MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imastopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imastopn 23215
Description: The topology of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imastps.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imastps.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imastps.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
imastopn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘Š)
imastopn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
imastopn.o 𝑂 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
imastopn (πœ‘ β†’ 𝑂 = (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem imastopn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imastps.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
2 imastps.v . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
3 imastps.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
4 imastopn.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘Š)
5 imastopn.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
6 eqid 2732 . . . . . . 7 (TopSetβ€˜π‘ˆ) = (TopSetβ€˜π‘ˆ)
71, 2, 3, 4, 5, 6imastset 17464 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘ˆ) = (𝐽 qTop 𝐹))
85fvexi 6902 . . . . . . 7 𝐽 ∈ V
9 fofn 6804 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
103, 9syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
11 fvex 6901 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
122, 11eqeltrdi 2841 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
13 fnex 7215 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ V)
1410, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
15 eqid 2732 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1615qtopval 23190 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) = {π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) ∣ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝐽) ∈ 𝐽})
178, 14, 16sylancr 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐽 qTop 𝐹) = {π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) ∣ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝐽) ∈ 𝐽})
187, 17eqtrd 2772 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘ˆ) = {π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) ∣ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝐽) ∈ 𝐽})
19 ssrab2 4076 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) ∣ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝐽) ∈ 𝐽} βŠ† 𝒫 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽)
20 imassrn 6068 . . . . . . . 8 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) βŠ† ran 𝐹
21 forn 6805 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
223, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
231, 2, 3, 4imasbas 17454 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
2422, 23eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
2520, 24sseqtrid 4033 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
2625sspwd 4614 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝒫 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘ˆ))
2719, 26sstrid 3992 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 (𝐹 β€œ βˆͺ 𝐽) ∣ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∩ βˆͺ 𝐽) ∈ 𝐽} βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘ˆ))
2818, 27eqsstrd 4019 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘ˆ))
29 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
3029, 6topnid 17377 . . . 4 ((TopSetβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘ˆ) β†’ (TopSetβ€˜π‘ˆ) = (TopOpenβ€˜π‘ˆ))
3128, 30syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘ˆ) = (TopOpenβ€˜π‘ˆ))
32 imastopn.o . . 3 𝑂 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
3331, 32eqtr4di 2790 . 2 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘ˆ) = 𝑂)
3433, 7eqtr3d 2774 1 (πœ‘ β†’ 𝑂 = (𝐽 qTop 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  β€“ontoβ†’wfo 6538  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  TopSetcts 17199  TopOpenctopn 17363   qTop cqtop 17445   β€œs cimas 17446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-rest 17364  df-topn 17365  df-qtop 17449  df-imas 17450
This theorem is referenced by:  imastps  23216  xpstopnlem2  23306  qustgpopn  23615  qustgplem  23616  qustgphaus  23618  imasf1oxms  23989
  Copyright terms: Public domain W3C validator