Theorem unxpdom2 9201

Description: Corollary of unxpdom 9200. (Contributed by NM, 16-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unxpdom2	⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem unxpdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8925	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5695	. . . . . . 7 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
4		1onn 8604	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ ω
5		xpsneng 9026	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1o ∈ ω) → (𝐴 × {1o}) ≈ 𝐴)
6	3, 4, 5	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 × {1o}) ≈ 𝐴)
7	6	ensymd 8976	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {1o}))
8		endom 8950	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 × {1o}) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {1o}))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {1o}))
10		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
11		0ex 5262	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
12		xpsneng 9026	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
13	3, 11, 12	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
14	13	ensymd 8976	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}))
15		domentr 8984	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅})) → 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅}))
16	10, 14, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅}))
17		1n0 8452	. . . 4 ⊢ 1o ≠ ∅
18		xpsndisj 6136	. . . 4 ⊢ (1o ≠ ∅ → ((𝐴 × {1o}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅)
19	17, 18	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1o}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅)
20		undom 9029	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ (𝐴 × {1o}) ∧ 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1o}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})))
21	9, 16, 19, 20	syl21anc 837	. 2 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})))
22		sdomentr 9075	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 × {1o})) → 1o ≺ (𝐴 × {1o}))
23	7, 22	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 1o ≺ (𝐴 × {1o}))
24		sdomentr 9075	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅})) → 1o ≺ (𝐴 × {∅}))
25	14, 24	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 1o ≺ (𝐴 × {∅}))
26		unxpdom 9200	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ (𝐴 × {1o}) ∧ 1o ≺ (𝐴 × {∅})) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})))
27	23, 25, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})))
28		xpen 9104	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × {1o}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴) → ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
29	6, 13, 28	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
30		domentr 8984	. . 3 ⊢ ((((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴)) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴))
31	27, 29, 30	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴))
32		domtr 8978	. 2 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
33	21, 31, 32	syl2anc 584	1 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3447   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913  ∅c0 4296  {csn 4589   class class class wbr 5107   × cxp 5636  ωcom 7842  1_oc1o 8427   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916   ≺ csdm 8917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921

This theorem is referenced by: (None)