MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imastopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imastopn 23087
Description: The topology of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imastps.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imastps.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imastps.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
imastopn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘Š)
imastopn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
imastopn.o 𝑂 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
imastopn (πœ‘ β†’ 𝑂 = (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem imastopn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imastps.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
2 imastps.v . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
3 imastps.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
4 imastopn.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘Š)
5 imastopn.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
6 eqid 2733 . . . . . . 7 (TopSetβ€˜π‘ˆ) = (TopSetβ€˜π‘ˆ)
71, 2, 3, 4, 5, 6imastset 17409 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘ˆ) = (𝐽 qTop 𝐹))
85fvexi 6857 . . . . . . 7 𝐽 ∈ V
9 fofn 6759 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
103, 9syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
11 fvex 6856 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
122, 11eqeltrdi 2842 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
13 fnex 7168 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ V)
1410, 12, 13syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
15 eqid 2733 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1615qtopval 23062 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) = {π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) ∣ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝐽) ∈ 𝐽})
178, 14, 16sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐽 qTop 𝐹) = {π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) ∣ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝐽) ∈ 𝐽})
187, 17eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘ˆ) = {π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) ∣ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝐽) ∈ 𝐽})
19 ssrab2 4038 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) ∣ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝐽) ∈ 𝐽} βŠ† 𝒫 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽)
20 imassrn 6025 . . . . . . . 8 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) βŠ† ran 𝐹
21 forn 6760 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
223, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
231, 2, 3, 4imasbas 17399 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
2422, 23eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
2520, 24sseqtrid 3997 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
2625sspwd 4574 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝒫 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘ˆ))
2719, 26sstrid 3956 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) ∣ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝐽) ∈ 𝐽} βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘ˆ))
2818, 27eqsstrd 3983 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘ˆ))
29 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
3029, 6topnid 17322 . . . 4 ((TopSetβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘ˆ) β†’ (TopSetβ€˜π‘ˆ) = (TopOpenβ€˜π‘ˆ))
3128, 30syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘ˆ) = (TopOpenβ€˜π‘ˆ))
32 imastopn.o . . 3 𝑂 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
3331, 32eqtr4di 2791 . 2 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘ˆ) = 𝑂)
3433, 7eqtr3d 2775 1 (πœ‘ β†’ 𝑂 = (𝐽 qTop 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561  βˆͺ cuni 4866  β—‘ccnv 5633  ran crn 5635   β€œ cima 5637   Fn wfn 6492  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  TopSetcts 17144  TopOpenctopn 17308   qTop cqtop 17390   β€œs cimas 17391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-rest 17309  df-topn 17310  df-qtop 17394  df-imas 17395
This theorem is referenced by:  imastps  23088  xpstopnlem2  23178  qustgpopn  23487  qustgplem  23488  qustgphaus  23490  imasf1oxms  23861
  Copyright terms: Public domain W3C validator