ˆ) = (TopOpenβ€˜π‘ˆ))
32 imastopn.o . . 3 𝑂 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
3331, 32eqtr4di 2783 . 2 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘ˆ) = 𝑂)
3433, 7eqtr3d 2767 1 (πœ‘ β†’ 𝑂 = (𝐽 qTop 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  π’« cpw 4598  βˆͺ cuni 4903  β—‘ccnv 5671  ran crn 5673   β€œ cima 5675   Fn wfn 6538  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  TopSetcts 17238  TopOpenctopn 17402   qTop cqtop 17484   β€œs cimas 17485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-rest 17403  df-topn 17404  df-qtop 17488  df-imas 17489
This theorem is referenced by:  imastps  23643  xpstopnlem2  23733  qustgpopn  24042  qustgplem  24043  qustgphaus  24045  imasf1oxms  24416
  Copyright terms: Public domain W3C validator