MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdstopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdstopn 23482
Description: Topology of a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstopn.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdstopn.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdstopn.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdstopn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
prdstopn.o 𝑂 = (TopOpenβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
prdstopn (πœ‘ β†’ 𝑂 = (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)))

Proof of Theorem prdstopn
Dummy variables π‘₯ 𝑔 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstopn.y . . . . . 6 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
2 prdstopn.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
3 prdstopn.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
4 prdstopn.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
5 fnex 7213 . . . . . . 7 ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝑅 ∈ V)
63, 4, 5syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ V)
7 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
8 eqidd 2727 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝑅 = dom 𝑅)
9 eqid 2726 . . . . . 6 (TopSetβ€˜π‘Œ) = (TopSetβ€˜π‘Œ)
101, 2, 6, 7, 8, 9prdstset 17418 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘Œ) = (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)))
11 topnfn 17377 . . . . . . . . . . 11 TopOpen Fn V
12 dffn2 6712 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Fn 𝐼 ↔ 𝑅:𝐼⟢V)
133, 12sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢V)
14 fnfco 6749 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen Fn V ∧ 𝑅:𝐼⟢V) β†’ (TopOpen ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
1511, 13, 14sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (TopOpen ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
16 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))} = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))}
1716ptval 23424 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ (TopOpen ∘ 𝑅) Fn 𝐼) β†’ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) = (topGenβ€˜{π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))}))
184, 15, 17syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) = (topGenβ€˜{π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))}))
1918unieqd 4915 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) = βˆͺ (topGenβ€˜{π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))}))
20 fvco2 6981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) = (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
213, 20sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) = (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
22 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
23 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (TopSetβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (TopSetβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
2422, 23topnval 17386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((TopSetβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύt (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))) = (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
25 restsspw 17383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((TopSetβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύt (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
2624, 25eqsstrri 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
2721, 26eqsstrdi 4031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
2827sseld 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) β†’ (π‘”β€˜π‘¦) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
29 fvex 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ V
3029elpw 4601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘”β€˜π‘¦) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ↔ (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
3128, 30imbitrdi 250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) β†’ (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
3231ralimdva 3161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
33 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦))
3432, 33impel 505 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
35 ss2ixp 8903 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†’ X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† X𝑦 ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))) β†’ X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† X𝑦 ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
37 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))) β†’ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))
381, 7, 2, 4, 3prdsbas2 17421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = X𝑦 ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))) β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = X𝑦 ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
4036, 37, 393sstr4d 4024 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
4140ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦)) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ)))
4241exlimdv 1928 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦)) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ)))
43 velpw 4602 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Œ) ↔ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
4442, 43imbitrrdi 251 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦)) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Œ)))
4544abssdv 4060 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))} βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Œ))
46 fvex 6897 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V
4746pwex 5371 . . . . . . . . . 10 𝒫 (Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V
4847ssex 5314 . . . . . . . . 9 ({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))} βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Œ) β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))} ∈ V)
49 unitg 22820 . . . . . . . . 9 ({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))} ∈ V β†’ βˆͺ (topGenβ€˜{π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))}) = βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))})
5045, 48, 493syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ (topGenβ€˜{π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))}) = βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))})
5119, 50eqtrd 2766 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) = βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))})
52 sspwuni 5096 . . . . . . . 8 ({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))} βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Œ) ↔ βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))} βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
5345, 52sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))} βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
5451, 53eqsstrd 4015 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
55 sspwuni 5096 . . . . . 6 ((∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Œ) ↔ βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
5654, 55sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Œ))
5710, 56eqsstrd 4015 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘Œ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Œ))
587, 9topnid 17387 . . . 4 ((TopSetβ€˜π‘Œ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Œ) β†’ (TopSetβ€˜π‘Œ) = (TopOpenβ€˜π‘Œ))
5957, 58syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘Œ) = (TopOpenβ€˜π‘Œ))
60 prdstopn.o . . 3 𝑂 = (TopOpenβ€˜π‘Œ)
6159, 60eqtr4di 2784 . 2 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘Œ) = 𝑂)
6261, 10eqtr3d 2768 1 (πœ‘ β†’ 𝑂 = (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  {cab 2703  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  βˆͺ cuni 4902  dom cdm 5669   ∘ ccom 5673   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Xcixp 8890  Fincfn 8938  Basecbs 17150  TopSetcts 17209   β†Ύt crest 17372  TopOpenctopn 17373  topGenctg 17389  βˆtcpt 17390  Xscprds 17397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399
This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  23665  prdstmdd  23978  prdstgpd  23979  prdsxmslem2  24388
  Copyright terms: Public domain W3C validator