Theorem imastopn 22016

Description: The topology of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imastps.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imastps.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imastps.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imastopn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
imastopn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
imastopn.o	⊢ 𝑂 = (TopOpen‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imastopn	⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem imastopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imastps.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imastps.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imastps.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
4		imastopn.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
5		imastopn.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
6		eqid 2797	. . . . . . 7 ⊢ (TopSet‘𝑈) = (TopSet‘𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	imastset 16628	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = (𝐽 qTop 𝐹))
8	5	fvexi 6559	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 ∈ V
9		fofn 6467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹 Fn 𝑉)
10	3, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑉)
11		fvex 6558	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
12	2, 11	syl6eqel 2893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
13		fnex 6853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
14	10, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
15		eqid 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
16	15	qtopval 21991	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐽 qTop 𝐹) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ∣ ((◡𝐹 “ 𝑥) ∩ ∪ 𝐽) ∈ 𝐽})
17	8, 14, 16	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 qTop 𝐹) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ∣ ((◡𝐹 “ 𝑥) ∩ ∪ 𝐽) ∈ 𝐽})
18	7, 17	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ∣ ((◡𝐹 “ 𝑥) ∩ ∪ 𝐽) ∈ 𝐽})
19		ssrab2 3983	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ∣ ((◡𝐹 “ 𝑥) ∩ ∪ 𝐽) ∈ 𝐽} ⊆ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽)
20		imassrn 5824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 “ ∪ 𝐽) ⊆ ran 𝐹
21		forn 6468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
22	3, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
23	1, 2, 3, 4	imasbas 16618	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑈))
24	22, 23	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑈))
25	20, 24	sseqtrid 3946	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ ∪ 𝐽) ⊆ (Base‘𝑈))
26		sspwb 5240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 “ ∪ 𝐽) ⊆ (Base‘𝑈) ↔ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
27	25, 26	sylib 219	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
28	19, 27	sstrid 3906	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ∣ ((◡𝐹 “ 𝑥) ∩ ∪ 𝐽) ∈ 𝐽} ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
29	18, 28	eqsstrd 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
30		eqid 2797	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
31	30, 6	topnid 16542	. . . 4 ⊢ ((TopSet‘𝑈) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈) → (TopSet‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈))
32	29, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈))
33		imastopn.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (TopOpen‘𝑈)
34	32, 33	syl6eqr 2851	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = 𝑂)
35	34, 7	eqtr3d 2835	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝐽 qTop 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  {crab 3111  Vcvv 3440   ∩ cin 3864   ⊆ wss 3865  𝒫 cpw 4459  ∪ cuni 4751  ^◡ccnv 5449  ran crn 5451   “ cima 5453   Fn wfn 6227  –onto→wfo 6230  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  Basecbs 16316  TopSetcts 16404  TopOpenctopn 16528   qTop cqtop 16609   “_s cimas 16610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-sup 8759  df-inf 8760  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-fz 12747  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-rest 16529  df-topn 16530  df-qtop 16613  df-imas 16614

This theorem is referenced by:  imastps  22017  xpstopnlem2  22107  qustgpopn  22415  qustgplem  22416  qustgphaus  22418  imasf1oxms  22786