Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imastopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imastopn 22366
 Description: The topology of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imastps.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imastps.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imastps.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imastopn.r (𝜑𝑅𝑊)
imastopn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
imastopn.o 𝑂 = (TopOpen‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
imastopn (𝜑𝑂 = (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem imastopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imastps.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imastps.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imastps.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
4 imastopn.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝑊)
5 imastopn.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
6 eqid 2798 . . . . . . 7 (TopSet‘𝑈) = (TopSet‘𝑈)
71, 2, 3, 4, 5, 6imastset 16807 . . . . . 6 (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = (𝐽 qTop 𝐹))
85fvexi 6669 . . . . . . 7 𝐽 ∈ V
9 fofn 6575 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹 Fn 𝑉)
103, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝑉)
11 fvex 6668 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) ∈ V
122, 11eqeltrdi 2898 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ V)
13 fnex 6967 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝑉𝑉 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
1410, 12, 13syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ V)
15 eqid 2798 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
1615qtopval 22341 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐽 qTop 𝐹) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 𝐽) ∣ ((𝐹𝑥) ∩ 𝐽) ∈ 𝐽})
178, 14, 16sylancr 590 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 qTop 𝐹) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 𝐽) ∣ ((𝐹𝑥) ∩ 𝐽) ∈ 𝐽})
187, 17eqtrd 2833 . . . . 5 (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 𝐽) ∣ ((𝐹𝑥) ∩ 𝐽) ∈ 𝐽})
19 ssrab2 4009 . . . . . 6 {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 𝐽) ∣ ((𝐹𝑥) ∩ 𝐽) ∈ 𝐽} ⊆ 𝒫 (𝐹 𝐽)
20 imassrn 5911 . . . . . . . 8 (𝐹 𝐽) ⊆ ran 𝐹
21 forn 6576 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑉onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
223, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
231, 2, 3, 4imasbas 16797 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑈))
2422, 23eqtrd 2833 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝑈))
2520, 24sseqtrid 3969 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 𝐽) ⊆ (Base‘𝑈))
2625sspwd 4515 . . . . . 6 (𝜑 → 𝒫 (𝐹 𝐽) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
2719, 26sstrid 3928 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (𝐹 𝐽) ∣ ((𝐹𝑥) ∩ 𝐽) ∈ 𝐽} ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
2818, 27eqsstrd 3955 . . . 4 (𝜑 → (TopSet‘𝑈) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈))
29 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
3029, 6topnid 16721 . . . 4 ((TopSet‘𝑈) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑈) → (TopSet‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈))
3128, 30syl 17 . . 3 (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈))
32 imastopn.o . . 3 𝑂 = (TopOpen‘𝑈)
3331, 32eqtr4di 2851 . 2 (𝜑 → (TopSet‘𝑈) = 𝑂)
3433, 7eqtr3d 2835 1 (𝜑𝑂 = (𝐽 qTop 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110  Vcvv 3442   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4500  ∪ cuni 4804  ◡ccnv 5522  ran crn 5524   “ cima 5526   Fn wfn 6327  –onto→wfo 6330  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  Basecbs 16495  TopSetcts 16583  TopOpenctopn 16707   qTop cqtop 16788   “s cimas 16789 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-fz 12906  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-rest 16708  df-topn 16709  df-qtop 16792  df-imas 16793 This theorem is referenced by:  imastps  22367  xpstopnlem2  22457  qustgpopn  22766  qustgplem  22767  qustgphaus  22769  imasf1oxms  23137
 Copyright terms: Public domain W3C validator