MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdstopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdstopn 23552
Description: Topology of a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstopn.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdstopn.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdstopn.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdstopn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
prdstopn.o 𝑂 = (TopOpenβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
prdstopn (πœ‘ β†’ 𝑂 = (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)))

Proof of Theorem prdstopn
Dummy variables π‘₯ 𝑔 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstopn.y . . . . . 6 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
2 prdstopn.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
3 prdstopn.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
4 prdstopn.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
5 fnex 7235 . . . . . . 7 ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝑅 ∈ V)
63, 4, 5syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ V)
7 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
8 eqidd 2729 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝑅 = dom 𝑅)
9 eqid 2728 . . . . . 6 (TopSetβ€˜π‘Œ) = (TopSetβ€˜π‘Œ)
101, 2, 6, 7, 8, 9prdstset 17455 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘Œ) = (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)))
11 topnfn 17414 . . . . . . . . . . 11 TopOpen Fn V
12 dffn2 6729 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Fn 𝐼 ↔ 𝑅:𝐼⟢V)
133, 12sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢V)
14 fnfco 6767 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen Fn V ∧ 𝑅:𝐼⟢V) β†’ (TopOpen ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
1511, 13, 14sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (TopOpen ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
16 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))} = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))}
1716ptval 23494 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ (TopOpen ∘ 𝑅) Fn 𝐼) β†’ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) = (topGenβ€˜{π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))}))
184, 15, 17syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) = (topGenβ€˜{π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))}))
1918unieqd 4925 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) = βˆͺ (topGenβ€˜{π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))}))
20 fvco2 7000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) = (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
213, 20sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) = (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
22 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
23 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (TopSetβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (TopSetβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
2422, 23topnval 17423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((TopSetβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύt (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))) = (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
25 restsspw 17420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((TopSetβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύt (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
2624, 25eqsstrri 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
2721, 26eqsstrdi 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
2827sseld 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) β†’ (π‘”β€˜π‘¦) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
29 fvex 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ V
3029elpw 4610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘”β€˜π‘¦) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ↔ (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
3128, 30imbitrdi 250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) β†’ (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
3231ralimdva 3164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
33 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦))
3432, 33impel 504 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
35 ss2ixp 8935 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) β†’ X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† X𝑦 ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))) β†’ X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) βŠ† X𝑦 ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
37 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))) β†’ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))
381, 7, 2, 4, 3prdsbas2 17458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = X𝑦 ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
3938adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))) β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = X𝑦 ∈ 𝐼 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
4036, 37, 393sstr4d 4029 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
4140ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦)) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ)))
4241exlimdv 1928 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦)) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ)))
43 velpw 4611 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Œ) ↔ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
4442, 43imbitrrdi 251 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦)) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Œ)))
4544abssdv 4065 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))} βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Œ))
46 fvex 6915 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V
4746pwex 5384 . . . . . . . . . 10 𝒫 (Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V
4847ssex 5325 . . . . . . . . 9 ({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))} βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Œ) β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))} ∈ V)
49 unitg 22890 . . . . . . . . 9 ({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))} ∈ V β†’ βˆͺ (topGenβ€˜{π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))}) = βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))})
5045, 48, 493syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ (topGenβ€˜{π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))}) = βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))})
5119, 50eqtrd 2768 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) = βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))})
52 sspwuni 5107 . . . . . . . 8 ({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))} βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Œ) ↔ βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))} βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
5345, 52sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘”((𝑔 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦) ∈ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ Fin βˆ€π‘¦ ∈ (𝐼 βˆ– 𝑧)(π‘”β€˜π‘¦) = βˆͺ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ = X𝑦 ∈ 𝐼 (π‘”β€˜π‘¦))} βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
5451, 53eqsstrd 4020 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
55 sspwuni 5107 . . . . . 6 ((∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Œ) ↔ βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) βŠ† (Baseβ€˜π‘Œ))
5654, 55sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Œ))
5710, 56eqsstrd 4020 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘Œ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Œ))
587, 9topnid 17424 . . . 4 ((TopSetβ€˜π‘Œ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Œ) β†’ (TopSetβ€˜π‘Œ) = (TopOpenβ€˜π‘Œ))
5957, 58syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘Œ) = (TopOpenβ€˜π‘Œ))
60 prdstopn.o . . 3 𝑂 = (TopOpenβ€˜π‘Œ)
6159, 60eqtr4di 2786 . 2 (πœ‘ β†’ (TopSetβ€˜π‘Œ) = 𝑂)
6261, 10eqtr3d 2770 1 (πœ‘ β†’ 𝑂 = (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  {cab 2705  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4606  βˆͺ cuni 4912  dom cdm 5682   ∘ ccom 5686   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Xcixp 8922  Fincfn 8970  Basecbs 17187  TopSetcts 17246   β†Ύt crest 17409  TopOpenctopn 17410  topGenctg 17426  βˆtcpt 17427  Xscprds 17434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436
This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  23735  prdstmdd  24048  prdstgpd  24049  prdsxmslem2  24458
  Copyright terms: Public domain W3C validator