Theorem imastopn 22871

Description: The topology of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imastps.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imastps.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imastps.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imastopn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
imastopn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
imastopn.o	⊢ 𝑂 = (TopOpen‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imastopn	⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem imastopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imastps.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imastps.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imastps.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
4		imastopn.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
5		imastopn.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
6		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (TopSet‘𝑈) = (TopSet‘𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	imastset 17233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = (𝐽 qTop 𝐹))
8	5	fvexi 6788	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 ∈ V
9		fofn 6690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹 Fn 𝑉)
10	3, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑉)
11		fvex 6787	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
12	2, 11	eqeltrdi 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
13		fnex 7093	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
14	10, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
15		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
16	15	qtopval 22846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐽 qTop 𝐹) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ∣ ((◡𝐹 “ 𝑥) ∩ ∪ 𝐽) ∈ 𝐽})
17	8, 14, 16	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 qTop 𝐹) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ∣ ((◡𝐹 “ 𝑥) ∩ ∪ 𝐽) ∈ 𝐽})
18	7, 17	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ∣ ((◡𝐹 “ 𝑥) ∩ ∪ 𝐽) ∈ 𝐽})
19		ssrab2 4013	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ∣ ((◡𝐹 “ 𝑥) ∩ ∪ 𝐽) ∈ 𝐽} ⊆ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽)
20		imassrn 5980	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 “ ∪ 𝐽) ⊆ ran 𝐹
21		forn 6691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
22	3, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
23	1, 2, 3, 4	imasbas 17223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑈))
24	22, 23	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑈))
25	20, 24	sseqtrid 3973	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ ∪ 𝐽) ⊆ (Base‘𝑈))
26	25	sspwd 4548	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
27	19, 26	sstrid 3932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 “ ∪ 𝐽) ∣ ((◡𝐹 “ 𝑥) ∩ ∪ 𝐽) ∈ 𝐽} ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
28	18, 27	eqsstrd 3959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
29		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
30	29, 6	topnid 17146	. . . 4 ⊢ ((TopSet‘𝑈) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈) → (TopSet‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈))
31	28, 30	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈))
32		imastopn.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (TopOpen‘𝑈)
33	31, 32	eqtr4di 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = 𝑂)
34	33, 7	eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝐽 qTop 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  ∪ cuni 4839  ^◡ccnv 5588  ran crn 5590   “ cima 5592   Fn wfn 6428  –onto→wfo 6431  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  TopSetcts 16968  TopOpenctopn 17132   qTop cqtop 17214   “_s cimas 17215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-rest 17133  df-topn 17134  df-qtop 17218  df-imas 17219

This theorem is referenced by:  imastps  22872  xpstopnlem2  22962  qustgpopn  23271  qustgplem  23272  qustgphaus  23274  imasf1oxms  23645