Theorem unxpdom2 9172

Description: Corollary of unxpdom 9171. (Contributed by NM, 16-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unxpdom2	⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem unxpdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8902	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5689	. . . . . . 7 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
4		1onn 8578	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ ω
5		xpsneng 9002	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1o ∈ ω) → (𝐴 × {1o}) ≈ 𝐴)
6	3, 4, 5	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 × {1o}) ≈ 𝐴)
7	6	ensymd 8954	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {1o}))
8		endom 8928	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 × {1o}) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {1o}))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {1o}))
10		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
11		0ex 5254	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
12		xpsneng 9002	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
13	3, 11, 12	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
14	13	ensymd 8954	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}))
15		domentr 8962	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅})) → 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅}))
16	10, 14, 15	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅}))
17		1n0 8425	. . . 4 ⊢ 1o ≠ ∅
18		xpsndisj 6129	. . . 4 ⊢ (1o ≠ ∅ → ((𝐴 × {1o}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅)
19	17, 18	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1o}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅)
20		undom 9005	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ (𝐴 × {1o}) ∧ 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1o}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})))
21	9, 16, 19, 20	syl21anc 838	. 2 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})))
22		sdomentr 9051	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 × {1o})) → 1o ≺ (𝐴 × {1o}))
23	7, 22	syldan 592	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 1o ≺ (𝐴 × {1o}))
24		sdomentr 9051	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅})) → 1o ≺ (𝐴 × {∅}))
25	14, 24	syldan 592	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 1o ≺ (𝐴 × {∅}))
26		unxpdom 9171	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ (𝐴 × {1o}) ∧ 1o ≺ (𝐴 × {∅})) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})))
27	23, 25, 26	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})))
28		xpen 9080	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × {1o}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴) → ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
29	6, 13, 28	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
30		domentr 8962	. . 3 ⊢ ((((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴)) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴))
31	27, 29, 30	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴))
32		domtr 8956	. 2 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
33	21, 31, 32	syl2anc 585	1 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902  ∅c0 4287  {csn 4582   class class class wbr 5100   × cxp 5630  ωcom 7818  1_oc1o 8400   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893   ≺ csdm 8894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898

This theorem is referenced by: (None)