MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unxpdom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unxpdom2 9254
Description: Corollary of unxpdom 9253. (Contributed by NM, 16-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
unxpdom2 ((1o𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem unxpdom2
StepHypRef Expression
1 relsdom 8946 . . . . . . . 8 Rel ≺
21brrelex2i 5734 . . . . . . 7 (1o𝐴𝐴 ∈ V)
32adantr 482 . . . . . 6 ((1o𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ V)
4 1onn 8639 . . . . . 6 1o ∈ ω
5 xpsneng 9056 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 1o ∈ ω) → (𝐴 × {1o}) ≈ 𝐴)
63, 4, 5sylancl 587 . . . . 5 ((1o𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × {1o}) ≈ 𝐴)
76ensymd 9001 . . . 4 ((1o𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {1o}))
8 endom 8975 . . . 4 (𝐴 ≈ (𝐴 × {1o}) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {1o}))
97, 8syl 17 . . 3 ((1o𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {1o}))
10 simpr 486 . . . 4 ((1o𝐴𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
11 0ex 5308 . . . . . 6 ∅ ∈ V
12 xpsneng 9056 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
133, 11, 12sylancl 587 . . . . 5 ((1o𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
1413ensymd 9001 . . . 4 ((1o𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}))
15 domentr 9009 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐴 ≈ (𝐴 × {∅})) → 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅}))
1610, 14, 15syl2anc 585 . . 3 ((1o𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅}))
17 1n0 8488 . . . 4 1o ≠ ∅
18 xpsndisj 6163 . . . 4 (1o ≠ ∅ → ((𝐴 × {1o}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅)
1917, 18mp1i 13 . . 3 ((1o𝐴𝐵𝐴) → ((𝐴 × {1o}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅)
20 undom 9059 . . 3 (((𝐴 ≼ (𝐴 × {1o}) ∧ 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1o}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅) → (𝐴𝐵) ≼ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})))
219, 16, 19, 20syl21anc 837 . 2 ((1o𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})))
22 sdomentr 9111 . . . . 5 ((1o𝐴𝐴 ≈ (𝐴 × {1o})) → 1o ≺ (𝐴 × {1o}))
237, 22syldan 592 . . . 4 ((1o𝐴𝐵𝐴) → 1o ≺ (𝐴 × {1o}))
24 sdomentr 9111 . . . . 5 ((1o𝐴𝐴 ≈ (𝐴 × {∅})) → 1o ≺ (𝐴 × {∅}))
2514, 24syldan 592 . . . 4 ((1o𝐴𝐵𝐴) → 1o ≺ (𝐴 × {∅}))
26 unxpdom 9253 . . . 4 ((1o ≺ (𝐴 × {1o}) ∧ 1o ≺ (𝐴 × {∅})) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})))
2723, 25, 26syl2anc 585 . . 3 ((1o𝐴𝐵𝐴) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})))
28 xpen 9140 . . . 4 (((𝐴 × {1o}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴) → ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
296, 13, 28syl2anc 585 . . 3 ((1o𝐴𝐵𝐴) → ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
30 domentr 9009 . . 3 ((((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴)) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴))
3127, 29, 30syl2anc 585 . 2 ((1o𝐴𝐵𝐴) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴))
32 domtr 9003 . 2 (((𝐴𝐵) ≼ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
3321, 31, 32syl2anc 585 1 ((1o𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  Vcvv 3475  cun 3947  cin 3948  c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149   × cxp 5675  ωcom 7855  1oc1o 8459  cen 8936  cdom 8937  csdm 8938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator