MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unxpdom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unxpdom2 8410
Description: Corollary of unxpdom 8409. (Contributed by NM, 16-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
unxpdom2 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem unxpdom2
StepHypRef Expression
1 relsdom 8202 . . . . . . . 8 Rel ≺
21brrelex2i 5364 . . . . . . 7 (1𝑜𝐴𝐴 ∈ V)
32adantr 473 . . . . . 6 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ V)
4 1onn 7959 . . . . . 6 1𝑜 ∈ ω
5 xpsneng 8287 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ ω) → (𝐴 × {1𝑜}) ≈ 𝐴)
63, 4, 5sylancl 581 . . . . 5 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × {1𝑜}) ≈ 𝐴)
76ensymd 8246 . . . 4 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {1𝑜}))
8 endom 8222 . . . 4 (𝐴 ≈ (𝐴 × {1𝑜}) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {1𝑜}))
97, 8syl 17 . . 3 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {1𝑜}))
10 simpr 478 . . . 4 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
11 0ex 4984 . . . . . 6 ∅ ∈ V
12 xpsneng 8287 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
133, 11, 12sylancl 581 . . . . 5 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
1413ensymd 8246 . . . 4 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}))
15 domentr 8254 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐴 ≈ (𝐴 × {∅})) → 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅}))
1610, 14, 15syl2anc 580 . . 3 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅}))
17 1n0 7815 . . . 4 1𝑜 ≠ ∅
18 xpsndisj 5774 . . . 4 (1𝑜 ≠ ∅ → ((𝐴 × {1𝑜}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅)
1917, 18mp1i 13 . . 3 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → ((𝐴 × {1𝑜}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅)
20 undom 8290 . . 3 (((𝐴 ≼ (𝐴 × {1𝑜}) ∧ 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1𝑜}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅) → (𝐴𝐵) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})))
219, 16, 19, 20syl21anc 867 . 2 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})))
22 sdomentr 8336 . . . . 5 ((1𝑜𝐴𝐴 ≈ (𝐴 × {1𝑜})) → 1𝑜 ≺ (𝐴 × {1𝑜}))
237, 22syldan 586 . . . 4 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → 1𝑜 ≺ (𝐴 × {1𝑜}))
24 sdomentr 8336 . . . . 5 ((1𝑜𝐴𝐴 ≈ (𝐴 × {∅})) → 1𝑜 ≺ (𝐴 × {∅}))
2514, 24syldan 586 . . . 4 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → 1𝑜 ≺ (𝐴 × {∅}))
26 unxpdom 8409 . . . 4 ((1𝑜 ≺ (𝐴 × {1𝑜}) ∧ 1𝑜 ≺ (𝐴 × {∅})) → ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})))
2723, 25, 26syl2anc 580 . . 3 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})))
28 xpen 8365 . . . 4 (((𝐴 × {1𝑜}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴) → ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
296, 13, 28syl2anc 580 . . 3 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
30 domentr 8254 . . 3 ((((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1𝑜}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴)) → ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴))
3127, 29, 30syl2anc 580 . 2 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴))
32 domtr 8248 . 2 (((𝐴𝐵) ≼ ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1𝑜}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
3321, 31, 32syl2anc 580 1 ((1𝑜𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  Vcvv 3385  cun 3767  cin 3768  c0 4115  {csn 4368   class class class wbr 4843   × cxp 5310  ωcom 7299  1𝑜c1o 7792  cen 8192  cdom 8193  csdm 8194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-1o 7799  df-2o 7800  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator