MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unxpdom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unxpdom2 9253
Description: Corollary of unxpdom 9252. (Contributed by NM, 16-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
unxpdom2 ((1o𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem unxpdom2
StepHypRef Expression
1 relsdom 8945 . . . . . . . 8 Rel ≺
21brrelex2i 5733 . . . . . . 7 (1o𝐴𝐴 ∈ V)
32adantr 481 . . . . . 6 ((1o𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ V)
4 1onn 8638 . . . . . 6 1o ∈ ω
5 xpsneng 9055 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 1o ∈ ω) → (𝐴 × {1o}) ≈ 𝐴)
63, 4, 5sylancl 586 . . . . 5 ((1o𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × {1o}) ≈ 𝐴)
76ensymd 9000 . . . 4 ((1o𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {1o}))
8 endom 8974 . . . 4 (𝐴 ≈ (𝐴 × {1o}) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {1o}))
97, 8syl 17 . . 3 ((1o𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {1o}))
10 simpr 485 . . . 4 ((1o𝐴𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
11 0ex 5307 . . . . . 6 ∅ ∈ V
12 xpsneng 9055 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
133, 11, 12sylancl 586 . . . . 5 ((1o𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
1413ensymd 9000 . . . 4 ((1o𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}))
15 domentr 9008 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐴 ≈ (𝐴 × {∅})) → 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅}))
1610, 14, 15syl2anc 584 . . 3 ((1o𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅}))
17 1n0 8487 . . . 4 1o ≠ ∅
18 xpsndisj 6162 . . . 4 (1o ≠ ∅ → ((𝐴 × {1o}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅)
1917, 18mp1i 13 . . 3 ((1o𝐴𝐵𝐴) → ((𝐴 × {1o}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅)
20 undom 9058 . . 3 (((𝐴 ≼ (𝐴 × {1o}) ∧ 𝐵 ≼ (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1o}) ∩ (𝐴 × {∅})) = ∅) → (𝐴𝐵) ≼ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})))
219, 16, 19, 20syl21anc 836 . 2 ((1o𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})))
22 sdomentr 9110 . . . . 5 ((1o𝐴𝐴 ≈ (𝐴 × {1o})) → 1o ≺ (𝐴 × {1o}))
237, 22syldan 591 . . . 4 ((1o𝐴𝐵𝐴) → 1o ≺ (𝐴 × {1o}))
24 sdomentr 9110 . . . . 5 ((1o𝐴𝐴 ≈ (𝐴 × {∅})) → 1o ≺ (𝐴 × {∅}))
2514, 24syldan 591 . . . 4 ((1o𝐴𝐵𝐴) → 1o ≺ (𝐴 × {∅}))
26 unxpdom 9252 . . . 4 ((1o ≺ (𝐴 × {1o}) ∧ 1o ≺ (𝐴 × {∅})) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})))
2723, 25, 26syl2anc 584 . . 3 ((1o𝐴𝐵𝐴) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})))
28 xpen 9139 . . . 4 (((𝐴 × {1o}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴) → ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
296, 13, 28syl2anc 584 . . 3 ((1o𝐴𝐵𝐴) → ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
30 domentr 9008 . . 3 ((((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1o}) × (𝐴 × {∅})) ≈ (𝐴 × 𝐴)) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴))
3127, 29, 30syl2anc 584 . 2 ((1o𝐴𝐵𝐴) → ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴))
32 domtr 9002 . 2 (((𝐴𝐵) ≼ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ∧ ((𝐴 × {1o}) ∪ (𝐴 × {∅})) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
3321, 31, 32syl2anc 584 1 ((1o𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  Vcvv 3474  cun 3946  cin 3947  c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   × cxp 5674  ωcom 7854  1oc1o 8458  cen 8935  cdom 8936  csdm 8937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator