Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uhgrimisgrgriclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uhgrimisgrgriclem 47836
Description: Lemma for uhgrimisgrgric 47837. (Contributed by AV, 31-May-2025.)
Assertion
Ref Expression
uhgrimisgrgriclem (((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖))) → ((𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁)) ↔ ∃𝑘𝐴 ((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑘   𝐵,𝑘   𝑖,𝐹,𝑘   𝑖,𝐺,𝑘   𝑖,𝐻,𝑘   𝑖,𝐼,𝑘   𝑖,𝐽,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem uhgrimisgrgriclem
StepHypRef Expression
1 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑘 = (𝐼𝐽) → (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝐼𝐽)))
21sseq1d 4027 . . . . 5 (𝑘 = (𝐼𝐽) → ((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ↔ (𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁))
3 fveqeq2 6916 . . . . 5 (𝑘 = (𝐼𝐽) → ((𝐼𝑘) = 𝐽 ↔ (𝐼‘(𝐼𝐽)) = 𝐽))
42, 3anbi12d 632 . . . 4 (𝑘 = (𝐼𝐽) → (((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽) ↔ ((𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼‘(𝐼𝐽)) = 𝐽)))
5 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)
653ad2ant2 1133 . . . . 5 (((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖))) → 𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)
7 simpl 482 . . . . 5 ((𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁)) → 𝐽𝐵)
8 f1ocnvdm 7305 . . . . 5 ((𝐼:𝐴1-1-onto𝐵𝐽𝐵) → (𝐼𝐽) ∈ 𝐴)
96, 7, 8syl2an 596 . . . 4 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖))) ∧ (𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁))) → (𝐼𝐽) ∈ 𝐴)
10 2fveq3 6912 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝐼𝐽) → (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐻‘(𝐼‘(𝐼𝐽))))
11 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝐼𝐽) → (𝐺𝑖) = (𝐺‘(𝐼𝐽)))
1211imaeq2d 6080 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝐼𝐽) → (𝐹 “ (𝐺𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽))))
1310, 12eqeq12d 2751 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝐼𝐽) → ((𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖)) ↔ (𝐻‘(𝐼‘(𝐼𝐽))) = (𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽)))))
1413rspcv 3618 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝐽) ∈ 𝐴 → (∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖)) → (𝐻‘(𝐼‘(𝐼𝐽))) = (𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽)))))
1514adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) → (∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖)) → (𝐻‘(𝐼‘(𝐼𝐽))) = (𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽)))))
167adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) ∧ (𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁))) → 𝐽𝐵)
17 f1ocnvfv2 7297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼:𝐴1-1-onto𝐵𝐽𝐵) → (𝐼‘(𝐼𝐽)) = 𝐽)
185, 16, 17syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) ∧ (𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁))) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)) → (𝐼‘(𝐼𝐽)) = 𝐽)
1918fveqeq2d 6915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) ∧ (𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁))) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)) → ((𝐻‘(𝐼‘(𝐼𝐽))) = (𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽))) ↔ (𝐻𝐽) = (𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽)))))
20 sseq1 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐻𝐽) = (𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽))) → ((𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁) ↔ (𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽))) ⊆ (𝐹𝑁)))
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) ∧ (𝐻𝐽) = (𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽)))) → ((𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁) ↔ (𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽))) ⊆ (𝐹𝑁)))
22 f1of1 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐹:𝑉1-1𝑊)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) → 𝐹:𝑉1-1𝑊)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) → 𝐹:𝑉1-1𝑊)
25243ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) ∧ 𝐽𝐵 ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)) → 𝐹:𝑉1-1𝑊)
26 simp1lr 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) ∧ 𝐽𝐵 ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)) → 𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉)
27 simp1r 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) ∧ 𝐽𝐵 ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)) → (𝐼𝐽) ∈ 𝐴)
2826, 27ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) ∧ 𝐽𝐵 ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)) → (𝐺‘(𝐼𝐽)) ∈ 𝒫 𝑉)
2928elpwid 4614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) ∧ 𝐽𝐵 ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)) → (𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑉)
30 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝑁𝑉)
31303ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) ∧ 𝐽𝐵 ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)) → 𝑁𝑉)
32 f1imass 7284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹:𝑉1-1𝑊 ∧ ((𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑉𝑁𝑉)) → ((𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽))) ⊆ (𝐹𝑁) ↔ (𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁))
3325, 29, 31, 32syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) ∧ 𝐽𝐵 ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)) → ((𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽))) ⊆ (𝐹𝑁) ↔ (𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁))
3433biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) ∧ 𝐽𝐵 ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)) → ((𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽))) ⊆ (𝐹𝑁) → (𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁))
35343exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) → (𝐽𝐵 → ((𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽))) ⊆ (𝐹𝑁) → (𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁))))
3635com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) → ((𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽))) ⊆ (𝐹𝑁) → ((𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐽𝐵 → (𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁))))
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) ∧ (𝐻𝐽) = (𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽)))) → ((𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽))) ⊆ (𝐹𝑁) → ((𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐽𝐵 → (𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁))))
3821, 37sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) ∧ (𝐻𝐽) = (𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽)))) → ((𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁) → ((𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐽𝐵 → (𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁))))
3938ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) → ((𝐻𝐽) = (𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽))) → ((𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁) → ((𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐽𝐵 → (𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁)))))
4039com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) → (𝐽𝐵 → ((𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁) → ((𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝐻𝐽) = (𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽))) → (𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁)))))
4140imp42 426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) ∧ (𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁))) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)) → ((𝐻𝐽) = (𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽))) → (𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁))
4219, 41sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) ∧ (𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁))) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)) → ((𝐻‘(𝐼‘(𝐼𝐽))) = (𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽))) → (𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁))
4342ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) ∧ (𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁))) → ((𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝐻‘(𝐼‘(𝐼𝐽))) = (𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽))) → (𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁)))
4443com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) ∧ (𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁))) → ((𝐻‘(𝐼‘(𝐼𝐽))) = (𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽))) → ((𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁)))
4544ex 412 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) → ((𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁)) → ((𝐻‘(𝐼‘(𝐼𝐽))) = (𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽))) → ((𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁))))
4645com23 86 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) → ((𝐻‘(𝐼‘(𝐼𝐽))) = (𝐹 “ (𝐺‘(𝐼𝐽))) → ((𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁)) → ((𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁))))
4715, 46syld 47 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝐼𝐽) ∈ 𝐴) → (∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖)) → ((𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁)) → ((𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁))))
4847ex 412 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) → ((𝐼𝐽) ∈ 𝐴 → (∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖)) → ((𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁)) → ((𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁)))))
4948com25 99 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) → ((𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) → (∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖)) → ((𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁)) → ((𝐼𝐽) ∈ 𝐴 → (𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁)))))
50493imp1 1346 . . . . . 6 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖))) ∧ (𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁))) → ((𝐼𝐽) ∈ 𝐴 → (𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁))
519, 50mpd 15 . . . . 5 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖))) ∧ (𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁))) → (𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁)
526, 7, 17syl2an 596 . . . . 5 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖))) ∧ (𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁))) → (𝐼‘(𝐼𝐽)) = 𝐽)
5351, 52jca 511 . . . 4 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖))) ∧ (𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁))) → ((𝐺‘(𝐼𝐽)) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼‘(𝐼𝐽)) = 𝐽))
544, 9, 53rspcedvdw 3625 . . 3 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖))) ∧ (𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁))) → ∃𝑘𝐴 ((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽))
5554ex 412 . 2 (((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖))) → ((𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁)) → ∃𝑘𝐴 ((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽)))
56 f1of 6849 . . . . . . . 8 (𝐼:𝐴1-1-onto𝐵𝐼:𝐴𝐵)
5756adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐼:𝐴𝐵)
58573ad2ant2 1133 . . . . . 6 (((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖))) → 𝐼:𝐴𝐵)
59583ad2ant1 1132 . . . . 5 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖))) ∧ 𝑘𝐴 ∧ ((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽)) → 𝐼:𝐴𝐵)
60 simp2 1136 . . . . 5 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖))) ∧ 𝑘𝐴 ∧ ((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽)) → 𝑘𝐴)
6159, 60ffvelcdmd 7105 . . . 4 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖))) ∧ 𝑘𝐴 ∧ ((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽)) → (𝐼𝑘) ∈ 𝐵)
62 2fveq3 6912 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐻‘(𝐼𝑘)))
63 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → (𝐺𝑖) = (𝐺𝑘))
6463imaeq2d 6080 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (𝐹 “ (𝐺𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑘)))
6562, 64eqeq12d 2751 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑘 → ((𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖)) ↔ (𝐻‘(𝐼𝑘)) = (𝐹 “ (𝐺𝑘))))
6665rspcv 3618 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐴 → (∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖)) → (𝐻‘(𝐼𝑘)) = (𝐹 “ (𝐺𝑘))))
6766adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)) ∧ 𝑘𝐴) → (∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖)) → (𝐻‘(𝐼𝑘)) = (𝐹 “ (𝐺𝑘))))
68 simp3 1137 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)) ∧ 𝑘𝐴) ∧ ((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽) ∧ (𝐻‘(𝐼𝑘)) = (𝐹 “ (𝐺𝑘))) → (𝐻‘(𝐼𝑘)) = (𝐹 “ (𝐺𝑘)))
69 imass2 6123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 → (𝐹 “ (𝐺𝑘)) ⊆ (𝐹𝑁))
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽) → (𝐹 “ (𝐺𝑘)) ⊆ (𝐹𝑁))
71703ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)) ∧ 𝑘𝐴) ∧ ((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽) ∧ (𝐻‘(𝐼𝑘)) = (𝐹 “ (𝐺𝑘))) → (𝐹 “ (𝐺𝑘)) ⊆ (𝐹𝑁))
7268, 71eqsstrd 4034 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)) ∧ 𝑘𝐴) ∧ ((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽) ∧ (𝐻‘(𝐼𝑘)) = (𝐹 “ (𝐺𝑘))) → (𝐻‘(𝐼𝑘)) ⊆ (𝐹𝑁))
73723exp 1118 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽) → ((𝐻‘(𝐼𝑘)) = (𝐹 “ (𝐺𝑘)) → (𝐻‘(𝐼𝑘)) ⊆ (𝐹𝑁))))
7473com23 86 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐻‘(𝐼𝑘)) = (𝐹 “ (𝐺𝑘)) → (((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽) → (𝐻‘(𝐼𝑘)) ⊆ (𝐹𝑁))))
7567, 74syld 47 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)) ∧ 𝑘𝐴) → (∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖)) → (((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽) → (𝐻‘(𝐼𝑘)) ⊆ (𝐹𝑁))))
7675ex 412 . . . . . . 7 (((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)) → (𝑘𝐴 → (∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖)) → (((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽) → (𝐻‘(𝐼𝑘)) ⊆ (𝐹𝑁)))))
7776com23 86 . . . . . 6 (((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵)) → (∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖)) → (𝑘𝐴 → (((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽) → (𝐻‘(𝐼𝑘)) ⊆ (𝐹𝑁)))))
78773impia 1116 . . . . 5 (((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖))) → (𝑘𝐴 → (((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽) → (𝐻‘(𝐼𝑘)) ⊆ (𝐹𝑁))))
79783imp 1110 . . . 4 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖))) ∧ 𝑘𝐴 ∧ ((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽)) → (𝐻‘(𝐼𝑘)) ⊆ (𝐹𝑁))
80 eleq1 2827 . . . . . . 7 ((𝐼𝑘) = 𝐽 → ((𝐼𝑘) ∈ 𝐵𝐽𝐵))
81 fveq2 6907 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑘) = 𝐽 → (𝐻‘(𝐼𝑘)) = (𝐻𝐽))
8281sseq1d 4027 . . . . . . 7 ((𝐼𝑘) = 𝐽 → ((𝐻‘(𝐼𝑘)) ⊆ (𝐹𝑁) ↔ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁)))
8380, 82anbi12d 632 . . . . . 6 ((𝐼𝑘) = 𝐽 → (((𝐼𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻‘(𝐼𝑘)) ⊆ (𝐹𝑁)) ↔ (𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁))))
8483adantl 481 . . . . 5 (((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽) → (((𝐼𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻‘(𝐼𝑘)) ⊆ (𝐹𝑁)) ↔ (𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁))))
85843ad2ant3 1134 . . . 4 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖))) ∧ 𝑘𝐴 ∧ ((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽)) → (((𝐼𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻‘(𝐼𝑘)) ⊆ (𝐹𝑁)) ↔ (𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁))))
8661, 79, 85mpbi2and 712 . . 3 ((((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖))) ∧ 𝑘𝐴 ∧ ((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽)) → (𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁)))
8786rexlimdv3a 3157 . 2 (((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖))) → (∃𝑘𝐴 ((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽) → (𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁))))
8855, 87impbid 212 1 (((𝐹:𝑉1-1-onto𝑊𝐺:𝐴⟶𝒫 𝑉) ∧ (𝑁𝑉𝐼:𝐴1-1-onto𝐵) ∧ ∀𝑖𝐴 (𝐻‘(𝐼𝑖)) = (𝐹 “ (𝐺𝑖))) → ((𝐽𝐵 ∧ (𝐻𝐽) ⊆ (𝐹𝑁)) ↔ ∃𝑘𝐴 ((𝐺𝑘) ⊆ 𝑁 ∧ (𝐼𝑘) = 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  wss 3963  𝒫 cpw 4605  ccnv 5688  cima 5692  wf 6559  1-1wf1 6560  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571
This theorem is referenced by:  uhgrimisgrgric  47837
  Copyright terms: Public domain W3C validator