Theorem uprcl2 48900

Description: Reverse closure for the class of universal property. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
uprcl2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷UP𝐸)𝑊)𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uprcl2	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Proof of Theorem uprcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uprcl2.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷UP𝐸)𝑊)𝑀)
2		df-br 5126	. . 3 ⊢ (𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷UP𝐸)𝑊)𝑀 ↔ ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷UP𝐸)𝑊))
3	2	biimpi 216	. 2 ⊢ (𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷UP𝐸)𝑊)𝑀 → ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷UP𝐸)𝑊))
4		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
5	4	uprcl 48899	. . 3 ⊢ (⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷UP𝐸)𝑊) → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐸)))
6	5	simpld 494	. 2 ⊢ (⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝐷UP𝐸)𝑊) → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
7		df-br 5126	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
8	7	biimpri 228	. 2 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐷 Func 𝐸) → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)
9	1, 3, 6, 8	4syl 19	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐷 Func 𝐸)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4614   class class class wbr 5125  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17230   Func cfunc 17875  UPcup 48889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-id 5560  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-func 17879  df-up 48890

This theorem is referenced by:  uprcl4  48902  uprcl5  48903  isup2  48904  upeu3  48905  upeu4  48906