Theorem unxpdom2 9288

Description: Corollary of unxpdom 9287. (Contributed by NM, 16-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unxpdom2	⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem unxpdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8991	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5746	. . . . . . 7 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
4		1onn 8677	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ ω
5		xpsneng 9095	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1o ∈ ω) → (𝐴 × {1o}) ≈ 𝐴)
6	3, 4, 5	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 × {1o}) ≈ 𝐴)
7	6	ensymd 9044	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {1o}))
8		endom 9018	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 × {1o}) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {1o}))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {1o}))
10		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
11		0ex 5313	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
12		xpsneng 9095	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
13	3, 11, 12	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
14	13	ensymd 9044	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}))
15		domentr 9052	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅})) → 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅}))
16	10, 14, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅}))
17		1n0 8525	. . . 4 ⊢ 1o ≠ ∅
18		xpsndisj 6185	. . . 4 ⊢ (1o ≠ ∅ → ((𝐴 × {1o}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅)
19	17, 18	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1o}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅)
20		undom 9098	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ (𝐴 × {1o}) ∧ 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1o}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})))
21	9, 16, 19, 20	syl21anc 838	. 2 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})))
22		sdomentr 9150	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 × {1o})) → 1o ≺ (𝐴 × {1o}))
23	7, 22	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 1o ≺ (𝐴 × {1o}))
24		sdomentr 9150	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅})) → 1o ≺ (𝐴 × {∅}))
25	14, 24	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 1o ≺ (𝐴 × {∅}))
26		unxpdom 9287	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ (𝐴 × {1o}) ∧ 1o ≺ (𝐴 × {∅})) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})))
27	23, 25, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})))
28		xpen 9179	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × {1o}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴) → ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
29	6, 13, 28	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
30		domentr 9052	. . 3 ⊢ ((((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴)) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴))
31	27, 29, 30	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴))
32		domtr 9046	. 2 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
33	21, 31, 32	syl2anc 584	1 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478   ∪ cun 3961   ∩ cin 3962  ∅c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  ωcom 7887  1_oc1o 8498   ≈ cen 8981   ≼ cdom 8982   ≺ csdm 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987

This theorem is referenced by: (None)