Theorem imastopn 23728

Description: The topology of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imastps.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imastps.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imastps.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imastopn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
imastopn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
imastopn.o	⊢ 𝑂 = (TopOpen‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imastopn	⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem imastopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imastps.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imastps.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imastps.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
4		imastopn.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
5		imastopn.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (TopSet‘𝑈) = (TopSet‘𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	imastset 17567	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = (𝐽 qTop 𝐹))
8	5	fvexi 6920	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 ∈ V
9		fofn 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹 Fn 𝑉)
10	3, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑉)
11		fvex 6919	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
12	2, 11	eqeltrdi 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
13		fnex 7237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
14	10, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
15		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
16	15	qtopval 23703	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐽 qTop 𝐹) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ∣ ((◡𝐹 “ 𝑥) ∩ ∪ 𝐽) ∈ 𝐽})
17	8, 14, 16	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 qTop 𝐹) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ∣ ((◡𝐹 “ 𝑥) ∩ ∪ 𝐽) ∈ 𝐽})
18	7, 17	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ∣ ((◡𝐹 “ 𝑥) ∩ ∪ 𝐽) ∈ 𝐽})
19		ssrab2 4080	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ∣ ((◡𝐹 “ 𝑥) ∩ ∪ 𝐽) ∈ 𝐽} ⊆ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽)
20		imassrn 6089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 “ ∪ 𝐽) ⊆ ran 𝐹
21		forn 6823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
22	3, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
23	1, 2, 3, 4	imasbas 17557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑈))
24	22, 23	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑈))
25	20, 24	sseqtrid 4026	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ ∪ 𝐽) ⊆ (Base‘𝑈))
26	25	sspwd 4613	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
27	19, 26	sstrid 3995	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ∣ ((◡𝐹 “ 𝑥) ∩ ∪ 𝐽) ∈ 𝐽} ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
28	18, 27	eqsstrd 4018	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
29		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
30	29, 6	topnid 17480	. . . 4 ⊢ ((TopSet‘𝑈) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈) → (TopSet‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈))
31	28, 30	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈))
32		imastopn.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (TopOpen‘𝑈)
33	31, 32	eqtr4di 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = 𝑂)
34	33, 7	eqtr3d 2779	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝐽 qTop 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600  ∪ cuni 4907  ^◡ccnv 5684  ran crn 5686   “ cima 5688   Fn wfn 6556  –onto→wfo 6559  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  TopSetcts 17303  TopOpenctopn 17466   qTop cqtop 17548   “_s cimas 17549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-rest 17467  df-topn 17468  df-qtop 17552  df-imas 17553

This theorem is referenced by:  imastps  23729  xpstopnlem2  23819  qustgpopn  24128  qustgplem  24129  qustgphaus  24131  imasf1oxms  24502